¿Por qué la materia es atraída hacia un agujero negro y no se condensa en un solo punto dentro de la singularidad?

Los muchos comentarios han cubierto los puntos principales de la pregunta, pero pensé que valdría la pena explicar cómo se calcula el comportamiento. Si resolvemos la ecuación de Einstein para una masa puntual obtenemos la métrica de Schwarzschild:

Todas las ecuaciones dan miedo a los no nerds, pero no te preocupes demasiado por los detalles. Los puntos clave son que la ecuación implica tiempo,$dt$, y la distancia desde el centro del agujero negro,$dr$, y calcula una cantidad llamada elemento de línea,$ds$.

El tiempo,$t$, y la distancia radial,$r$, son las cantidades físicas medidas por un observador fuera del agujero negro, es decir, somos tú y yo. Son exactamente lo que pensarías, es decir, el tiempo es lo que medimos con un cronómetro. La distancia radial es lo que obtendría al medir la circunferencia de un círculo alrededor del agujero negro y dividirla por$2\pi$(porque la circunferencia de un círculo es$2\pi r$).

El intervalo de línea,$ds$, es un poco más abstracto pero para nuestros propósitos$ds$es el tiempo medido por alguien que cae en el agujero negro. Esto se llama el tiempo propio y generalmente se escribe como$\tau$. Probablemente haya escuchado que el tiempo se ralentiza a medida que se acerca a la velocidad de la luz, y obtiene un efecto similar aquí (como mencionó dmckee en un comentario). Eso significa el tiempo medido por alguien que cae en el agujero negro, es decir, el tiempo adecuado$\tau$, no es lo mismo que el tiempo$t$que medimos al observar el agujero negro desde el exterior.

El punto de todo esto es que puedes usar la métrica para calcular cuánto tiempo lleva caer desde cierta distancia,$R$, fuera del agujero negro al horizonte de sucesos. En primer lugar, calculemos esto para la persona que cae en el agujero negro. Esto significa que tenemos que calcular el tiempo adecuado,$\tau$. Puede encontrar esto en cualquier libro sobre GR, o buscando en Google, y el resultado es:

De nuevo, no te preocupes por los detalles. Mientras sepamos la masa del agujero negro,$M$, y la distancia inicial,$R$, simplemente ingresamos estos en una calculadora y nos da$\Delta\tau$que es el tiempo medido por la persona que cae en el agujero negro. El tiempo obviamente depende de qué tan lejos empieces y qué tan grande sea el agujero negro, pero son solo unos segundos. De hecho si usamos$r = 0$en la expresión about podemos calcular cuánto tarda en caer a través del horizonte de eventos y en la singularidad en el agujero negro.

Entonces, el punto a anotar en esta etapa es que la persona que cae en el agujero negro alcanza el horizonte de eventos y encuentra la singularidad en un tiempo finito.

El siguiente paso es calcular el tiempo medido por ti y por mí sentados fuera del agujero negro. Esto es un poco más complicado, pero terminamos con una expresión:

dónde$\epsilon$es la distancia desde el horizonte de sucesos, es decir$\epsilon = r - 2M$. Integrar esto para encontrar el tiempo para llegar al horizonte de eventos es un poco complicado, pero si nos restringimos a distancias muy cercanas al horizonte de eventos encontramos:

pero$\epsilon$es la distancia desde el horizonte de eventos, por lo que es cero en el horizonte de eventos y$ln(0)$es infinito. Eso significa que el tiempo que tú y yo medimos para que nuestro astronauta llegue al horizonte de sucesos,$\Delta t$, es infinito.

Y es por eso que obtienes el resultado aparentemente paradójico de caer en agujeros negros. El tiempo medido por la caída de la persona,$\Delta\tau$, es finito pero el tiempo medido por personas fuera del agujero negro,$\Delta t$, es infinito.