¿Por qué el atractor de Lorenz puede integrarse en un mapa de retardo de tiempo de 3 pasos?

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¿Por qué el atractor de Lorenz puede integrarse en un mapa de retardo de tiempo de 3 pasos?

Matemáticas
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mw19930312

Estoy investigando la reconstrucción del atractor del sistema de Lorenz. Vi un montón de trabajo que afirmaba que el mapa de retraso de tiempo $[x(t), x(t -\tau), x(t - 2\tau)]$ es suficiente para reconstruir el attracotr, por ejemplo, http://www.scholarpedia.org/article/Attractor_reconstruction , https://www.youtube.com/watch?v=6i57udsPKms .

Si entiendo esto correctamente, esto significa que el espacio de estado del sistema de Lorenz se puede incrustar en $\mathbb{R}^3$ . Sin embargo, hasta donde yo sé por el teorema de Takens, el paso de retardo de tiempo $n$ para incrustar un extraño atractor de dimensión $d$ debiera ser $n \geq 2d+1$ . En este sentido, dado que la dimensión fractal del atractor de Lorenz es ligeramente mayor que $2$ , debe haber al menos $5$ retrasar los pasos para lograr la incrustación.

¿Hay algún teorema/documento específico que afirme que el atractor de Lorenz se puede incrustar mediante una incrustación de retardo de tiempo de 3 pasos?

dantopa

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lutz lehmann

El teorema da una garantía para

n \geq 2 d + 1

$n\ge 2d+1$ , pero no afirma que los más pequeños

n

$n$ No funcionan. // La imagen similar es para

τ = 0.1

$τ=0.1$ , simplemente duplicándolo a

τ = 0.2

$τ=0.2$ da una superficie mucho más curvilínea.

mw19930312

@LutzL ¡Gracias por la respuesta! Entiendo que el teorema de Takens solo proporciona un límite superior. lo que me preocupa es que

[x (t), x (t - τ), x (t - 2 τ)]

$[x(t), x(t-\tau), x(t-2\tau)]$ no parece ser una incrustación ya que no pude encontrar ningún teorema riguroso que lo diga. ¿Se te ocurre ahora alguna referencia?

lutz lehmann

No, solo el argumento presentado en la respuesta de que el sistema está lo suficientemente acoplado como para que el mapa de

[x (t), y (t), z (t)]

$[x(t),y(t),z(t)]$ a los estados en

t - τ

$t−τ$ y

t - 2 τ

$t-2τ$ y luego proyectar hacia abajo

[x (t), x (t - τ), x (t - 2 τ)]

$[x(t),x(t−τ),x(t−2τ)]$ es biyectiva, por lo que la dinámica se captura fielmente en el mapa de retardo de 3 pasos. // Al graficar, ayuda mucho para los más pequeños

τ

$τ$ para aplicar una transformación lineal y trazar la curva [(x(t)+x(t−τ)+x(t−2τ)),(x(t)-x(t−2τ)),(x(t) -2x(t−τ)+x(t−2τ))]$.

Respuestas (2)

¿Por qué el atractor de Lorenz puede integrarse en un mapa de retardo de tiempo de 3 pasos?

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El teorema da una garantía para $n\ge 2d+1$ , pero no afirma que los más pequeños $n$ No funcionan. // La imagen similar es para $τ=0.1$ , simplemente duplicándolo a $τ=0.2$ da una superficie mucho más curvilínea.
@LutzL ¡Gracias por la respuesta! Entiendo que el teorema de Takens solo proporciona un límite superior. lo que me preocupa es que $[x(t), x(t-\tau), x(t-2\tau)]$ no parece ser una incrustación ya que no pude encontrar ningún teorema riguroso que lo diga. ¿Se te ocurre ahora alguna referencia?
No, solo el argumento presentado en la respuesta de que el sistema está lo suficientemente acoplado como para que el mapa de $[x(t),y(t),z(t)]$ a los estados en $t−τ$ y $t-2τ$ y luego proyectar hacia abajo $[x(t),x(t−τ),x(t−2τ)]$ es biyectiva, por lo que la dinámica se captura fielmente en el mapa de retardo de 3 pasos. // Al graficar, ayuda mucho para los más pequeños $τ$ para aplicar una transformación lineal y trazar la curva [(x(t)+x(t−τ)+x(t−2τ)),(x(t)-x(t−2τ)),(x(t) -2x(t−τ)+x(t−2τ))]$.

Wrzlprmft · Answer 1

esto significa que el espacio de estado del sistema de Lorenz se puede incrustar en $\mathbb{R}^3$ .

Sin una restricción para retrasar la incorporación, esto es trivial ya que el sistema de Lorenz consta de tres ecuaciones diferenciales.

