¿Existen controversias en torno al principio de covarianza general en GR?

Soy un graduado de física que ahora trabaja con computadoras. Estudio GR en mi tiempo libre para mantener el material actualizado. En el artículo de Wikipedia sobre las matemáticas de GR , se puede leer lo siguiente:

El término 'covarianza general' se usó en la formulación inicial de la relatividad general, pero ahora muchos lo denominan covarianza de difeomorfismo. Aunque la covarianza del difeomorfismo no es la característica definitoria de la relatividad general, y persisten las controversias con respecto a su estado actual en GR , la propiedad de invariancia de las leyes físicas implícita en el principio junto con el hecho de que la teoría es esencialmente de carácter geométrico (haciendo uso de geometrías que no son euclidianas) sugirieron que la relatividad general se formulara utilizando el lenguaje de los tensores. [cursivas mías.]

¿Alguien sabe a qué tipo de controversia pueden estar apuntando los autores? ¿No es la covarianza general, ehrm... la covarianza del difeomorfismo, un principio fundamental de GR?

ACTUALIZACIÓN: Evidentemente, no hay una respuesta "correcta" a una pregunta como esta (a menos que usted sea el autor de dicho artículo y, por lo tanto, pueda compartir con el mundo lo que le interesa). De todos modos, parece que no existe una controversia ampliamente conocida y muy debatida con respecto a la covarianza general.Aun así, he optado por aceptar la respuesta de Ron.

ACTUALIZACIÓN 2: Me he retractado de la aceptación debido al artículo vinculado por el prof. Norton. Creo que, a todos los efectos prácticos, la respuesta de Ron sigue en pie, pero primero quiero revisar dicho artículo. Sin embargo, nadie debería contener la respiración esperando que yo resuelva esto. :)

Aunque la respuesta de @RonMaimon es buena, el principio general de covarianza no es que la física pueda simplemente usar cualquier sistema de coordenadas (lo cual es trivialmente cierto), sino que la forma de las ecuaciones debe ser invariable, bajo cualquier elección de coordenadas . Este es un postulado de cierta simetría, pero ¿existe realmente tal simetría? Esta es la mayor controversia en mi opinión.
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Respuestas (4)

La controversia se debe a que la afirmación "las leyes de la física deben ser generalmente covariantes" es muy llamativa y significativa, incluye el principio de equivalencia, relacionando el movimiento acelerado y un campo gravitatorio local. Pero cuando se formula como "Las leyes de la física deben ser invariantes bajo cambios de coordenadas", se vuelve trivialmente fácil de cumplir: ¡cualquier ley de la física se puede describir en cualquier coordenada, simplemente cambiando las coordenadas! Por ejemplo, si tiene la ecuación de Laplace, puede cambiar las coordenadas y volver a expresar la ecuación de Laplace en coordenadas elípticas o esféricas.

Entonces, a las personas que creen que la física es como las matemáticas les gustaría dar un axioma matemático que corresponda al principio físico de "Covarianza general", e identifican este axioma como "Las leyes de la física deben expresarse en coordenadas arbitrarias", y dado que esta declaración es trivial y sin contenido, concluyen que General Covariance no tiene contenido, de ahí la controversia.

Esta controversia no es tan interesante. La declaración de Covarianza General comienza con el principio de equivalencia, que establece que un marco localmente acelerado es equivalente a un campo gravitacional. Dado que la cantidad dinámica que determina la aceleración local es la métrica y la conexión asociada, concluye que la conexión y la métrica son el campo gravitacional y el potencial. Luego formulas leyes de movimiento para el campo y el potencial. Las ecuaciones de movimiento tienen que ser sensatas --- no hay soluciones desbocadas inestables, energía positiva de pequeñas perturbaciones. Luego, el principio del menor número de derivadas (escalar los términos más relevantes) selecciona GR más quizás algunos términos topológicos.

El principio de la covarianza general es simplemente que no hay una métrica preferida a priori, que la métrica está determinada por ecuaciones locales de movimiento, como el potencial eléctrico. No tiene ninguna "fuerza de restauración" que lleve la métrica a +1, -1, -1, -1 o cualquier otro valor. De modo que la siguiente acción ridícula viola la covarianza general:

S = ∫ ( R + ( gramo m v − η m v ) ( gramo m v − η m v ) ) gramo

No hay mucho más en General Covariance que no permitir tensores explícitos, como el anterior.

