Subvariedades en matrices 2x2 con traza=0.

Hay cuatro tipos de órbitas:

• La órbita de la matriz cero. Esta órbita consiste solo en la matriz cero y es una subvariedad de dimensión cero.
• la órbita$O_{\lambda}$de la matriz $$\begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & -\lambda \end{pmatrix}$$ dónde$\lambda > 0$. Estas órbitas son subvariedades bidimensionales cerradas. De hecho, si defines$f \colon S \rightarrow \mathbb{R}$por$f(A) = \det(A)$entonces cualquier distinto de cero$\mu \in \mathbb{R}$es un valor regular de$f$. En particular, tenemos que$f^{-1}(\{ -\lambda^2 \}) = O_{\lambda}$es una subvariedad incrustada, cerrada y bidimensional de$S$.
• la órbita$\hat{O}_{\lambda}$de la matriz $$\begin{pmatrix} 0 & \lambda \\ -\lambda & 0 \end{pmatrix}$$ para$\lambda \neq 0$. Nótese que a diferencia del caso anterior, aquí$\hat{O}_{\lambda}$y$\hat{O}_{-\lambda}$no son la misma órbita ya que no hay$g \in \operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$que conjuga$O_{\lambda}$a$O_{-\lambda}$. Estas órbitas son distintas y son subvariedades incrustadas, cerradas y bidimensionales que puede ver observando que$f^{-1}( \{ \lambda^2 \}) = \hat{O}_{\lambda} \cup \hat{O}_{-\lambda}$.
• las órbitas$\tilde{O}_{\pm}$de las matrices $$\begin{pmatrix} 0 & +1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ Este caso es "especial" porque el representante de la órbita no es diagonalizable (incluso sobre$\mathbb{C}$) y por lo tanto las órbitas no están cerradas. Tenga en cuenta que mientras que las dos matrices anteriores están conjugadas por un elemento de$\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$, puedes verificar directamente que no están conjugados bajo un elemento de$\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$así que de hecho te dan dos órbitas distintas. Tenemos $$\left( f|_{S \setminus \{ 0_{2 \times 2} \}}\right)^{-1}(0) = \tilde{O}_{+} \cup \tilde{O}_{-}$$ y, de nuevo, se trata de subvariedades bidimensionales, localmente cerradas.

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Si desea "ver" lo que sucede geométricamente, tenga en cuenta que puede identificar

$$S = \left \{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} \Big\vert a,b,c \in \mathbb{R} \right \}$$ con$\mathbb{R}^3 = \{ (a,v,w) \, | \, a, v, w \in \mathbb{R} \}$usando el cambio de variable $$a = a, b = v + w, c = v - w.$$ Bajo este cambio de variables, la función determinante$\det \colon S \rightarrow \mathbb{R}$se convierte$\det(a,v,w) = w^2 - a^2 - v^2$. Las órbitas en$S$corresponde al conjunto de niveles de$w^2 - a^2 - v^2$de la siguiente manera. Tenga en cuenta que los conjuntos de niveles de$w^2 - a^2 - v^2$son de tres tipos:

• El conjunto de nivel cero$w^2 - a^2 - v^2 = 0$es un cono doble. Esta no es una variedad sino una unión de tres subvariedades: el cono superior, el cono inferior y el origen. Esto corresponde a la unión de las tres órbitas.$\tilde{O}_{+}, \tilde{O}_{-}, \{ 0_{2 \times 2} \}$.
• El nivel establecido$w^2 - a^2 - v^2 = \lambda^2$dónde$\lambda \neq 0$es un hiperboloide de dos hojas. Es una subvariedad desconectada y corresponde a la unión de las dos órbitas$\hat{O}_{\lambda},\hat{O}_{-\lambda}$.
• El nivel establecido$w^2 - a^2 - v^2 = -\lambda^2$dónde$\lambda > 0$es un hiperboloide de una hoja. Es una subvariedad conexa que es precisamente la órbita$O_{\lambda}$.

Puedes ver las diversas órbitas en la siguiente imagen:

Para ver que cualquier distinto de cero$\mu \in \mathbb{R}$es un valor regular de$f$, tenga en cuenta que por la fórmula de Jacobi tenemos

$$df|_{A}(B) = \operatorname{tr} \left( \operatorname{adj}(A) B \right) = \left< \operatorname{adj}(A), B^T \right>$$ dónde$\left< \cdot, \cdot \right>$es el producto interno estándar (Frobenius) en$M_2(\mathbb{R})$. Tenga en cuenta que para un$2 \times 2$matriz que tenemos $$\operatorname{tr}(\operatorname{adj}(A)^T) = \operatorname{tr}(\operatorname{adj}(A)) = \operatorname{tr}(A)$$ Así que si$A \in S$entonces$\operatorname{adj}(A),\operatorname{adj}(A)^T \in S$y así tenemos $$df|_A(\operatorname{adj}(A)^T) = \left< \operatorname{adj}(A), \operatorname{adj}(A) \right>.$$ Por lo tanto, si$df|_A = 0$Debemos tener$\operatorname{adj}(A) = 0$lo que implica que$A = 0$. Por lo tanto, cualquier distinto de cero$\mu \in \mathbb{R}$es un valor regular de$f$y si restringes$f$a$S \setminus \{ O_{2 \times 2} \}$entonces incluso$0$es un valor regular de$f$.

Se puede dar una respuesta más precisa a la primera pregunta enumerando todas las órbitas. Aquí hay una lista completa de representantes de todas las órbitas:

$$\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 0 & 0 \end{pmatrix},\ $$ $$\begin{pmatrix} t & 0\\ 0 & -t \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0 & t\\ -t & 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0 & -t\\ t & 0 \end{pmatrix},$$ dónde$t\in\mathbb{R}$,$t>0$.