Formulación algebraica de QFT y operadores ilimitados

En AQFT se especifica la estructura de los observables como un C ∗ -álgebra. Esto parece excluir álgebras que no tienen una norma, como el álgebra de Heisenberg. Afortunadamente para este caso, uno recurre al álgebra de Weyl.

¿Ese truco siempre es posible?

Material adicional:

  • Relacionado con esta publicación de Phys.SE.

  • En el libro de Haag "Física cuántica local" p.5, dice que uno siempre puede llegar al estudio de los operadores acotados como se discute en IE Segal "Postulado para la mecánica cuántica general" 1947. Sin embargo, no veo la respuesta a eso. pregunta en este escrito.

  • Parece que a partir de un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert siempre se puede definir un operador unitario, Reed & Simon Thm VIII.7.

Respuestas (1)

El problema puede abordarse desde varios puntos de vista. En primer lugar, uno puede simplemente usar un (unital) ∗ -álgebra (la llamada álgebra de Borchers-Uhlmann en el caso QFT), eliminando así cualquier requisito sobre la acotación de los observables, y se conservan todas las características principales del enfoque algebraico, como la construcción GNS . Aunque, obviamente, varios tecnicismos se vuelven más complicados ya que las propiedades topológicas relevantes tienen que ser introducidas de otras maneras (en términos de seminormas posiblemente inducidas por una clase de estados físicamente sensibles).

Sin embargo, apegarse a la adecuada C ∗ -álgebras y, por lo tanto, al tratar con observables acotados (abstractos), el requisito de acotación no es tan físicamente insostenible como podría parecer a primera vista. Suponga, de hecho, trabajar en un espacio de Hilbert dado con álgebras concretas de operadores, y concéntrese en un observable ilimitado A . Los experimentos solo pueden apreciar un rango de valores arbitrariamente grande pero finito [ − norte , norte ] de A . Así, respecto a los valores alcanzados por A , no es posible distinguir entre

A = ∫ σ ( A ) λ d PAG ( A ) ( λ )

(donde hemos explotado la descomposición espectral de A ) y el observable acotado, digamos:

A norte := ∫ [ − norte , norte ] ∩ σ ( A ) λ d PAG ( A ) ( λ ) ,
satisfactorio | | A norte | | ≤ norte .

Es posible distinguir entre estos dos observables basándose en cuestiones teóricas. Por ejemplo A (pero no A norte ) puede ser el generador de una simetría unitaria físicamente relevante del sistema físico considerado.

En cualquier caso, toda la clase de observables acotados { A norte } norte ∈ norte incluye toda la información física y matemática de A sí mismo. En particular, matemáticamente hablando, A norte → A en la topología de operador fuerte para norte → + ∞ cuando se trabaja en el dominio de A .

Finalmente, aun partiendo de un resumen C ∗ -álgebra, los observables ilimitados físicamente significativos siempre surgen tan pronto como uno fija un estado algebraico y representa el álgebra en el espacio GNS Hilbert asociado. Allí, por ejemplo, todas las simetrías continuas disfrutadas por el estado (y representadas por C ∗ -los automorfismos de las álgebras que dejan invariante el estado) se implementan unitariamente (fuertemente continuos) y, por lo tanto, admiten (generalmente ilimitados) generadores autoadjuntos con significado físico. Todas las cantidades conservadas (energía, cantidad de movimiento, etc...), típicamente representadas por operadores autoadjuntos ilimitados, entran en la teoría de esta manera, en relación, por ejemplo, con el Weyl local C ∗ álgebra de operadores de campo en una QFT, tan pronto como se elija un estado de referencia.

(Vale la pena subrayar que el mismo procedimiento puede dar lugar a reglas de superselección, además de las ya presentes en el resumen C ∗ -Álgebras de observables. Estos están asociados con la elección del estado de referencia donde se representa la teoría y el álgebra de von Neumann generada por la representación GNS.)

¡Gracias por esta respuesta detallada! ¿Es cierto que dada una C*-álgebra, la construcción GNS para un funcional positivo continuo da una representación como operadores acotados, y para un funcional no continuo obtiene operadores ilimitados? Y finalmente, ¿los axiomas de AQFT son restrictivos o no? ¿Abarcan todas las situaciones?
Continuo no es necesario: un funcional lineal positivo en un C ∗ -el álgebra es siempre continua. Para ∗ -La continuidad de álgebras no es necesaria en absoluto (y no se puede imponer ya que no hay una topología natural), los operadores encontrados son ilimitados pero densamente definidos en un dominio común y cerrables. En general, los simétricos no son esencialmente autoadjuntos desafortunadamente (este es un tema muy complicado).
Todavía quiero apegarme a C*-alg. En la segunda parte de la respuesta, ¿"estado algebraico" solo significa "estado"? Entonces, ¿tenemos una representación y podemos encontrar operadores ilimitados, como los generadores de grupos unitarios de un parámetro fuertemente continuos? pero necesitamos una representación, y no podemos simplemente considerar un grupo de automorfismos de un parámetro en el C*-alg abstracto, ¿lo entiendo bien?
Sí, me refiero a un estado. Sí, los operadores ilimitados surgen como generadores como dijiste. Necesitas un grupo de dos estados de automorfismos ( ω , { α t } ) tal que ω ( α t ( a ) ) = ω ( a ) y t → ω ( a α t ( b ) ) es continuo En este caso, en el representante GNS de ω : π ( α t ( a ) ) = tu t π ( a ) tu t ∗ para algunos de un par. grupo unitario fuertemente continuo tu t con tu r Ψ ω = Ψ ω ( Ψ ω siendo el vector cíclico).
En cuanto al QFT algebraico, es cuestión de gusto personal si se usa o no. Personalmente me gusta mucho. Varios tecnicismos son fáciles, como la renormalización de UV en el espacio-tiempo curvo, que al generalizar la formulación de Epstein Glaser produce inmediatamente contratérminos finitos, sin restar infinitos. Y no necesita un estado cuántico de referencia (el vacío) para ser formulado.
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