¿Cuál es exactamente la diferencia entre una derivada y una derivada total?

La diferencia clave es que cuando tomas una derivada parcial , operas bajo una especie de suposición de que mantienes una variable fija mientras que la otra cambia. Al calcular una derivada total , permite que los cambios en una variable afecten a la otra.

Entonces, por ejemplo, si tienes$f(x,y) = 2x+3y$, entonces cuando calculas la derivada parcial$\frac{\partial f}{\partial x}$, asumes temporalmente$y$constante y tratarlo como tal, dando$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 + \frac{\partial (3y)}{\partial x} = 2 + 0 = 2$.

Sin embargo, si$x=x(r,\theta)$y$y=y(r,\theta)$, entonces la suposición de que$y$permanece constante cuando$x$cambios ya no es válido. Desde$x = x(r,\theta)$, Entonces sí$x$cambios, esto implica que al menos uno de$r$o$\theta$cambiar. Y si$r$o$\theta$cambiar, entonces$y$cambios. Y si$y$cambia, entonces obviamente tiene algún tipo de efecto en la derivada y ya no podemos asumir que es igual a cero.

En tu ejemplo, se te da$f(x,y) = x^2+y^2$, pero lo que realmente tienes es lo siguiente:

$f(x,y) = f(x(r,\theta),y(r,\theta))$.

Así que si calculas$\frac{\partial f}{\partial x}$, no se puede suponer que el cambio en$x$calculado en esta derivada no tiene efecto sobre un cambio en$y$.

Lo que necesitas calcular en su lugar es$\frac{\rm{d} f}{\rm{d}\theta}$y$\frac{\rm{d} f}{\rm{d} r}$, el primero de los cuales se puede calcular como:

$\frac{\rm{d} f}{\rm{d}\theta} = \frac{\partial f}{\partial \theta} + \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\rm{d} x}{\rm{d} \theta} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\rm{d} y}{\rm{d} \theta}$

Sé que esta respuesta está increíblemente retrasada; pero solo para resumir el último post:

Si te diera la función

$$f(x,y) = \sin(x)+3y^2$$

y te pedí la derivada parcial con respecto a$x$, Deberías escribir:

$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \cos(x)+0$$

desde$y$es efectivamente una constante con respecto a$x$. En otras palabras, sustituyendo un valor por$y$no tiene efecto en$x$. Sin embargo, si te pidiera la derivada total con respecto a$x$, Deberías escribir:

$$\frac{df(x,y)}{dx}=\cos(x)\cdot {dx\over dx} + 6y\cdot {dy\over dx}$$

Por supuesto, he utilizado la regla de la cadena en el último caso. no escribirías$dx\over dx$en la práctica ya que es sólo$1$, pero debes darte cuenta de que está ahí :)

¿Todos están de acuerdo en que el cartel llegó a la respuesta correcta?

la gente escribe

$$\frac{\partial}{\partial t}g(x(t),t)$$ o $$\frac{\text{d}}{\text{d} t}g(x(t),t)$$

El primero se usa típicamente para significar "la derivada de la función$g$con respecto al segundo argumento". El segundo generalmente significa la "derivada total". Hay variaciones sobre esto. Algunas personas omiten los argumentos y simplemente escriben, por ejemplo,$\frac{\partial}{\partial t}g$

Así por ejemplo: si$x$es secretamente una función de$t$, entonces la notación$\frac{d}{dt}f(x,t)$se denomina derivada total y es una abreviatura de (derivada de una variable)$g′(t)$dónde$g(t)=f(x(t),t)$. Al aplicar la regla de la cadena a la última expresión, necesitaría alguna forma de denotar "la derivada de f con respecto a su primer argumento", muchas personas escribirían$\frac{\partial}{\partial x}f$para esto, pero en muchos casos esto es confuso como explico en el siguiente ejemplo.

