¿Los estados del campo de Dirac pertenecen a un espacio de Hilbert con coeficientes de espinor?

Esto está en el límite actual de mi comprensión de QFT fermiónico. Es una pregunta tan buena que merece la respuesta de un experto.
a) El análisis de Fourier del segundo campo de operador de Dirac cuantificado da,$\hat{\psi}^{a}(x)$,

$$\begin{equation} \hat{\psi}^{a}(x)=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi)^{3/2}}\exp(ix^{r}p^{r})\hat{\psi}^{a}(p) \end{equation}$$ donde esta la etiqueta $a=1,2,3,4$recorre los cuatro componentes del espinor de Dirac y la etiqueta $r=1,2,3$recorre las tres coordenadas espaciales y estoy trabajando en un tiempo constante. Entonces, tomando prestadas las observaciones introductorias de Lior, "El campo de Dirac cuantizado $\hat{\psi}^{a}(x)$en un cierto punto espacial se puede escribir como una combinación lineal de operadores de creación $\hat{\psi}^{a}(p)$actuando sobre el espacio de estados físicos de Hilbert, con coeficientes que son soluciones armónicas de campo libre $\exp(ix^{r}p^{r})$." No creo que las soluciones armónicas de campo libre sean espinores de Dirac porque el índice de espinores está en los operadores de creación/aniquilación. Un estado $|\Psi\rangle$será una suma de polinomios en los operadores de creación aplicados a un estado de vacío $|S\rangle$, $$\begin{equation} |\Psi\rangle= (\ldots +c\hat{\psi}^{a}(p_{1})\hat{\psi}^{b}(p_{2})...\hat{\psi}^{c}(p_{n})+\ldots )|S\rangle \end{equation}$$ El operador de campo $\hat{\psi}^{a}(x)$aplicado al estado cambia el estado modificando el polinomio simplemente por multiplicación.

b) El marco matemático es el espacio de polinomios en las variables$\hat{\psi}^{a}(p)$.

c) El estado de vacío$|S\rangle$es el polinomio trivial$1$.

d) El hamiltoniano para el campo de electrones libres es,

$$\begin{equation} \hat{H}=\int d^{3}x (-i\hat{\psi}^{\dagger}\gamma^{0}\gamma^{r}\frac{\partial\hat{\psi}}{\partial x^{r}}+m\hat{\psi}^{\dagger}\gamma^{0}\psi) \end{equation}$$ donde he suprimido los índices de espinores, por lo que estoy usando la notación matricial para cualquier cosa que tenga que ver con los espinores. El operador de quiralidad es $\gamma^{5}$. $$\begin{equation} \gamma^{5}= \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right] \end{equation}$$ donde las entradas son matrices de bloques de 2x2. $\gamma^{0}$es, $$\begin{equation} \gamma^{0}= \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] \end{equation}$$ La acción del operador de quiralidad es cambiar los espinores de Dirac $\hat{\psi}\rightarrow \gamma^{5}\hat{\psi}$. No pasa nada con las matrices gamma. Para simplificar, solo mira lo que sucede con el término de masa. $$\begin{equation} \hat{\psi}^{\dagger}\gamma^{0}\hat{\psi}\rightarrow (\gamma^{5}\hat{\psi})^{\dagger}\gamma^{0}\gamma^{5}\hat{\psi}=\hat{\psi}^{\dagger}(\gamma^{5}\gamma^{0}\gamma^{5})\hat{\psi}=\hat{\psi}^{\dagger}(-\gamma^{0})\hat{\psi}=-\hat{\psi}^{\dagger}\gamma^{0}\hat{\psi} \end{equation}$$ Entonces, el término de masa cambia de signo bajo la transformación de quiralidad, por lo que el hamiltoniano no es invariante. Aunque el hamiltoniano parece un "escalar" porque hemos sumado todos los índices del espinor, la transformación de cada componente del espinor da un resultado que es menos lo que comenzamos; entonces el hamiltoniano cambia bajo la quiralidad.