¿La relatividad especial implica que la dilatación del tiempo se ve afectada por la orientación de los relojes?

Respuesta a la pregunta del título: absolutamente no .

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Piedra de toque experimental

Antes de explicar en detalle, comencemos por notar que el experimento interferométrico de Michelson-Morley prueba explícitamente si la orientación afecta el comportamiento del reloj de un camino de luz de ida y vuelta. Y la famosa respuesta es "no". Esto debe ser cierto para cualquier observador inercial. ¹

Entonces, ¿por qué todos los materiales introductorios usan un reloj transversal?

En realidad, es una buena pregunta y la respuesta (al menos más allá de "¡Bueno, eso es lo que hizo Einstein!" ), requiere observar de cerca la forma en que la explicación funcionaría con un reloj longitudinal.

¿ Qué está pasando, entonces?

La versión corta es fácil: porque el reloj de luz longitudinal se ve afectado tanto por las contracciones de la longitud como por la dilatación del tiempo . ² Y luego se deduce que, desde un punto de vista didáctico, primero desea desarrollar una de las reglas (dilatación del tiempo o contracción de la longitud) y abordar la segunda por separado en lugar de tratar de tratarlas al mismo tiempo. Eso hace que el reloj transversal sea preferible para introducir la relatividad.

Para mostrar esto a lo largo vamos a imaginar dos relojes de reflexión de luz básicamente idénticos.$\mathbb{c}$y$\mathbb{C}$, dónde$\mathbb{c}$es el tradicional reloj transversal y$\mathbb{C}$está alineado longitudinalmente. ³ En su marco de descanso$S$, cada reloj tiene longitud$l = L$, y en consecuencia períodos idénticos$p = 2l/c$y$P = 2L/c$. Luego consideramos el comportamiento de los relojes como se observa en el marco$S'$moviéndose a velocidad$-v$a lo largo de$\mathbb{C}$con respecto a$S$.

caso transversal

El análisis del período de$p'$del reloj transversal es el tradicional: el tiempo requerido para completar el viaje (ida y vuelta) es

$$\begin{align} p' &= \frac{\sqrt{(2l)^2 + (vp')^2}}{c}\\ &= \sqrt{\left(\frac{2l}{c}\right)^2 + \left(\beta p'\right)^2} \\ &= p \sqrt{1 + \left( \beta \frac{p'}{p}\right)^2} \;, \end{align}$$ de modo que $$\begin{align} \left(\frac{p'}{p} \right)^2 &= 1 + \left(\beta \frac{p'}{p}\right)^2\\ \frac{p'}{p} &= \left(1 - \beta^2 \right)^{-1/2} \\ &= \gamma\;. \end{align}$$

caso longitudinal

Para encontrar el periodo$P'$del reloj longitudinal tenemos que calcular un poco más. el tiempo transcurrido$T_f$porque la mitad del viaje hacia adelante es

$$T_f' = \frac{L' + v T_f'}{c} \;,$$ y para la mitad del viaje hacia atrás el tiempo$T_b$requerido es $$T_b' = \frac{L' - v T_b'}{c} \;.$$ Después de un poco de cálculo obtenemos el período como $$\begin{align} P' &= \frac{L'}{c(1 - \beta)} + \frac{L'}{c(1 + \beta)}\\ &= \frac{2L'}{c(1 - \beta^2)} . \end{align}$$ Ahora si$L' = L$esto llevaría a $$\frac{P'}{P} = \left( 1 - \beta^2 \right)^{-1} = \gamma^2 \;, \tag{wrong!}$$ lo que significa que los relojes no estarían de acuerdo, pero como dijimos antes, el estilo de experimentos de Michelson-Morley lo descarta, entonces$L'$ no debe ser lo mismo que$L$. Para conseguir el acuerdo que debemos tener se requiere que $$\frac{L'}{L} = \left(1 - \beta^2 \right)^{1/2} \;,$$ la expresión habitual para la contracción de la longitud.

Mejor manera

Todo ese trabajo es, francamente, desagradable, y recomendaría un primer enfoque de geometría como una mejor alternativa a la versión de Einstein. Consigue el libro de Takeuchi, vale la pena.

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¹ Porque nos dice que dos relojes ajustados con sus extremos de emisión/recepción coincidentes que marcan el tiempo entre sí seguirán marcando el tiempo cuando los balancee. No significa que todos los observadores estén de acuerdo en la frecuencia de los relojes, solo que los dos relojes están de acuerdo.

² Después de todo, de eso se trata la contracción de Lorentz-Fitzgerald: arreglar la teoría clásica para que coincida con los resultados de Michelson-Morley.