La notación matemática ampliamente difundida aquí confunde a muchas personas y creo que es bastante innecesario usarla. Si desea tomar una derivada total, construya explícitamente la función (como$g$arriba) y tome una derivada de una sola variable. De lo contrario, las explicaciones de la diferencia entre derivadas totales y parciales requieren que haga apelaciones como fijar variables temporalmente o decir que una variable es efectivamente constante o cambiar entre pensar en$x$como función y como expresión. Todas estas son cosas confusas que puede hacer con éxito una vez que ya se sienta cómodo con lo que está sucediendo. Pero por lo demás, vale la pena pensar detenidamente sobre lo que realmente está sucediendo.

tu ejemplo

El problema surge de la fusión de una expresión y una función. Hiciste esto cuando escribiste$w = f(x,y) = x^2 + y^2$. En ese caso, muchos escribirán

$\frac{\partial}{\partial x}w$y

$\frac{\partial}{\partial x} f(x,y)$

(que son equivalentes). Este tipo de tiene sentido. En ambos casos, lo que está a la derecha del operador diferencial es una expresión que contiene$x$y$y$. Lo que se produce al aplicar ese operador también es una expresión en las mismas variables. Esto también es cierto de lo que$\frac{d}{dx}$medio. Para las expresiones particulares anteriores, solo usaría eso.

El propósito real de la derivada parcial es tomar derivadas de funciones con respecto a uno de sus argumentos, no expresiones. Eso no es lo que está pasando arriba. Eso es lo que sucede cuando la gente escribe:

$\frac{\partial}{\partial x} f$.

$f$no es una expresión. es una función A mí personalmente no me gusta esta notación. Podrías haber definido un idéntico$f$escribiendo$f(a,b) = a^2 + b^2$. Las variables que aparecen en la definición de una función son, en sentido estricto, invisibles para el resto del mundo. Es solo una forma conveniente de decir "$f$es una función que toma dos argumentos. Eleva al cuadrado el primero, eleva al cuadrado el segundo y devuelve la suma de los cuadrados". En lugar de tener que escribir esa oración (lo que la gente tenía que hacer antes de inventar una mejor notación), puede dar nombres a los argumentos de$f$para que pueda consultarlos fácilmente al definir$f$.

Pero cuando escribes$\frac{\partial}{\partial x} f$, entonces está utilizando algún conocimiento de cómo definió$f$---que tu elegiste el nombre$x$para el primer argumento. Puede ser útil tener nombres para los argumentos de función en lugar de solo referirse a su posición (primer, segundo, etc. argumento), y por eso sobrevive la notación parcial, pero creo que la notación necesita mejorar para esto.

Lo que alguien normalmente quiere decir cuando escribe$\frac{\partial}{\partial x} f$es aproximadamente "la función que toma dos argumentos y devuelve la sensibilidad de$f$con respecto a su primer argumento". Entonces, si estás en algún momento$(a,b)$o$(x,y)$o lo que sea, y mueves el primer argumento$a$o$x$, ¿cuánto cuesta la salida de$f$¿menear? Esa es la pregunta que se supone que responde el gradiente de una función. Esto es probablemente lo que alguien quiere decir si dice "derivada normal". Están pensando en una sola función, posiblemente con múltiples argumentos. Y están tratando de hacer un objeto que te diga qué tan sensible es la salida de la función a un cambio en cada una de las entradas.

La derivada total generalmente significa que en algún lugar ha definido implícitamente algunas funciones nuevas. En este caso, ha realizado funciones$x(r,\theta) = r \sin(\theta)$y$y(r,\theta) = r \cos(\theta)$, y puedes componer estas funciones, haciendo una nueva función:

$$g(r,\theta) = f(x(r,\theta),y(r,\theta))$$

Nótese de nuevo, que$r$y$\theta$se eligen solo para dar información humana sobre la connotación de esta función. Si procesamos las cosas puramente simbólicamente, entonces la definición de$g$bien podría haber sido

$$g(input_1,input_2) = f(x(input_1,input_2),y(input_1,input_2))$$

Y así, cuando el problema te pidió que encontraras$\frac{\partial}{\partial r} w$, hay dos, al final idénticas, interpretaciones de lo que eso significa. O construye la función$g$como lo hice anteriormente, y reportar su sensibilidad con respecto al primer argumento. O sustituir las expresiones por$x$y$y$en la expresión para$w$. Ahora tienes una expresión para$w$en términos de$r$y$\theta$. Prefiero el enfoque que piensa en funciones. Así es como organizamos el código y creo que así es como deberíamos organizar las matemáticas. Cuando trata con expresiones, efectivamente tiene un montón de variables globales.

