Consecuencia de _agregar una constante a la energía potencial_ en el contexto de la masa en la relatividad especial

Esta respuesta es básicamente una respuesta de relatividad especial, y las cosas se complican un poco más cuando la relatividad general asoma la cabeza. Debe preocuparse por si puede confiar en la conservación de la energía, por un lado (respuesta: en algunos espacios-tiempos puede hacerlo para marcos de referencia cuidadosamente elegidos).

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Tomando como la definición de masa (invariante) para una partícula de la manera habitual en el lenguaje moderno como la norma del cuatro vector energía-momento dividido por$c^2$:

$$\begin{align} m &\equiv \frac{1}{c^2} ||\mathbf{p}|| \\ &= \frac{1}{c^2} \sqrt{ E^2 - (\vec{p}c)^2 } \;, \end{align}$$ y teniendo en cuenta que los cuatro vectores simplemente se suman en todos los sistemas, definimos la masa de un sistema como la norma del cuatro vector energía-momento total del sistema dividido por $c^2$como para una partícula. $$\begin{align} M_{sys} &\equiv \frac{1}{c^2} ||\mathbf{P_{sys}}|| \\ &= \frac{1}{c^2} \sqrt{ E_{sys}^2 - (\vec{P}_{sys}c)^2 } \;. \end{align}$$ Esto obviamente también es un escalar de Lorentz.

Ahora, como de costumbre, la energía del sistema se encuentra sumando todas las contribuciones de las partículas y de los campos.

$$\mathbf{P}_{sys} = \sum_i \mathbf{p}_i$$ (que representa las energías potenciales del sistema, tanto positivas como negativas), así como cualquier energía cinética de los constituyentes en relación con el marco del centro de momento del sistema. (El movimiento del marco CoM no afecta la masa del sistema más de lo que afecta la masa de una sola partícula y por la misma razón). En particular, esto responde a su pregunta sobre la definición de blockquote en el sentido positivo si "alguna función de las distancias" se toma como una función de energía potencial.

Una consecuencia de esto es que la masa de un sistema no es la suma de las masas de sus partes porque$||\mathbf{a}|| + ||\mathbf{b}|| \ne ||(\mathbf{a} + \mathbf{b})||$.

La pregunta sobre el calibre del potencial es importante porque no es cierto que el nivel de energía absoluto no importe si la masa del sistema depende de él. Pero ya les mostré el camino hablando de la energía del campo: queremos que el cambio en la energía llegue a cero si las partes no interactúan, lo que conduce a la medida de Coulomb para E&M. (Tenga en cuenta que todavía hay energía de campo dando vueltas, simplemente no es separable de la masa básica asociada con las partículas cargadas en primer lugar).

Una consecuencia (¡deseable!) de esta definición es que un sistema de partículas que orbitan entre sí mantienen una masa constante mientras intercambian energía cinética por energía potencial y viceversa. Otra consecuencia es que aunque estamos usando el lenguaje moderno y decimos enfáticamente que los átomos de un gas no ganan masa cuando lo calientas, el gas tomado como sistema gana masa proporcionalmente a la energía térmica añadida.