Sin embargo, hasta donde yo sé por el teorema de Takens, el paso de retardo de tiempo $n$ para incrustar un extraño atractor de dimensión $d$ debiera ser $n \geq 2d+1$ .

La dimensión dada por el teorema de Takens es solo un límite superior. Una dimensión de empotramiento más baja puede ser suficiente. También vea esta pregunta y respuesta .

También tenga en cuenta que el teorema de Takens no usa dimensiones fractales en absoluto; es el teorema de Sauer-Yorke-Casdagli el que lo hace.

¿Hay algún teorema/documento específico que afirme que el atractor de Lorenz se puede incrustar mediante una incrustación de retardo de tiempo de 3 pasos?

Dado que el atractor de Lorenz se puede incrustar en tres dimensiones (ver arriba), sería intuitivamente sorprendente si una incrustación de retraso tridimensional falla aquí (en particular para todos los retrasos). Además, y tal vez lo más importante, las incrustaciones de retraso tridimensionales del atractor de Lorenz se han investigado ampliamente para la evaluación comparativa, las pruebas de principio o similares, lo que, según mi conocimiento, no ha arrojado ninguna inconsistencia como se esperaba para un incrustación fallida.

No estoy al tanto de investigaciones rigurosas de esto, pero no me sorprendería si no existiera, debido a la falta de relevancia: el objetivo de una incrustación de Takens es reconstruir atractores de dinámica desconocida. Aplicarlo a algo como el sistema Lorenz es solo para evaluación comparativa, pruebas de principio, etc.

¡Gracias por la respuesta! Al decir "Dado que el atractor de Lorenz se puede incrustar en tres dimensiones (ver arriba), sería sorprendente si una incrustación de retraso falla aquí (en particular para todos los retrasos)", ¿quiere decir que dado que el atractor de Lorenz se puede incrustar en $\mathbb{R}^3$ , debe existir retardo de tiempo incrustado con $n\geq 7$ ? en realidad no se si $[x(t), x(t - \tau), x(t - 2\tau)]$ es una incrustación ya que no hay un teorema que lo sustente. Todo el trabajo existente que he encontrado asume esto de forma predeterminada, ya que la trayectoria del sistema original se parece a la trayectoria con retraso en el tiempo...

lutz lehmann · Answer 2

En cuanto a por qué 3 pasos de retraso son suficientes para el sistema Lorenz:

Sabemos que por Taylor

\frac{X (t + τ) - X (t - τ)}{2 τ} = \dot{X} (t) + \frac{τ^{2}}{6} \overset{⃛}{X} (t) + . . .

$\frac{x(t+τ)-x(t-τ)}{2τ}=\dot x(t)+\frac{τ^2}6\dddot x(t)+...$ y

\frac{X (t + τ) - 2 X (t) + X (t - τ)}{τ^{2}} = \ddot{X} (t) + \frac{τ^{2}}{12} X^{(4)} (t) + . . .

$\frac{x(t+τ)-2x(t)+x(t-τ)}{τ^2}=\ddot x(t)+\frac{τ^2}{12}x^{(4)}(t)+...$ Ahora inserte las ecuaciones diferenciales de Lorenz

\begin{aligned} \dot{X} & = σ (y - X) \\ \ddot{X} & = σ (X (ρ - z) - y - \dot{X}) \end{aligned}} ⟹ \begin{aligned} y & = X + \frac{\dot{X}}{σ} \\ z & = ρ - \frac{y + \dot{X} + \frac{\ddot{X}}{σ}}{X} \end{aligned}}

$\left.\begin{aligned} \dot x&=σ(y-x)\\ \ddot x&=σ(x(\rho-z)-y-\dot x) \end{aligned}\right\} \implies \left.\begin{aligned} y&=x+\frac{\dot x}σ\\ z&=\rho-\frac{y+\dot x+\frac{\ddot x}σ}{x} \end{aligned}\right\}$ a ver que a la orden

τ^{2}

$τ^2$ los valores de

y (t)

$y(t)$ y

z (t)

$z(t)$ son fáciles de extraer de los cocientes de diferencia y los términos de la primera derivada a la derecha.

_{Reconstrucción utilizando las aproximaciones anteriores y $\tau=0.03$ . La curva reconstruida sigue de cerca la curva original, excepto cerca de $x=0$ donde la división por cero conduce a singularidades, incluso en una división suavizada.}

La participación de términos derivados de mayor orden da un sistema de mayor grado que proporcionará una relación más exacta entre los dos conjuntos de datos. Pero incluso esta primera aproximación muestra que es posible invocar el teorema de la función inversa siempre que $x\ne0$ para obtener una biyección.

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