Entonces, ¿cómo calculamos$\partial_1 g$, que es solo la notación para "hacer una función con la misma aridad (número de entradas) que$g$, tal que evalúa la derivada de la función$g$con respecto a su primer argumento"? Es solo la regla de la cadena.

$$[\partial_1 g](r,\theta) = [\partial_1 f](x(r,\theta), y(r,\theta)) \cdot [\partial_1 x](r,\theta) + [\partial_2 f](x(r,\theta), y(r,\theta)) \cdot [\partial_1 y](r,\theta)$$

¡Podemos ver por qué pensar en las cosas de esta manera no es popular! Pero esta es la forma más clara y mecánica de pensar en ello. De lo contrario, está confiando en juegos de palabras implícitos de$x$como función y como expresión. ¡Elige uno y quédate con él!

De todos modos, para simplificar la definición anterior, que no se preocupaba por las definiciones de$f$,$x$, o$y$, necesitamos usar las definiciones.

$f(x,y) = x^2 + y^2$y por lo tanto

• $[\partial_1 f](x,y) = 2x$
• $[\partial_2 f](x,y) = 2y$

$x(r,\theta) = r\sin(\theta)$y por lo tanto

• $[\partial_1 x](r,\theta) = \sin(\theta)$

asimismo

• $[\partial_1 y](r,\theta) = \cos(\theta)$

ADEMÁS, aunque no lo necesitamos en este momento

• $[\partial_2 x](r,\theta) = r\cdot \cos(\theta)$
• $[\partial_2 y](r,\theta) = -r\cdot \sin(\theta)$

Así que de nuevo, la función es

$$[\partial_1 g](r,\theta) = [\partial_1 f](x(r,\theta), y(r,\theta)) \cdot [\partial_1 x](r,\theta) + [\partial_2 f](x(r,\theta), y(r,\theta)) \cdot [\partial_1 y](r,\theta)$$

sustituyendo las funciones que acabamos de calcular:

$$[\partial_1 g](r,\theta) = 2x(r,\theta) \cdot \sin(\theta) + 2y(r,\theta) \cdot \cos(\theta)$$

y sustituyendo$x$y$y$

$$[\partial_1 g](r,\theta) = 2r\sin(\theta) \cdot \sin(\theta) + 2r\cos(\theta) \cdot \cos(\theta)$$

que, después de usar la misma identidad trigonométrica que usaste, es

$$[\partial_1 g](r,\theta) = 2r$$

Otra forma más de hacer el mismo punto:

Cuando ves la notación$g'(x)$, puedes agrupar eso como$[g'](x)$. Hiciste una nueva función, llamada "g prima", que es la derivada de$g$, y lo estás evaluando en el punto$x$.$g'(y)$significa lo mismo, excepto que estás evaluando en el punto$y$. El análogo multidimensional de esto es$\nabla g(\mathbf{x})$. Deberías analizar eso como$[\nabla g](\mathbf{x})$.

Este no es el caso con la notación$\frac{d}{dx} g(x)$. Si analizas eso como$[\frac{d}{dx} g](x)$, te confundes porque lo que hace$x$significa en el alcance de los paréntesis? No tienes que darle significado porque no debería tener sentido. El operador$\frac{d}{dx}$se aplica a una expresión , no a una función.

Pero, lo que la gente hará rutinariamente es definir

$g(x)= x^2+sin(x)+\text{whatever expression in }x$

y luego escribir$\frac{d}{dx} g(y)$cuando realmente deberían haber escrito$g'(y)$. No hacen esto muy a menudo en el caso de una sola variable, pero lo hacen en el caso de múltiples variables. Acabo de mostrar el caso de una sola variable porque es más claro ver el problema con él.

Mi inspiración para esta respuesta proviene de http://groups.csail.mit.edu/mac/users/gjs/6946/sicm-html/book-ZH-78.html#%_sec_Temp_453 )

Algunas de las respuestas (y comentarios) anteriores me parecen un poco confusas. Quiero abordar algunas de las cuestiones planteadas. La pregunta original del OP era encontrar la derivada total$\frac{dw}{dr}$para la función:

$$w=f(x,y)= x^2 + y^2,~~ x=r \sin \theta ,~~y = r \cos \theta$$ asumiendo que $r, \theta$son variables independientes.

En la cara de encontrar$\frac{dw}{dr}$no es posible si$r, \theta$son independientes entre si.

