Derivación del efecto Doppler relativista

Puede obtener el desplazamiento Doppler relativista a partir de las transformaciones de Lorentz. Comencemos en el marco del cohete en movimiento y tomemos dos eventos correspondientes a los nodos en la onda emitida (es decir, 1/$f$). Luego, en el marco del cohete, los dos eventos son (0, 0) y ($\tau$, 0), donde$\tau$es el periodo de la onda radiada. Para ver cuál es el período de la radiación en nuestro marco, solo tenemos que usar las transformaciones de Lorentz para transformar estos dos puntos del espacio-tiempo en nuestro marco.

Para simplificar, tomaremos nuestro marco de reposo y el marco del cohete para que coincidan en$t = 0$. Esto es conveniente porque entonces el primer evento es solo (0, 0) en ambos marcos. Ahora las transformaciones de Lorentz nos dicen:

Si nos estamos transformando del marco del cohete al nuestro, y el cohete se mueve a velocidad$v$Escríbanos, entonces tenemos que poner la velocidad como$-v$, y estamos transformando el punto ($\tau$, 0). Poniendo estos en las transformaciones de Lorentz encontramos que el punto ($\tau$, 0) en el marco del cohete se transforma en el punto ($\gamma \tau$,$\gamma v \tau$) en nuestro marco.

El último paso es notar que si estamos sentados en el origen en nuestro marco, la luz del evento en ($\gamma \tau$,$\gamma v \tau$) toma un tiempo$\gamma v \tau/c$para alcanzarnos. Entonces, el momento en que vemos el segundo evento es$\gamma \tau + \gamma v \tau/c$y esto es igual al período de la radiación,$\tau'$en nuestro marco:

Solo necesitamos reorganizar esto para obtener la fórmula habitual. Señalando que$f'$= 1/$\tau'$y$f$= 1/$\tau$Tomamos el recíproco de ambos lados para obtener:

Para simplificar esta nota que:

y reemplazando esto en nuestra expresión por$f'$obtenemos:

y listo está probado!

Otra forma más. Considere una onda de una forma$f(kx-\omega t)$en el marco emisor, observándose como alguna otra onda$f^{\prime} (k^{\prime} x^{\prime}-\omega^{\prime} t^{\prime})$en un marco que se mueve a$v$a lo largo del eje x.

En realidad no nos importa qué$f^{\prime}$es decir, sólo importa el argumento de la función. Así que usa las transformaciones de Lorentz$^{*}$cambiar$x$y$t$a$x^{\prime}$y$t^{\prime}$.

De este modo$k^{\prime} = \gamma(1+v/c)k$y$\omega^{\prime} = \gamma(1+v/c)\omega$.

Esto le da inmediatamente la fórmula de desplazamiento Doppler para la frecuencia ($\omega^{\prime}/\omega$) y longitud de onda ($\lambda^{\prime}/\lambda = k/k^{\prime}$).

Para una fuente que se aleja del observador con velocidad$u$entonces la velocidad a usar sería simplemente$v =-u$en las fórmulas anteriores.

$^{*}$que son por supuesto que

En cuanto a mí, no hay suposición de que puedas hacer (como en el clásico cambio Doppler) como algo de velocidad$c+u$. La velocidad de la luz debe ser una constante en cada marco de referencia (es decir) estrictamente ninguna otra información entre los observadores que no sean las ondas EM. En este caso, si dibuja un diagrama de espacio-tiempo, el$c+u$no estará en los 45 grados entre espacial$x$y tiempo$ct$eje. En el caso del efecto doppler relativista, usamos luz para sincronizar relojes transmitiéndola entre observadores inerciales.

Pero dices que están transformando relativistamente el período de tiempo. No están usando velocidades directas.$c+u$, en cambio, deberían haber asumido que cuando las crestas se desplazan a lo largo de una distancia$(c+v)T_0$, el período de tiempo se dilata a algún valor para que$c$permanecer constante ( simultáneamente ). Está totalmente bien usar tal suposición...

Básicamente, el cambio doppler relativista se puede derivar fácilmente usando diagramas de espacio-tiempo (similar a John, pero esto me lo enseñó un chico antes de entrar en las transformaciones de Lorentz). Se ve genial...

Aquí hay una figura aproximada del espacio-tiempo . Hay dos observadores$\mathrm{A}$(en reposo) y$\mathrm{B}$(en algún movimiento relativo$v$). Después de algún tiempo,$\mathrm{A}$dispara un pulso de luz a$\mathrm{B}$y regresa simultáneamente. Así, los observadores inerciales sincronizan sus relojes de esta forma. Si$T$es el momento para$\mathrm{A}$, entonces$T_B=kT$($k$es algún factor). Después de conectar varias cosas del diagrama, llegamos a una etapa donde la distancia entre$\mathrm{A}$y$\mathrm{B}$en el momento de la sincronización sería,

Igualando ambos, simplemente obtenemos

Entonces, hemos encontrado el factor por el cual ambos$T$y$T_B$están relacionados. Su frecuencia es simplemente la inversa de su período de tiempo. Por lo tanto, la luz emitida por$\mathrm{A}$está desplazado hacia el rojo por$1/k$y la frecuencia observada es

No se requieren orígenes ni emisores ni receptores: considere un fotón con momento$\vec{p}$: tiene 4 velocidades$p_{\mu}=(||p||/c, \vec{p})$. Para calcular lo que otro observador se mueve a$\vec{v}$ve, haz una transformada de Lorentz:$p'_{\mu} = \Lambda_{\mu}^{\ \nu}p_{\nu}$. De esto obtendrás el efecto Doppler relativista (dilatado en el tiempo) y las aberraciones estelares.