El principio es simplemente que la teoría debe ser geométrica, sin una geometría de fondo preferida. Esto lo enfatizan hoy las personas a las que les gusta la gravedad cuántica de bucles.

en base a la respuesta reciente del Sr. Josephson, me siento obligado a retirar mi aceptación de su respuesta. Perdón por el comportamiento de parpadeo.
@Joar Bolstad: Joseph f. Johnson (que no debe confundirse con Josephson) es libre de decir lo que quiera, pero mi respuesta es realmente la respuesta correcta. No hay una controversia real sobre lo que significa Covarianza general, significa lo que dije.
Estoy corregido. Sr. Johnson lo es, por supuesto. Estoy de acuerdo en que probablemente no haya mucha controversia en torno al tema, pero en honor al legado filosófico de Einstein, siento que debo considerar incluso las objeciones de los filósofos al asunto en cuestión. Aun así: me tranquiliza su respuesta con respecto a los aspectos operativos de GR, y mi anterior voto a favor sigue en pie. ¡Gracias! :)
Solo una pequeña observación: la covarianza general comienza con el principio de equivalencia, pero, de hecho, es mucho más débil que la ec. pr.
@Terminus: depende de la interpretación de General Covariance. De la forma en que Einstein lo pensó, significa que no hay fondo fijo, con las variaciones en la métrica de fondo para ser interpretadas como el campo gravitatorio local. En este sentido, incluye el EP y es más fuerte que el EP. Pero el principio, si se formula como "usted puede cambiar las coordenadas" es vacuo y trivial, y es mucho más débil que cualquier otra cosa, porque es la declaración más débil que puede hacer --- es trivialmente verdadero para cualquier teoría.

Nunca ha habido una formulación hermética, rigurosa, clara y seca de lo que se entiende por «covarianza general», de ahí las controversias desde los días de Einstein. Ver http://philpapers.org/rec/STATMO-5 y otros artículos sobre la filosofía de la física. La respuesta del Sr. Maimon también evidencia la existencia de una controversia, ya que critica las ideas de muchas personas sobre lo que significa "libre de contenido", es decir, vacío. Y con algo de justicia... por ambos lados. También hay diferencias de opinión sobre lo que dice «el principio de equivalencia», nuevamente el Sr. Maimon ha señalado esto en otras respuestas a preguntas relacionadas, vinculadas, como « ¿Cómo este experimento mental no descarta los agujeros negros? » Prof. Geroch de Chicago ( http://arxiv.org/abs/1005.1614) ha señalado malentendidos incluso de la Relatividad Especial, mostrando que las leyes de Spec. rel. no sería violado por una comunicación más rápida que la luz ... por lo que uno debe ser cauteloso al escuchar solo un punto de vista aquí.

Ciertamente existe controversia acerca de si Diff(M) es algún tipo de grupo de calibre (ver http://www.mth.kcl.ac.uk/~streater/lostcauses.html del profesor Streater , y parece haber incluso un Hay mucha confusión sobre la diferencia entre un elemento de Diff(M), que es global , y los cambios de coordenadas locales, que son los relevantes para el principio de covarianza general (después de todo, Einstein siempre planteó el principio de equivalencia solo para uno). parche de coordenadas, no para todos METRO .)

Mi opinión es que la comprensión de Einstein del principio de covarianza general tenía una parte física y una parte matemática. La parte física era el principio de equivalencia. La parte matemática era que una ley física debería escribirse en términos de cantidades con las mismas propiedades de transformación bajo cambios locales de coordenadas. El hecho es que no parece haber una forma clara de decir esto, y Einstein no dio ninguna definición completamente abstracta del principio de covarianza, por lo que mi opinión se basa en ver lo que hizo. Los físicos incluso en su día malinterpretaron el principio de equivalencia y el requisito de la covarianza general, uno de ellos incluso acusó a Einstein de traicionarlo, véanse las páginas 237-239 del Volumen 6, suplemento de traducción al inglés, de Einstein's Collected Papers .

