Desde el punto de vista del observador en el tren, el fotón se refleja en un espejo en movimiento. Ese reflejo aumentará la energía / impulso del fotón (obviamente no puede aumentar la velocidad). En el marco de referencia del tren, el espejo se mueve hacia el observador a una velocidad$v$: si el fotón saliente tiene impulso$p$, el que regresa tendrá impulso

$$p' = p\frac{c+v}{c-v}$$

Esto se deriva, por ejemplo, en "Reflejo de un espejo en movimiento: una derivación simple usando el modelo fotónico de luz", Gjurchinovski, European Journal of Physics, 34: 1 (2012)

Floris tiene razón, cambia exactamente como él hace referencia en el documento. Sin embargo, uno no necesita mirar ningún documento para resolverlo: es un problema de física relativamente simple si piensa de manera relativista. Lo derivo a continuación. Y no necesita involucrar el impulso (aunque es equivalente), pero puede hacerlo todo desde la forma en que la frecuencia cambia de un marco de referencia inercial a otro (es decir, relatividad especial, y también es cierto en marcos inerciales locales en gravedad)

La idea es considerar el problema como dos pasos y, por lo tanto, dos cambios de un marco de referencia a otro. Haremos dos transformaciones. Es importante hacer uno a la vez o te confundirás.

Los hacemos paso a paso, así que está claro que NO HAY MAGIA en absoluto. Solo transformaciones SR directas.

PRIMERA TRANSFORMACIÓN

Marco 1: el marco de descanso del tren (TRF). Se mueve frente al espejo, pero en este marco consideramos que el tren está en reposo, es decir, estamos parados sobre el tren.

frecuencia emitida = f

Marco 2: el marco de descanso del espejo (MRF). En este marco lo consideramos en reposo.

Dado que la fuente de luz emitida se está moviendo, habrá un desplazamiento Doppler dado por

$f_2$= frecuencia en MRF = (1+$\beta$)$\gamma$f == (1+z)f

donde z es el desplazamiento hacia el azul, es decir,$\Delta$f/f = (frecuencia en MRF - f)/f,

y$beta$= v/c

y el factor de Lorentz$gamma$= 1/$sqrt{(1-\beta^2)}$

ya que ambos están normalmente etiquetados.

La ecuación para el desplazamiento Doppler es exacta en SR, para el movimiento a lo largo de la línea de visión. Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Redshift donde están las ecuaciones

1+z = (1+$\beta$)$\gamma$

y donde he tomado$\beta$> 0 para el desplazamiento hacia el azul que estaríamos viendo. (nota: cuidado, Wiki toma lo contrario, puedes hacerlo de cualquier manera).

SIMPLIFICACIÓN

Tenga en cuenta que 1+z = (1+$\beta$)$\gamma$

se puede simplificar para leer

1+z =$sqrt{[(1+\beta)/(1-\beta)]}$

Entonces

$f_2$= f (1+z) (Ec. 1)

o

$f_2$= f$sqrt{[(1+\beta)/(1-\beta)]}$(Ec. 2)

Así que esa es una ecuación simple. Reutilizaremos las Ecs. 1 y 2 en los próximos pasos

SEGUNDA TRANSFORMACIÓN

Fotograma 2: Espejo en reposo, reflejando la luz, es decir, emitiendo luz

Frecuencia para la luz reflejada en el Cuadro 2 = frecuencia en el Cuadro 2 para luz incidente = frecuencia en MRF =$f_2$

Fotograma 3: Fotograma del tren cuando recibimos la luz de vuelta. En este cuadro, el tren (o nosotros, si lo desea) ve la fuente de luz, Cuadro 2, acercándose a una velocidad v

Por lo tanto, en el Cuadro 3 vemos una frecuencia$f_3$más azul se desplazó.

Podemos aplicar el mismo factor 1+z que aplicamos de Eq. 1 en la ecuación. 2 arriba, para obtener

$f_3$=$f_2$ $sqrt{[(1+\beta)/(1-\beta)]}$

y reemplazando$f_2$obtenemos (con las dos raíces cuadradas idénticas multiplicando) la frecuencia recibida en el tren (RFT)

$f_3$= f$[(1+\beta)/(1-\beta)]$(Ec.3)

Es decir, la frecuencia recibida en el tren,$f_{RFT}$es

$f_{RFT}$= f$[(1+\beta)/(1-\beta)]$(Ec. 4)

Dado que el momento es proporcional a la energía ya la frecuencia en SR, esa es la misma ecuación que en el artículo mencionado por Floris.

