Consideremos la ecuación de Dirac
Por supuesto, tal paréntesis de Poisson se calificaría (super paréntesis de Poisson), pero si existe, esto explicaría a nivel clásico por qué -los espinores corresponden a los fermiones.
Dada la densidad lagrangiana de Dirac
con firma Minkowski , y es un Grassmann-odd Dirac-spinor , la pregunta es ¿Cómo encontrar el formalismo hamiltoniano correspondiente?
La transformación de Legendre de (1) es singular. El análisis de Dirac-Bergmann de la teoría (1) conduce a restricciones, cf. por ejemplo, ref. 1 o esta publicación de Phys.SE. Aquí, en cambio, tomaremos un atajo usando el método Faddeev-Jackiw .
I) Campos de Grassmann complejos. Primero identificamos la densidad hamiltoniana como (menos) los términos en (1) que no implican derivadas temporales:
El potencial simpléctico de una forma se puede transcribir del término cinético en (2):
dónde denota la derivada exterior en el espacio de configuración de dimensión infinita para el campo de fermiones. La forma simpléctica de dos es entonces
El corchete de super-Poisson /Dirac de tiempos iguales en campos fundamentales es la supermatriz inversa de la supermatriz para la forma simpléctica de dos (4):
y otros brackets súper-Poisson fundamentales desaparecen. Debido al principio de correspondencia QM , las relaciones canónicas de anticonmutación (CAR) son los corchetes de super-Poisson (5) multiplicados por :
I) Campos de Grassmann reales. Alternativamente, descompongamos el complejo espinor de Dirac
en partes reales e imaginarias. La densidad lagrangiana (2) se lee hasta los términos derivados totales
El potencial de una forma simpléctica correspondiente es
La forma simpléctica de dos es
El super-Poisson de igual tiempo es
Los CAR son
Referencias:
--
En nuestras superconvenciones, la derivada exterior es Grassmann-par y lleva el grado de forma +1.
Note que sumando una derivada de tiempo total
al término cinético (2) corresponde a sumar un término exacto
al potencial simpléctico de una forma (3), que no tiene ningún efecto sobre el simpléctico de dos formas (4).
Ahora, no sé qué significa la palabra riguroso, pero aquí hay una respuesta ingenua. Dado
En mi opinión, no se puede [*] definir rigurosamente el corchete. Suponga que utiliza la ecuación de campo de Dirac para llegar a la densidad lagrangiana ordinaria
Esta es una función de los componentes del espinor. y sus adjuntos . El problema comienza cuando tratas de obtener el momento conjugado para los adjuntos (el punto denota la derivada del tiempo)
lo que implica que no todas las variables canónicas son independientes y que no existe una verdadera estructura 'fase-espacio'.
Podría intentar definir formalmente los corchetes de Poisson de la manera habitual,
pero tenga en cuenta que esto solo es formalmente válido, porque las variables no son todas independientes. Las ecuaciones de movimiento se escribirían algo así como
usando el signo de igualdad débil de Dirac, porque esta es una dinámica restringida. La densidad hamiltoniana se obtiene de
Note que todo esto es un tratamiento cuántico. No existe la teoría clásica de espinor.
[*] Supongo que todo depende de lo que intentes hacer.
Es posible construir un hamiltoniano. De hecho, esta es la forma en que Dirac escribió inicialmente su ecuación. Para eso, las coordenadas de tiempo y espacio deben tratarse de manera diferente. En la imagen de Schrödinger, el hamiltoniano genera la dinámica del tiempo a través de ( )
Si desea escribir esto en términos de una teoría de campo clásica, con el campo evolucionando como
Editar:
Defino el corchete de Poisson como
Sasha
cuchillos
Bot feudalista libertario