Mecánica cuántica y simetría de Lorentz

El operador PAG en la mecánica cuántica es el generador de la transformación de traslación. Tenemos:

Exp ⁡ ( i PAG a ) | X ⟩ = | X + a ⟩

Del mismo modo, creo que el operador X es el generador de la transformación de Galileo:

Exp ⁡ ( − i X q ) | pag ⟩ = | pag + q ⟩

¿Esto, en última instancia, no es consistente con las transformaciones de Lorentz? ¿Nos basamos en las transformaciones de Galileo en alguna parte cuando construimos la mecánica cuántica?

EDITAR: Lo siento, acabo de enterarme de que la suma del impulso no tiene nada que ver con las transformaciones de Galileo... De todos modos, si me puede recomendar más información o darme algunas ideas sobre esto, se lo agradecería. Como:

¿Cuál es la transformación que genera el operador de posición?

El impulso de Lorentz es una transformación unitaria. ¿Cuál es el oversable asociado? (¿Qué sucede en caso de que consideremos la transformación de Galileo?)

No estoy exactamente seguro de lo que estás preguntando. Si está preguntando si la mecánica cuántica es consistente con la relatividad especial, entonces la respuesta es no . La versión estándar de la mecánica cuántica no es relativista. Tienes que ir a la mecánica cuántica relativista, o, más bien, a la teoría cuántica de campos, para hacer mecánica cuántica y relatividad juntas.
Eso. Y un impulso de Lorentz no es una transformación unitaria.
La ecuación de Dirac es un paso intermedio entre la ecuación de Schrödinger y QFT.

Respuestas (1)

En la mecánica cuántica no relativista, refiriéndose a una representación unitaria proyectiva irreducible del grupo de Galileo, hasta un factor multiplicativo (la masa), el operador de posición surge naturalmente como el generador de la transformación de impulso. Esto es equivalente a la traducción estándar en el espacio de momentos.

En QM relativista la traslación estándar en el espacio de momentos deja de ser una simetría y el generador del impulso tiene otra forma.

La definición relativista del operador de posición es más complicada. Es posible pero utiliza un enfoque diferente, técnicamente basado en las llamadas estructuras de imprimitividad . Es posible probar que, para sistemas elementales (representaciones irreducibles unitarias del grupo de Poincaré), la posición observable está definida unívocamente para sistemas masivos, de lo contrario no siempre está bien definida, dependiendo del valor del espín. El operador de posición también se conoce como operador de posición de Newton-Wigner .

Una buena referencia es el libro de Varadarajan Geometry of Quantum Theory , en uno de los últimos capítulos estudia el problema en detalle. También en el libro de texto de Barut Raczka Teoría de las representaciones y aplicaciones de grupos hay una discusión detallada, pero menos rigurosa, en uno de los últimos capítulos.

¡Gracias por su respuesta! Y también en QM relativista, ¿existe una representación unitaria del grupo de Lorentz? En caso afirmativo, ¿el generador del impulso es un observable?
Sí, lo es. Es un operador que depende explícitamente del tiempo. Su regla de conservación da lugar al llamado teorema del centro de masa que, en la teoría relativista, no es una consecuencia trivial de la conservación del momento. Esencialmente porque la noción de masa incluye parte de la energía...
Y también dijiste que la traducción estándar en el espacio de momentos también es una simetría. Creo que no es parte del grupo de poincaré. ¿O lo es?
Para sistemas elementales masivos sin espín, si k j ( t ) es el generador de impulso a lo largo de la dirección X j , tenemos k j ( 0 ) = 1 2 ( X j PAG 0 + PAG 0 X j ) dónde X j es el operador de posición... Ves que en el límite no relativista PAG 0 ∼ metro I de modo que k j ( 0 ) = metro X j .
Las traslaciones de momentos son simetrías en el sentido de que son descritas por operadores unitarios, pero no son simetrías dinámicas en el sentido de que no dan lugar a cantidades conservadas por medio de una versión cuántica del teorema de Noether, simplemente porque no son elementos de la representación autoadjunta del grupo del álgebra de Lie de Poincaré.
Si estas traslaciones de momentos son operadores unitarios, ¿creo que tienen generadores? ¿Qué son estos generadores? ¿No son observables?
¡Son, por definición, los operadores de posición!
¡Ah, sí! ¡Muchas gracias! Creo que todo está en su lugar ahora. ¡Gracias!
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