Excepto que lo derivamos haciendo dos transformaciones de Lorentz consecutivas donde usamos la ecuación para el cambio Doppler al pasar de un cuadro al siguiente, dos veces.

Tenga en cuenta que esta es la forma correcta de hacerlo. El espejo reflejaba la luz, y la tratamos en su marco de descanso. No hay necesidad de otras suposiciones. El tren recibió la luz reflejada, y no supo que era la luz que emitía, solo vio luz saliendo del espejo. Entonces, simplemente necesitaba hacer la transformación para obtener la frecuencia correcta [en realidad, obviamente el tren (o nosotros en el tren) podemos medir la frecuencia, no necesitaríamos calcularla y luego usar la ecuación. 4 para calcular nuestra velocidad con respecto al espejo].

CONSERVACIÓN DE MOMENTO Y ENERGÍA

Tenga en cuenta que el documento aplica la conservación de la energía y el momento en el espejo. También establece que uno puede obtener sus resultados un poco más complicados (lo hacen por reflexión en ángulo, también podríamos haberlo hecho, no es necesario para la pregunta en cuestión) simplemente usando SR. Tiene que ser así, y para el caso simple cubierto en la pregunta, es muy fácil. Tenga en cuenta también que no necesitamos probar la conservación de la energía, sabemos que SR conserva la energía si se calcula correctamente. Einstein y otros lo demostraron. Sí, la energía fotónica adicional tuvo que provenir del espejo, también es lo que cambió su impulso al invertir la dirección. Es la única interacción física.

Balance de energía en dispersión elástica que involucra fotones

Dispersión de Compton

Primero, considere el marco de referencia$\mathcal{B}$en que descansa la plataforma .

Un fotón con la frecuencia$f^\mathcal{B}$y el impulso$p^\mathcal{B} = \frac{h}{c}f^\mathcal{B}$golpeará un espejo fijado a algún objeto en reposo$\mathrm{M}$de masa$m$. (Puedes imaginar$\mathrm M$ser la Tierra.) El reflejo transferirá un impulso de$S\approx 2p^\mathcal{B}$a$\mathrm{M}$. Después de la colisión el objeto$\mathrm{M}$tendrá la velocidad

$$\Delta v \approx \frac{S}{m} \approx \frac{2h}{mc}f^\mathcal{B}$$ y tendrá algo de energía cinética. Para dar cuenta de esa energía, el fotón reflejado tendrá una frecuencia reducida $f'{}^\mathcal{B}$. Este fenómeno se llama efecto Compton y es muy pequeño para un objeto macroscópico. $\mathrm{M}$, pero muy bien observable si $m$se trata de la masa de un electrón.

Esta no es la transferencia de energía que le interesa. Es sólo

$$\Delta E \approx \frac{m}{2}(\Delta v)^2 \approx \frac{2h^2}{mc^2}f^\mathcal{B} \approx \frac{10^{-83}}{m}f^\mathcal{B}$$ que es muy pequeño, incluso en comparación con la energía de un fotón habitual ( $\sim 10^{-19}\mathrm J$). Así, en el marco de referencia $\mathcal{B}$prácticamente no hay transferencia de energía y podemos suponer $$f'{}^\mathcal{B}\approx f^\mathcal{B}$$

Dispersión Compton inversa

En el marco de referencia$\mathcal{A}$el tren está en reposo . Tenga en cuenta que la energía cinética no es independiente de la elección del marco de referencia . En$\mathcal{B}$el objeto$\mathrm{M}$está en reposo y no tiene energía cinética. En$\mathcal{A}$,$\mathrm{M}$se mueve con la velocidad$v$hacia el observador, por lo que tiene algo de energía cinética$E_\text{kin}^\mathcal{B}\approx \frac{m}{2}v^2$.