Es posible que haya encontrado la referencia que le gustaría ver, aunque es muy profunda. http://www.pitt.edu/~jdnorton/papers/decades.pdf por el prof. Norton de Pittsburgh habla de muchos malentendidos y desacuerdos sobre este principio.

muchas gracias por una respuesta aleccionadora y reflexiva. En primer lugar, me gustaría abordar mi aceptación de la respuesta del Sr. Maimón. No tengo ninguna razón a priori para valorar la opinión del Sr. Maimon sobre cualquiera de los otros carteles, y me gustaría enfatizar que aceptar su respuesta sobre la de twistor59 es más una cuestión de estar limitado a una sola respuesta aceptada por pregunta que cualquier otra cosa. . Mi principal motivación para hacer esta pregunta en primer lugar fue descubrir cualquier controversia ampliamente debatida que no conocía con respecto a una de las piedras angulares de GR.
Dado que las respuestas parecían divergir en opinión, supuse (a toda prisa) que no se conocía tal controversia. Realmente aprecio su esfuerzo, y en particular la referencia al prof. El artículo de Norton. Con base en esta nueva información, retiraré mi aceptación y, si el tiempo me lo permite, estudiaré al prof. el trabajo de Norton y, posteriormente, revisar todas las respuestas entrantes a mi pregunta original.
@Joar Bolstad: Puedes hacer lo que quieras, pero no hay controversia entre las personas alfabetizadas. La controversia es realmente solo entre los filósofos, a quienes no se puede tomar demasiado en serio porque son, en general, analfabetos matemáticos. El significado del principio de covarianza general es que no debe usar tensores de fondo externos en sus ecuaciones, incluso si son relativistamente invariantes. En cuanto al artículo de Geroch citado aquí, es una pista falsa total.
No sé por qué discutes mi respuesta; parece que piensas que hay algo malo en ello. Ciertamente no lo hay, pero dejaré que el OP lo descubra por sí mismo.
muy buen resumen, +1
@RonMaimon Dije que su respuesta era un lado de la controversia, no dije con qué lado estaba de acuerdo, pero hubo algo de justicia en ambos lados. Ya que pregunta, un ligero defecto en su respuesta es que no se da cuenta de que el principio de covarianza general aún no se ha establecido claramente de una manera lógica y abstracta (pero estoy de acuerdo con usted en que los intentos de los matemáticos para hacerlo son sin éxito, ya que carecen del contenido físico del camino conceptual de Einstein a GR). Posiblemente profe. El artículo de Geroch está fuera de tema, pero al menos muestra cómo pueden florecer los malentendidos de un principio.
@jose f. johnson: Ok, estoy de acuerdo con todo eso. +1 por tu respuesta.

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Creo que la "controversia" a la que se hace referencia es la invariancia de GR bajo difeomorfismos activos y su interpretación correspondiente como una teoría de calibre. Se debe pensar en un difeomorfismo activo como el movimiento de los puntos de la variedad de espacio-tiempo, no solo como un reetiquetado de puntos con nuevas coordenadas. GR tiene la propiedad de que, si hace esto de manera consistente, asigna soluciones de las ecuaciones de Einstein a nuevas soluciones de las ecuaciones de Einstein (consulte algunas discusiones sobre el argumento del agujero de Einstein para tener una idea de esto). Pensando en esto como una libertad de calibre, terminas con el espacio de soluciones de las ecuaciones de Einstein dividido en clases de equivalencia.

Tradicionalmente, en las teorías de calibre, los observables físicos son cantidades invariantes de calibre; en este caso, serían cantidades que se conservan bajo difeomorfismos activos. No creo que se conozca un conjunto completo de tales cantidades, pero incluirían cosas como integrales de invariantes de tensor de curvatura en todo el espacio-tiempo. Estos observables generalmente no son locales y no han resultado demasiado útiles para cálculos explícitos (hasta donde yo sé).

No creo que esta supuesta controversia sea algo significativo. Parece que simplemente gira en torno a si GR debe o no tener aplicado el término "teoría de calibre", ya que el carácter de la teoría es diferente a otras teorías de calibre en las que las simetrías de calibre se aplican en forma de fibra en los paquetes relevantes.

