Coordenadas esféricas y rotaciones de ejes.

Dejar$P_o$denote la posición con las coordenadas$(1,0,0)$en el sistema de coordenadas de Descartes$(x,y,z)$.

El punto$P_o$se gira sobre el eje z de modo que la línea$OP$gira directamente hacia el eje y positivo a través de un ángulo$\phi$. La posición del punto después de esta rotación se denota por$P_1$

$P_1$luego se gira alrededor de la línea en el plano xy perpendicular a$OP_1$para que la linea$OP$gira directamente hacia el eje z positivo a través de un ángulo$\lambda$, donación$P_2$. Encuentre las coordenadas de$P_2$

Inicialmente me acerqué a esta pregunta usando las coordenadas esféricas:

$$x=r\sin(\theta)\cos(\phi), y=r\sin(\theta)\sin(\phi), z=r\cos(\theta) \tag{1}$$ dónde$\theta$es el ángulo polar y$\phi$el ángulo acimutal.

Configuración$\theta=\frac{\pi}{2}-\lambda$y$\phi=\phi$me dio la respuesta correcta:

$$P_2=(\cos(\phi)\cos(\lambda),\sin(\phi)\cos(\lambda),\sin(\lambda))\tag{2}$$

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Sin embargo, luego probé un método alternativo rotando los ejes de coordenadas y obtuve una respuesta incorrecta:

Roté los ejes de coordenadas$(x,y,z)$por el ángulo$\phi$en sentido contrario a las agujas del reloj sobre el eje z. Denotando los nuevos ejes de coordenadas por$(\bar{x},\bar{y},\bar{z})$, tenemos

$$\begin{align} x&=\bar{x}\cos(\phi)-\bar{y}\sin(\phi)\\ y&=\bar{x}\sin(\phi)+\bar{y}\cos(\phi)\\ z&=\bar{z}\end{align} \tag{3}$$

desde

$$\left(\begin{matrix} x\\y\\z \end{matrix} \right)=\left(\begin{matrix} \cos{(\phi)}&-\sin(\phi)&0 \\ \sin(\phi)&\cos(\phi)&0\\0&0&1\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} \bar{x}\\ \bar{y} \\ \bar{z} \end{matrix}\right) \tag{4}$$

Ahora en el$(\bar{x},\bar{y},\bar{z})$sistema coordinado,$P_1$tiene las coordenadas$(1,0,0)$.

Giratorio$P_1$a través del ángulo$\lambda$en sentido contrario a las agujas del reloj$\bar{y}$da$P_2$

$$\left(\begin{matrix} \cos(\lambda)&0&\sin(\lambda)\\0&1&0\\-\sin{(\lambda)}&0&\cos(\lambda) \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix}1\\0\\0 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\cos(\lambda)\\0\\-\sin(\lambda) \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\bar{x}\\\bar{y}\\\bar{z}\end{matrix}\right) \tag{5}$$

Resolviendo para$x,y$y$z$a través de$(3)$en el sistema de coordenadas original produce

$$P_2=(\cos(\phi)\cos(\lambda),\sin(\phi)\cos(\lambda),-\sin(\lambda))\tag{6}$$

cuál no es la respuesta correcta y el problema parece originarse en el$z$componente que tiene un signo menos adicional delante de él.

¿Qué errores conceptuales están presentes en mi trabajo?