³ Continuaremos usando minúsculas para las cantidades relacionadas con el reloj transversal y mayúsculas para las cantidades relacionadas con el reloj longitudinal.

Considere 4 relojes de luz construidos idénticamente de varias orientaciones que tienen la misma separación de espejos cuando están en reposo. Para mayor comodidad, organicémoslos en un círculo, cada uno con un espejo en un punto común. En el marco de reposo, si las señales iniciales son emitidas por el centro en el mismo evento, los reflejos de los espejos son recibidos por el centro en el mismo evento.

Cuando este reloj de luz circular se pone en movimiento uniforme, los relojes de luz orientados de diversas maneras experimentan contracciones de longitud... [el reloj de luz circular parece una elipse en el marco del laboratorio]... de tal manera que los reflejos aún se reciben por el centro en el mismo evento... de acuerdo con el principio de relatividad.

Aquí hay un cuadro de mi video https://www.youtube.com/watch?v=AXx3CB80rAk para motivar la contracción de longitud.

Aquí hay un cuadro de mi video ( https://www.youtube.com/watch?v=tIZeqRn7cmI ) de un diagrama de espacio-tiempo animado de un reloj de luz circular que hace tictac.

En este video ( https://www.youtube.com/watch?v=NqjAOyGR82s ), aplico esto para demostrar el efecto del reloj (relacionado con Twin Paradox).

Algunos detalles adicionales están disponibles en mi artículo:
"Visualizando el tiempo propio en la relatividad especial"
Physics Teacher (Indian Physical Society), v46 (4), pp. 132-143 (octubre-diciembre de 2004) https://arxiv.org/ abdominales/física/0505134

Resolvería este problema para cualquier ángulo arbitrario de la inclinación del reloj de luz para mostrar que la dilatación del tiempo es independiente de la orientación del reloj de luz. Si el reloj está inclinado en un ángulo$\theta^\prime$en su marco de reposo, este ángulo se transforma en$\theta$desde el punto de vista del observador de laboratorio WRT a quien se mueve el reloj de luz$v$de modo que tenemos: [Ver la Figura adjunta.]

$$\cos\theta'=\frac{x'}{L'}\space and \space \cos\theta=\frac{\alpha x'}{L} \tag{1&2}$$

Recordar que$\alpha$es el recíproco del factor de Lorentz. Además, tenemos:

$$\tan\theta'=\frac{y'}{x'}\space and \space \tan\theta=\frac{y'}{\alpha x'} \tag{3&4}$$

ecuaciones (1 y 2) y las ecuaciones. (3 y 4) respectivamente implican:

$$\frac{\cos\theta'}{\cos\theta}=\frac{L}{\alpha L'} \space and \space \frac{\tan\theta'}{\tan\theta}=\alpha \tag{5&6}$$

ecuaciones (5 y 6) rendimiento:

$$\frac{L}{L'}=\frac{\alpha/\cos\theta}{\sqrt{1+\alpha^2\tan^2\theta}}=\frac{c\alpha}{\sqrt{c^2-v^2\sin^2\theta}} \tag{7}$$

Ahora, usando la ley de los cosenos para$\Delta ABC$, obtenemos:

$$c^2t_1^2=v^2t_1^2+L^2-2vt_1L\cos(\pi-\theta) \rightarrow$$

$$t_1=\frac{v\cos\theta+\sqrt{c^2-v^2\sin^2\theta}}{c^2-v^2}L \tag{8}$$

utilizando la ley de los cosenos para$\Delta BCD$, finalmente obtenemos:

$$c^2t_2^2=v^2t_2^2+L^2-2vt_2L\cos\theta \rightarrow$$

$$t_2=\frac{-v\cos\theta+\sqrt{c^2-v^2\sin^2\theta}}{c^2-v^2}L \tag{9}$$

Para$t=t_1+t_2$, tenemos:

$$t=\frac{2L\sqrt{c^2-v^2\sin^2\theta}}{c^2-v^2}\tag{10}$$

Como sabemos el tiempo medido por el observador en el marco de reposo del reloj de luz es$t^\prime=2L'/c$, por lo que podemos escribir:

$$\frac{t}{t'}=\frac{c\sqrt{c^2-v^2\sin^2\theta}}{c^2-v^2}\frac{L}{L'} \tag{11}$$

Sustituyendo la ecuación. (7) en la ecuación. (11), obtenemos:

$$\frac{t}{t'}=\frac{1}{\alpha} \tag{12}$$

Por lo tanto, la dilatación del tiempo es independiente de la orientación del reloj de luz.