Regla de Leibniz con bolas

Véalo de esta manera: La función

$$\Phi(u,v):=\int_{B_u} f(v,x)\>{\rm d}x$$ de dos variables se precompone con la función $$t\mapsto\bigl(u(t),v(t)\bigr):=(t,t)\qquad(t>0)\ ,$$ y se nos dice que calculemos la derivada de la función $$\phi(t):=\Phi\bigl(u(t),v(t)\bigr)$$ con respecto a $t$. De acuerdo con la regla de la cadena tenemos $$\phi'(t)=\Phi_u\bigl(u(t),v(t)\bigr)u'(t)+\Phi_v\bigl(u(t),v(t)\bigr)v'(t)=\Phi_u\bigl(t,t\bigr)+\Phi_v\bigl(t,t\bigr)\ .\tag{1}$$ La forma básica de la regla de Leibniz nos dice que $$\Phi_v(u,v)=\int_{B_u}f_{.1}(v,x)\>{\rm d}x\ .$$ Para calcular $\Phi_u$nosotros miramos a $$\Phi(u+h,v)-\Phi(u,v)=\int_{B_{u+h}\setminus B_u}f(v,x)\>{\rm d}x\tag{2}$$ para $0<h\ll1$. Entonces, el dominio de integración es una capa esférica de espesor $h$. Particionar este caparazón en $N$pequeños fragmentos de área $\omega_k$y elija un punto de muestreo $x_k$en cada uno de estos fragmentos. La integral del lado derecho de $(2)$entonces es aproximadamente igual a la suma de Riemann $$\sum_{k=1}^N f(v,x_k)\omega_k h\ .$$ Esto hace plausible que $${\Phi(u+h,v)-\Phi(u,v)\over h}\approx \sum_{k=1}^N f(v,x_k)\omega_k\ ,$$ y que en el limite $h\to0+$tenemos $$\Phi_u(u,v)=\int_{S_u}f(v,x)\>{\rm d}\omega\ ,$$ por lo que ahora la integral es sobre la esfera $S_u$de radio $u$.

enchufando todo en$(1)$obtenemos

$$\phi'(t)=\int_{B_t}f_{.1}(v,x)\>{\rm d}x+\int_{S_t}f(v,x)\>{\rm d}\omega\ .$$

Podemos formular esta derivada comenzando con la definición y haciendo algunas suposiciones menores sobre la suavidad de$f$y$B$.

$$\begin{align} \frac{d}{dt}\int_{B(t)}f(\vec x,t)d\vec x & = \lim_{\Delta\to 0}\frac{1}{\Delta}\left[\int_{B(t+\Delta)}f(\vec x,t+\Delta)d\vec x-\int_{B(t)}f(\vec x,t)d\vec x\right] \\ & = \int_{B(t)}\lim_{\Delta\to 0}\frac{1}{\Delta}\left[f(\vec x,t+\Delta)+f(\vec x,t+\Delta)\right]d\vec x-\lim_{\Delta\to 0}\frac{1}{\Delta}\int_{B(t+\Delta)\setminus B(t)}f(\vec x,t+\Delta)d\vec x \\ & = \int_{B(t)}\frac{\partial}{\partial t}f(\vec x, t)d\vec x+\lim_{\Delta\to 0}\frac{1}{\Delta}\int_{B(t+\Delta)\setminus B(t)}f(\vec x,t)d\vec x \end{align}$$ El primer término se explica por sí mismo. El segundo puede considerarse como integrador $f$sobre el caparazón de expansión de $B$en el intervalo $(t, t+\Delta)$. Esta capa tiene un espesor igual a $\Delta$multiplicado por la magnitud de la velocidad superficial de $B$, que llamaré $\vec v_B(\vec x, t)$. Si el dominio de integración es estrictamente expansivo podemos escribir: $$\frac{d}{dt}\int_{B(t)}f(\vec x,t)d\vec x = \int_{B(t)}\frac{\partial}{\partial t}f(\vec x, t)d\vec x+\int_{\partial B(t)}f(\vec x,t)|\vec v_B(\vec x, t)|d\vec \sigma$$ En el caso de una pelota, la velocidad superficial es simplemente $|\vec v_B(\vec x, t)|=\frac{dr}{dt}$. Como alternativa para el caso general, podría ser útil pensar en términos de la función característica de $B$, aunque la derivada de esta función no se comportará bien.