Griffiths Introducción a QM Sección 9.1.2: ¿Qué tipo de aproximación está usando aquí y cuál es la justificación para ello?

Question

Griffiths Introducción a QM Sección 9.1.2: ¿Qué tipo de aproximación está usando aquí y cuál es la justificación para ello?

Física
mecánica cuántica
teoría de la perturbación

Wikkyd

Realmente no entiendo la lógica de Griffiths en esta sección y me preguntaba si alguien podría ayudar. Este es básicamente un sistema acoplado de primer orden de ecuaciones diferenciales ordinarias, pero no he visto una aproximación como esta antes.

Para ser breve $f(t)=-\frac{i}{\hbar}H'_{ab}e^{-i\omega_0t}$ y $g(t)=-\frac{i}{\hbar}H'_{ba}e^{i\omega_0t}$ entonces el sistema de ecuaciones es (de la ecuación de Griffiths 9.13)

\begin{aligned} {\dot{C}}_{a} & = F (t) C_{b} \\ {\dot{C}}_{b} & = gramo (t) C_{a} [9.13] \end{aligned}

$\begin{align*} \dot c_a &= f(t)\,c_b\\ \dot c_b &= g(t)\,c_a \hspace{10mm} [9.13] \end{align*}$

Tenga en cuenta ambos $c_a$ y $c_b$ son funciones del tiempo. Griffiths continúa expresando la derivada de un $n$ aproximación de orden th como proporcional a la siguiente aproximación de orden inferior de la otra variable del sistema.

Por ejemplo, en la ecuación 9.18 Griffiths establece

\frac{d C_{a}^{(2)}}{d t} = F (t) C_{b}^{(1)} [9.18]

$\frac{d c_a^{(2)}}{dt} = f(t) \, c_b^{(1)} \hspace{10mm} [9.18]$

¿Simplemente no veo cómo justificar esto? (Nota: Griffith dice que su superíndice entre paréntesis indica el orden de la aproximación).

Así que de mi lectura de esto $c_a^{(n)}$ y $c_b^{(n)}$ son solo $n$ expansiones de th orden de $c_a$ y $c_b$ . Entonces, en mi mente, estoy pensando si estamos aproximando cada uno a $n$ los términos algo así como la ecuación 9.18 anterior debería ser en su lugar

\frac{d C_{a}^{(2)}}{d t} = F (t) C_{b}^{(2)}

$\frac{d c_a^{(2)}}{dt} = f(t) \, c_b^{(2)} \hspace{10mm}$

En otras palabras, estamos tomando la derivada de $c_a$ y simplemente aproximarlo a decir 2 términos, entonces ¿no deberíamos usar la misma aproximación de orden para $c_b$ en el sistema de ecuaciones [9.13]?

Entonces, ¿por qué Griffiths puede hacer esto? ¿Por qué podemos quedarnos en la aproximación de orden inferior para resolver la siguiente?

granjero

En tu expresión [9.18] ¿de dónde sacaste

c_{b}^{(2)}

$c_b^{(2)}$ ¿de?

Wikkyd

usos de griffith

c_{b}^{(1)}

$c_b^{(1)}$ en [9.18] y lo obtiene de la ecuación [9.17]. donde estaba llegando

c_{b}^{(2)}

$c_b^{(2)}$ estaba pensando de la siguiente manera: Sabemos por [9.13] que

{\dot{c}}_{a} = f (t) c_{b}

$\dot c_a=f(t)\,c_b$ . Entonces, si nos aproximamos

c_{a}

$c_a$ a sólo dos términos,

c_{a} \approx c_{a}^{(2)}

$c_a \approx c_a^{(2)}$ entonces no deberíamos también aproximarnos

c_{b}

$c_b$ fuera del término de segundo orden,

c_{b} \approx c_{b}^{(2)}

$c_b \approx c_b^{(2)}$ ? Hacerlo y sustituir ambas aproximaciones de segundo orden en la ecuación [9.13] daría

{\dot{c}}_{a}^{(2)} = f (t) c_{b}^{(2)}

$\dot c_a^{(2)}=f(t)\,c_b^{(2)}$ para la ecuación [9.18] en su lugar.

Respuestas (1)

Griffiths Introducción a QM Sección 9.1.2: ¿Qué tipo de aproximación está usando aquí y cuál es la justificación para ello?

En tu expresión [9.18] ¿de dónde sacaste $c_b^{(2)}$ ¿de?
usos de griffith $c_b^{(1)}$ en [9.18] y lo obtiene de la ecuación [9.17]. donde estaba llegando $c_b^{(2)}$ estaba pensando de la siguiente manera: Sabemos por [9.13] que $\dot c_a=f(t)\,c_b$ . Entonces, si nos aproximamos $c_a$ a sólo dos términos, $c_a \approx c_a^{(2)}$ entonces no deberíamos también aproximarnos $c_b$ fuera del término de segundo orden, $c_b \approx c_b^{(2)}$ ? Hacerlo y sustituir ambas aproximaciones de segundo orden en la ecuación [9.13] daría $\dot c_a^{(2)}=f(t)\,c_b^{(2)}$ para la ecuación [9.18] en su lugar.

udv · Answer 1

Esta es una expansión perturbativa típica, aunque presentada de una manera más pedestre.

