Demostración de la diferenciabilidad de una función multivariable sin derivadas parciales continuas

No estoy muy seguro de haber entendido completamente tu pregunta, porque la continuidad de las derivadas parciales se puede extender a todo el espacio (y no solo a un punto). Tal vez sea útil ver el enunciado real del teorema, que analizamos a continuación.

Se puede usar el siguiente teorema del Análisis de variedades de Munkres que es suficiente para la diferenciación pero no necesario:

Teorema 6.2. Dejar$A$estar abierto en$\mathbb{R}^m$. Supongamos que las derivadas parciales$D_j f_i (x)$de las funciones componentes de$f$existen en cada punto$x$de$A$y son continuas en$A$. Entonces$f$es diferenciable en cada punto de$A$.

En tu caso toma$\frac{d}{dx}, \frac{d}{dy}$y ver si son continuos. Si es así, entonces su función$f$es diferenciable en cada punto.

Para esta función en particular sí, hay un truco útil:

Observe que la función$f(x,y)=\frac{x^2+y^2}{\sin(1/\sqrt{x^2+y^2})}$en realidad es una función de$x^2+y^2$; es decir$f(x,y)=g(x^2+y^2)$, dónde

$$g(r):=\frac{r}{\sin(1/\sqrt{r})}.$$ ¿Cómo ayuda esto? El quid de la cuestión es que $$(x,y)\to(0,0)\hspace{.7cm}\Longleftrightarrow\hspace{.7cm}x^2+y^2\to0,$$ lo que, junto con la observación anterior, conduce a $$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=\lim_{x^2+y^2\to0}f(x,y)=\lim_{x^2+y^2\to0}g(x^2+y^2)=\lim_{r\searrow 0}g(r).$$ Esto nos permite lidiar con un límite más fácil en el caso más familiar de una variable. En este ejemplo en particular $g$es muy oscilante cuando $r\searrow0$entonces el límite no existirá, y luego $f$no será diferenciable en $(0,0)$.

Demostrar que una función multivariada tiene un límite puede ser un trabajo tedioso. Cuando las "derivadas parciales son$C^1$"--la prueba no se aplica, uno necesita ser creativo, y los trucos particulares disponibles pueden o no funcionar. En mi experiencia, esta es más una situación ad-hoc . Sin embargo, probablemente encontrará útiles las respuestas dadas en este MSE publicar _

Dices que la función obviamente no es$C^1.$¿Por qué es eso obvio? Puedo ver eso en el$x$-eje, tenemos la función$x^2\sin (1/|x|).$Y sé por una experiencia variable que la derivada parcial con respecto a$x$no será continua en$(0,0).$¿Es eso lo que querías decir?

Porque en realidad tu función pertenece a$C^\infty(\mathbb R^2\setminus \{(0,0)\}).$(De hecho, es realmente analítico en ese dominio). ¿Por qué? porque las composiciones de$C^\infty$las funciones son$C^\infty.$Y en$R^2\setminus \{(0,0)\},$Estamos viendo la composición de$t^2\sin (1/|t|),$Qué esta en$C^\infty(R\setminus \{0\}),$con la función$(x^2+y^2)^{1/2},$Qué esta en$C^\infty(\mathbb R^2\setminus \{(0,0)\}).$

Por lo tanto, su función es diferenciable en todas partes en$\mathbb R^2\setminus \{(0,0)\}.$Entonces no, no necesita pasar por el procedimiento de límite en todas partes. Lejos de eso: solo tiene que verificar la diferenciabilidad en$(0,0).$Parece que sabes cómo hacerlo, así que lo dejaré aquí.