No creo que haya ninguna diferencia válida entre el punto de vista "activo" y "pasivo" con respecto a los difeomorfismos. ¿De qué sirve hablar de esta diferencia cuando no existe?
De hecho, puede representar un difeomorfismo activo mediante cambios de coordenadas, pero la razón por la que elegí enfatizar la vista activa es para hacer explícito que la acción Diff(M) puede interpretarse como una relación de diferentes métricas, no solo diferentes representaciones de un tensor de métrica dado. objeto por funciones de coordenadas. Esta vista activa se relaciona muy bien con el argumento del agujero. La controversia en la que estoy pensando no es activa frente a pasiva, sino la cuestión de si la invariancia Diff (M) es realmente una teoría de calibre ( Weinstein , por ejemplo. En mi opinión, es una discusión vacía.
Las coordenadas no tienen que ser globales . Si las Leyes de la Naturaleza pueden expresarse mediante diferencias locales. eqs, luego examinar sus propiedades de transformación dentro de un parche de coordenadas con respecto a un cambio de coordenadas (locales) es una cosa, que creo que es lo que pretendía Einstein (usando el ejemplo del ascensor), y hablar de un difeomorfismo es otra muy distinta. Especialmente si el Universo es compacto.

EDITAR: entendí mal la pregunta, por lo que mi respuesta trata sobre 'controversias sobre el principio de equivalencia'. Lo siento por el desorden.

Bueno... ese es el punto. Como sabrá, las ecuaciones de Einstein se pueden derivar del principio de acción de Hilbert. Ahora, si quieres agregar materia, agregas su lagrangiano a la acción. El principio de equivalencia fuerte te dice que no puedes usar entidades geométricas explícitas en lagrangianos de campos de materia. Esto debe entenderse de la siguiente manera. Digamos que tienes un lagrangiano para un campo escalar en el espacio-tiempo de Minkowski

L = ∂ m ϕ ∂ v ϕ η m v − metro 2 ϕ 2
Luego, puedes generalizarlo al espacio-tiempo curvo como este
L = − gramo ( ∇ m ϕ ∇ v ϕ gramo m v − metro 2 ϕ 2 )
pero no así
L = − gramo ( ∇ m ϕ ∇ v ϕ gramo m v − metro 2 ϕ 2 + R ϕ 2 )

Dado que en el vacío la curvatura escalar R es cero, uno podría verse tentado a incluirlo en el lagrangiano y, de hecho, la gente lo hace, por muchas razones. Incluso yo lo hago a veces para estudiar algunas implicaciones matemáticas interesantes de tal elección. ¡Este, sin embargo, fuerte principio de equivalencia, ya que las leyes de la física en los sistemas de coordenadas inerciales ya no son equivalentes! Entonces, en resumen, la gente se siente tentada a agregar otras teorías físicas a GR sin tener en cuenta la covarianza general porque no creen en ella o porque tales acoplamientos son a veces más interesantes que los 'normales'.

¿Por qué ya no son equivalentes? ¿Qué transformaciones en estos sistemas intertiales (supongo que locales) estropean qué?
Esta respuesta es completamente incorrecta. Ambas expresiones son generalmente covariantes. Si utiliza η m v en lugar de gramo m v , eso no es covariante.
Terminus: Entonces, básicamente, reduce la masa total en 2 R ?
@Terminus: Su principio se llama "acoplamiento mínimo", no "Covarianza general". Los términos no mínimos se pueden usar cuando tiene un acoplamiento no estándar de escalares a la gravedad, como en Coleman et. Alabama. acoplamiento de tensor de energía mejorado, que utilizó un término R. Esto no viola la covarianza general.
Ok, entendí mal la pregunta, pensé que se refería al principio de equivalencia fuerte, que por supuesto es violado por términos no mínimos, ya que establece menos-más 'todos los experimentos no gravitacionales idénticos deberían dar los mismos resultados en todos los marcos inerciales'
@Terminus: Esa es una interpretación razonable, y aparece en el trabajo de Einstein. Me gusta ser caritativo aquí y decir que Einstein está fusionando los principios de la invariancia del marco con los principios de la escala. Los dos están claramente separados por Weinberg, quien da el argumento correcto para el acoplamiento mínimo: las fuentes puntuales solo deberían interactuar con los términos más relevantes cuando la escala gravitatoria es muy alta. No voté en contra de su respuesta porque esta es una interpretación que aparece en Einstein, y creo que tiene un punto válido para hacer.
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