Como la energía cinética no es una función lineal de$v$, pero una función aproximadamente cuadrática, el cambio en energía por un impulso$\Delta v$depende de la energía que el objeto$\mathrm{M}$tiene en primer lugar. (Tenga en cuenta que$\Delta v$está en dirección opuesta a$v$. Tenga en cuenta además que$\Delta v$es aproximadamente el mismo en ambos marcos de referencia).

$$\Delta E_\text{kin}\approx \frac{m}{2}(v-\Delta v)^2-\frac{m}{2}v^2=\frac{m}{2}(-2v\Delta v + (\Delta v)^2)\approx -mv\Delta v\approx \frac{v}{c}2hf^\mathcal{B}$$

Ahora sigo asumiendo que$\frac{m}{2}(\Delta v)^2$es un cambio muy pequeño e insignificante en la energía cinética, como lo hice anteriormente. Sin embargo,$mv\Delta v$no se puede descuidar si$v$está cerca del orden de magnitud de la velocidad de la luz como sugiere su problema. En consecuencia, la energía cinética de$\mathrm{M}$se reduce _ Este efecto se llama efecto Compton inverso .

Dado que los trenes no se mueven con, digamos, una décima parte de la velocidad de la luz, el efecto Compton inverso no se observa en los trenes, pero se observa con partículas que se mueven rápidamente en los aceleradores de partículas.

En tu ejemplo, el objeto$\mathrm{M}$perderá algo de energía cinética y el fotón ganará energía en el marco de referencia$\mathcal{A}$

Desplazamiento Doppler relativista

La frecuencia de la luz en los marcos de referencia.$\mathcal{A}$y$\mathcal{B}$están relacionados por las siguientes fórmulas:

Para el fotón moviéndose del tren al espejo

$$f^\mathcal B = \sqrt{\frac{c + v}{c - v}}f^\mathcal A$$ y para el fotón moviéndose del espejo al tren $$f'{}^\mathcal A = \sqrt{\frac{c + v}{c - v}}f'{}^\mathcal B$$

Combina eso con$f'{}^\mathcal{B}\approx f^\mathcal{B}$y concluir

$$f'{}^\mathcal A \approx \frac{c + v}{c - v} f^\mathcal A \approx (1 + 2\frac{v}{c}) f^\mathcal A$$

Por lo tanto, el cambio de energía del fotón es

$$\Delta E_\mathrm\gamma^\mathcal A = hf'{}^\mathcal A - hf^\mathcal A \approx h\cdot2\frac{v}{c}f^\mathcal A$$

Resumen

En$\mathcal{A}$alguna energía cinética de$\mathrm M$se transfiere al fotón. En$\mathcal B$Los cambios de energía son despreciables, pero si$m$es muy pequeño hay una transferencia de energía del fotón al espejo.

Transferencias de energía similares ocurren en el tren al emitir y absorber la luz. En$\mathcal A$el haz de luz transferirá energía cinética de$\mathrm M$al tren En$\mathcal B$el haz de luz transferirá energía cinética del tren a$\mathrm M$.

Lo tengo. Pensé que el tren lanza un fotón en ángulo recto. Lo lanza de frente.

En palabras simples, consideras un fotón que salta entre dos espejos perfectos, como en un reloj de luz. Si los espejos se fijan rígidamente, la frecuencia adecuada (digamos el color) del fotón no cambia. Si los espejos no están rígidos, el fotón transferirá algo de energía a los espejos y los espejos comenzarán a moverse (alejarse) entre sí.

Por lo tanto, el fotón se desplazará cada vez más hacia el rojo con cada oscilación si los espejos retroceden, porque los espejos ganarán parte de su energía.

Si los espejos se aproximan, aunque sea por inercia, transferirán parte de su energía cinética al fotón. Photon los ralentizará un poco. El fotón ganará algo de energía y será cada vez más azulado con cada oscilación.

Si alguien "acerca" los espejos con las manos, tiene que trabajar un poco.

Un detalle interesante es el siguiente: si un tren lanza un fotón en ángulo recto en su marco de referencia, el fotón se desplazará hacia el azul en el espejo de la plataforma. Se desplazará hacia el rojo cuando regrese y aparecerá en la misma frecuencia. En este caso, consideramos que el observador y el espejo se mueven relativamente entre sí en parches paralelos y hay un espacio entre ellos.

¿Dónde está la reciprocidad de las observaciones?