Lo que se suele hacer por conveniencia de expansión, es adjuntar a $H'$ un acoplamiento (independiente del tiempo) o constante de escala, digamos $H' \rightarrow \lambda H'$ , y hacer explícito el supuesto de que las soluciones se buscan como expansiones perturbativas en $\lambda$ :

C_{a} (t) = C_{a}^{(0)} (t) + λ C_{a}^{(1)} (t) + λ^{2} C_{a}^{(2)} (t) + \dots C_{b} (t) = C_{b}^{(0)} (t) + λ C_{b}^{(1)} (t) + λ^{2} C_{b}^{(2)} (t) + \dots

$c_a(t) = c_a^{(0)}(t) + \lambda c_a^{(1)}(t) + \lambda^2 c_a^{(2)}(t) + \dots\\ c_b(t) = c_b^{(0)}(t) + \lambda c_b^{(1)}(t) + \lambda^2 c_b^{(2)}(t) + \dots$ Cuando se sustituyen en sus ecuaciones (9.13), estas expansiones generan una jerarquía de ecuaciones diferenciales a partir de la demanda que tienen las expansiones polinómicas para arbitrarias

λ

$\lambda$ . Es decir, obtener primero

{\dot{C}}_{a}^{(0)} (t) + λ {\dot{C}}_{a}^{(1)} (t) + λ^{2} {\dot{C}}_{a}^{(2)} (t) + \dots = λ F (t) [C_{b}^{(0)} (t) + λ C_{b}^{(1)} (t) + λ^{2} C_{b}^{(2)} (t) + \dots] {\dot{C}}_{b}^{(0)} (t) + λ {\dot{C}}_{b}^{(1)} (t) + λ^{2} {\dot{C}}_{b}^{(2)} (t) + \dots = λ gramo (t) [C_{a}^{(0)} (t) + λ C_{a}^{(1)} (t) + λ^{2} C_{a}^{(2)} (t) + \dots]

$\dot c_a^{(0)}(t) + \lambda \dot c_a^{(1)}(t) + \lambda^2 \dot c_a^{(2)}(t) + \dots = \lambda f(t)\left[ c_b^{(0)}(t) + \lambda c_b^{(1)}(t) + \lambda^2 c_b^{(2)}(t) + \dots \right]\\ \dot c_b^{(0)}(t) + \lambda \dot c_b^{(1)}(t) + \lambda^2 \dot c_b^{(2)}(t) + \dots = \lambda g(t)\left[ c_a^{(0)}(t) + \lambda c_a^{(1)}(t) + \lambda^2 c_a^{(2)}(t) + \dots \right]$ luego identifique los coeficientes de potencias sucesivas de

λ

$\lambda$ :

$\lambda^0$ :

{\dot{C}}_{a}^{(0)} (t) = 0 {\dot{C}}_{b}^{(0)} (t) = 0

$\dot c_a^{(0)}(t) = 0\\ \dot c_b^{(0)}(t) = 0$

λ

$\lambda$ :

{\dot{C}}_{a}^{(1)} = F (t) C_{b}^{(0)} {\dot{C}}_{b}^{(1)} = gramo (t) C_{a}^{(0)}

$\dot c_a^{(1)} = f(t) c_b^{(0)}\\ \dot c_b^{(1)} = g(t) c_a^{(0)}$

λ^{2}

$\lambda^2$ :

{\dot{C}}_{a}^{(2)} = F (t) C_{b}^{(1)} {\dot{C}}_{b}^{(2)} = gramo (t) C_{a}^{(1)}

$\dot c_a^{(2)} = f(t) c_b^{(1)}\\ \dot c_b^{(2)} = g(t) c_a^{(1)}$ En general, para

k \geq 1

$k\ge 1$ ,

{\dot{C}}_{a}^{(k)} = F (t) C_{b}^{(k - 1)} {\dot{C}}_{b}^{(k)} = gramo (t) C_{a}^{(k - 1)}

$\dot c_a^{(k)} = f(t) c_b^{(k-1)}\\ \dot c_b^{(k)} = g(t) c_a^{(k-1)}$ El resto se sigue de resolver sucesivamente las ecuaciones de orden inferior. y sustituyendo en el siguiente conjunto de orden.

Gusta la música. Gracias udrv que me lo aclaró totalmente. :)
Me alegro de ayudar :) ¡Y gracias por arreglarlo! Olvidé terminar mi rutina de copiar y pegar :(

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