Es cierto que

$$\frac{\partial w}{\partial r }= 2r$$ Prueba: $$\frac{\partial w}{\partial r } = \frac{\partial w}{\partial x } \frac{\partial x }{\partial r} + \frac{\partial w}{\partial y } \frac{\partial y }{\partial r}$$ enchufando $$\frac{\partial w}{\partial r } = 2x~ ( \sin \theta ) + 2y ( \cos \theta )$$ Sustituyendo usando lo dado $x$y $y$ecuaciones $$\frac{\partial w}{\partial r } = 2( r \sin \theta ) ~ ( \sin \theta ) + 2( r \cos \theta ) ( \cos \theta ) = 2r ( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta ) = 2r$$

Podemos relajar la suposición de que$r$y$\theta$son independientes entre sí para encontrar$\frac{dw}{dr}$. El cálculo es un poco más complicado. Tendríamos que suponer temporalmente que$\theta$es una función de$r$.

$$\frac{dw}{dr} =\frac{\partial w}{\partial x } \frac{\partial x}{\partial r } \frac{dr}{dr }+ \frac{\partial w}{\partial x } \frac{\partial x}{\partial \theta }\frac{d\theta }{ dr }+\frac{\partial w}{\partial y } \frac{\partial y}{\partial r } \frac{dr}{dr }+ \frac{\partial w}{\partial y } \frac{\partial y}{\partial \theta }\frac{d\theta }{ dr }$$ Es cierto que una sustitución temprana nos da $$w= ( r \sin \theta) ^2 + ( r \cos \theta)^2 = r^2$$ Pero sería engañoso afirmar que $$\frac{dw}{dr}= 2r$$ desde $$w = f( r, \theta)$$ Un escenario análogo se encuentra cuando queremos que la pendiente en un punto de la superficie $$z=f(x,y) = x^2$$ Todavía usaríamos la derivada parcial aunque tengamos $$\frac{\partial z}{\partial x } = \frac{dz}{dx} = 2x$$ Podemos ser más explícitos y definir $$z=f(x,y) = x^2 + 0y$$

Puede ser más fácil imaginar una figura con coordenadas x e y ortogonales para la base y un resultado funcional (es decir, alguna función, w, de dos variables x e y) trazada como una superficie en el eje vertical z. Si observamos el resultado de un cambio en la función que obtenemos cuando mantenemos y constante y dejamos que x varíe, es una tangente a la superficie de corte tomada a través de esa superficie paralela al eje x. Por supuesto, obtienes una imagen equivalente al dejar que y varíe pero manteniendo x constante. Ahora imagina un cambio en la función pero estamos dejando que tanto x como y varíen simultáneamente, delta w es el cambio en w y básicamente sumamos los cambios en la función para obtener delta w, del w =f(x + delx, y + del y) - f(x,y) si desarrollamos del w y vamos al límite, obtenemos dw = la derivada parcial wrt x por dx más la derivada parcial wrt y por dy.

Este es el ejemplo clásico de los conceptos básicos y puede encontrar una versión aquí:

https://www.math.uwaterloo.ca/~ahamadeh/math217_p2.pdf

Para un buen ejemplo ilustrativo, me gusta la tasa de cambio del volumen de un cilindro en expansión, V está dado por V = (PI) (r ^ 2) (h), r = radio h = altura, ahora use la expresión de idea anterior para delta w, pero aquí es delta V, divida ambos lados por delta t y luego deje que delta t sea cero.

Solo se vuelve un poco más complicado cuando usamos la metodología para encontrar coeficientes diferenciales de funciones implícitas, pero usamos métodos similares. Los ejemplos de libros de texto a menudo dejan que z represente la función de x e y, luego simplemente forma delta z (como 'normal'), divide ambos lados por delta x y deja que delta x vaya a cero dando una expresión para dz/dx. A menudo se le proporciona información sobre z, puede ser z = 0 (constante), por lo que dz/dx = 0.

Si agrega a estas ideas la idea del cambio de variable, que en realidad es un poco más de lo mismo, por ejemplo, digamos que z es una función de x e yz = f (x, y) y x e y son a su vez funciones de dos otras variables u y v , entonces z es una función de u y v, por lo que forma delta z como 'normal' en términos de la diferencia parcial de z wrt x multiplicada por delta x más la diferencia parcial de y multiplicada por delta y, divida ambos lados por delta u y deje que delta u llegue a cero, v se mantiene constante por el momento. Eso le da la diferencial parcial de z wrt u, y sigue el mismo procedimiento para obtener una expresión para la diferencial parcial de z wrt v.

Con estos, tiene la mayoría de las herramientas básicas para manejar tales problemas, y supongo que la respuesta básica a su pregunta es que tiene una función implícita, por lo que cuando desea el cambio en la función cuando x varía, debe agregar el bit 'extra'. El concepto aparece en varios lugares, puede ser que su función describa la temperatura de un elemento de volumen, su enfriamiento con el tiempo, pero también se mueve y las coordenadas espaciales lo acercan a una fuente de calor, por lo que debe agregar el dos efectos Entonces, si no tiene cuidado, perderá ese término espacial 'extra' y solo tendrá el término de tiempo 'puro'.

Disculpas por la palabrería de esta respuesta, pero tal vez solo se ha transmitido una idea medio razonable de lo que está sucediendo (por el momento, me imagino que toda la superficie de la función cambia de forma con el tiempo en 3 D, tal vez solo podamos tener instantáneas en el tiempo. ).

La derivada parcial es la derivada de una función con varias variables independientes con respecto a cualquiera de ellas, manteniendo las demás constantes.

los simbolos$\dfrac{\partial}{\partial x}, \dfrac{\partial}{\partial y}$se utilizan para denotar tales diferenciaciones.

y las expresiones$\dfrac{\partial u}{\partial x}, \dfrac{\partial u}{\partial y}$se denominan coeficientes diferenciales parciales de$u$con respecto a$x$y$y$.

Así que si$u=f(x,y)$, entonces$\dfrac{\partial u}{\partial x}$se puede calcular diferenciando$u$con respecto a$x,$acuerdo$y$constante.

Mientras que en el caso de la Derivada Total , no asumimos que las otras variables son constantes , también se toma en consideración su cambio con respecto al cambio en esa variable.

Así que si$u=f(x,y)$, dónde$x=\phi_1(t)$, y$y=\phi_2 (t)$, se puede calcular como:

$\dfrac{du}{dt} =$ $\dfrac{\partial u}{\partial x}.$ $\dfrac{dx}{dt}$+$\dfrac{\partial u}{\partial y}.$ $\dfrac{dy}{dt}$

Así que si$x$y$y$ambos dependen de$t$, luego cambia en$x$dará lugar a un cambio en$t$que a su vez conducirá a un cambio en$x$(desde$y$es también una función de$t$), de ahí la fórmula mencionada anteriormente.

En su pregunta, ya que$x$y$y$ambos dependen de$\theta$(Asumiendo$r$es una constante), entonces para encontrar la derivada total de$f(x,y)$con respecto a$\theta$, además de las derivadas parciales de$u$con respecto a$x$y$y$tendrá que considerar el cambio en$x$así como el cambio de$y$con respecto a$\theta$.

Resumiendo todo:

La derivada total es una medida del cambio de todas las variables, mientras que la derivada parcial es una medida del cambio de una variable en particular manteniendo constantes las demás.

¡Espero que esto ayude!

Editar: esto es lo que se le ocurrió a otro usuario diferente:

$f(x,y) = e^{xy}$

La derivada total con la regla de la cadena da:

$\dfrac{df(x,y)}{dx} = \dfrac{de^{xy}} {dx} + \dfrac{de^{xy}}{dy} \dfrac{dy}{dx} = ye^{xy} + xe^{xy}$

La derivada parcial mantiene y constante. Entonces el segundo término desaparecerá.

$\dfrac{\partial f(x,y)}{ \partial x} = \dfrac{\partial e^{xy}} {\partial x} + \dfrac{\partial e^{xy}}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial x} = ye^{xy}$(Desde$\dfrac{\partial y}{\partial x} = 0$)

Hay dos formas de abordar este problema.

1. Sustituto$x$y$y$en$w$y obtendremos $$w= ( r \sin \theta) ^2 + ( r \cos \theta)^2 = r^2$$

Entonces derivada total y derivada parcial de$w$con respecto a$r$es lo mismo es decir

$$\frac{dw}{dr}= \frac{\partial w}{\partial r } = 2r$$

2. Escribiendo la regla de la cadena también obtendremos el mismo resultado.

$$\frac{\partial w}{\partial r } = \frac{\partial w}{\partial x } \frac{\partial x }{\partial r} + \frac{\partial w}{\partial y } \frac{\partial y }{\partial r}$$

Ambos métodos son correctos. Esto se debe al hecho de que, en este problema en particular, aunque$x$y$y$son funciones de$r$y$\theta$,$w$es una función de$r$solo.

también entonces,

$$\frac{\partial w}{\partial \theta } = 0$$ No se requirió una discusión masiva en este tema.