Problema relativista de 2 cuerpos con fuerza de Colomb instantánea

Question

Problema relativista de 2 cuerpos con fuerza de Colomb instantánea

usuario3257624

Configuración

Supongamos que tenemos dos partículas (aisladas) masivas y cargadas eléctricamente, moviéndose en el espacio vacío, que interactúan a través de la fuerza instantánea de Coulomb. Soy un observador inercial y quiero construir las ecuaciones de movimiento para cada partícula. Dejar ${{\mathbf{r}}_{i}}\left( t \right)$ sea la trayectoria* de la partícula con masa en reposo ${{m}_{i}}$ y carga electrica ${{q}_{i}}$ , y ${{\mathbf{F}}_{i}}\left( t \right)$ la fuerza aplicada a esa partícula. Entonces, en mi marco de referencia, las ecuaciones de movimiento de cada partícula serían:

\frac{d}{d t} {pag}_{i} (t) = F_{i} (t)

$\tfrac{d}{dt}{{\mathbf{p}}_{i}}\left( t \right)={{\mathbf{F}}_{i}}\left( t \right)$ dónde

p_{i} (t) \equiv m_{i} γ_{i} (t) {\dot{r}}_{i} (t)

${{\mathbf{p}}_{i}}\left( t \right)\equiv {{m}_{i}}{{\gamma }_{i}}\left( t \right){{\mathbf{\dot{r}}}_{i}}\left( t \right)$ ,

γ_{i} (t) \equiv γ (v_{i} (t))

${{\gamma }_{i}}\left( t \right)\equiv \gamma \left( {{v}_{i}}\left( t \right) \right)$ y

v_{i} (t) \equiv ‖ {\dot{r}}_{i} (t) ‖

${{v}_{i}}\left( t \right)\equiv \left\| {{{\mathbf{\dot{r}}}}_{i}}\left( t \right) \right\|$ .

${*}$ como se observa en mi marco de referencia, donde $t$ es la lectura de mi reloj

La pregunta

Dejar, $\mathbf{r}\left( t \right)\equiv {{\mathbf{r}}_{1}}\left( t \right)-{{\mathbf{r}}_{2}}\left( t \right)$ y $K\equiv {{{q}_{1}}{{q}_{2}}}/{\left( 4\pi {{\varepsilon }_{0}} \right)}\;$ . ¿Qué expresión debo usar para ${{\mathbf{F}}_{i}}\left( t \right)$ ? Los posibles candidatos son:

la fuerza de Coulomb entre dos partículas que son ${r}\left( t \right)$ muy separados unos de otros, es decir: $F_{1} (t) = k \frac{1}{r^{2} (t)} \hat{r} (t) = - F_{2} (t)$ ${{\mathbf{F}}_{1}}\left( t \right)=K\frac{1}{{{r}^{2}}\left( t \right)}\mathbf{\hat{r}}\left( t \right)=-{{\mathbf{F}}_{2}}\left( t \right)$
la fuerza de Coulomb que tiene en cuenta el fenómeno de la contracción de la longitud, es decir: $F_{1} (t) = k \frac{1}{{(r (t) γ_{1} (t))}^{2}} \hat{r} (t), F_{2} (t) = - k \frac{1}{{(r (t) γ_{2} (t))}^{2}} \hat{r} (t)$ ${{\mathbf{F}}_{1}}\left( t \right)=K\frac{1}{{{\left( r\left( t \right){{\gamma }_{1}}\left( t \right) \right)}^{2}}}\mathbf{\hat{r}}\left( t \right)\quad ,\quad {{\mathbf{F}}_{2}}\left( t \right)=-K\frac{1}{{{\left( r\left( t \right){{\gamma }_{2}}\left( t \right) \right)}^{2}}}\mathbf{\hat{r}}\left( t \right)$

Si nada de lo anterior es cierto, ¿cuál sería la expresión correcta? Cabe señalar que no tenemos en cuenta los efectos de retardo .

mi intuición

Diría con certeza que es el caso 2., a menos que haya notado lo siguiente:

F_{1} (t) + F_{2} (t) = k \frac{1}{r^{2} (t)} (\frac{1}{γ_{1}^{2} (t)} - \frac{1}{γ_{2}^{2} (t)}) \hat{r} (t) = k \frac{1}{C^{2} r^{2} (t)} (v_{2}^{2} (t) - v_{1}^{2} (t)) \hat{r} (t)

${{\mathbf{F}}_{1}}\left( t \right)+{{\mathbf{F}}_{2}}\left( t \right)=K\frac{1}{{{r}^{2}}\left( t \right)}\left( \frac{1}{\gamma _{1}^{2}\left( t \right)}-\frac{1}{\gamma _{2}^{2}\left( t \right)} \right)\mathbf{\hat{r}}\left( t \right)=K\frac{1}{{{c}^{2}}{{r}^{2}}\left( t \right)}\left( v_{2}^{2}\left( t \right)-v_{1}^{2}\left( t \right) \right)\mathbf{\hat{r}}\left( t \right)$ lo que, en general, implica que

\frac{d}{d t} (p_{1} (t) + p_{2} (t)) \neq 0

$\tfrac{d}{dt}\left( {{\mathbf{p}}_{1}}\left( t \right)+{{\mathbf{p}}_{2}}\left( t \right) \right)\ne 0$ , a menos que

v_{1}^{2} (t) = v_{2}^{2} (t)

$v_{1}^{2}\left( t \right)=v_{2}^{2}\left( t \right)$ para cualquier

t \in R

$t\in \mathbb{R}$ .

Más preguntas

Si mi intuición es correcta, ¿por qué, en general, no se conserva el momento relativista total? ¿Es porque descuidamos los efectos de retardo y tratamos el problema de manera semi-relativista? ¿O hay una falacia lógica en las consideraciones anteriores?

Respuestas (1)

Problema relativista de 2 cuerpos con fuerza de Colomb instantánea

Mihai B. · Answer 1

Ley de Colomb (vetorial)

\vec{mi} (X, y, z) = \frac{mi \vec{r}}{4 π ϵ_{0} r^{3}},

$\vec{E}(x,y,z) = \frac{e \vec{r}}{4 \pi \epsilon_0 r^3},$

Biot-Savart (vectorial + alguna simplificación de cálculo de $c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu}}$ )

\vec{B} (X, y, z) = \frac{m_{0} mi (\vec{v} \times \vec{r})}{4 π r^{3}} = \frac{(\vec{v} \times \vec{r}) q}{C^{2} (4 π ϵ_{0} r^{3})} = \frac{\vec{v} \times \vec{mi}}{C^{2}}

$\vec{B}(x,y,z) = \frac{\mu_0 e (\vec{v} \times \vec{r}) }{4 \pi r^3} = \frac{(\vec{v} \times \vec{r}) q}{c^2 (4 \pi \epsilon_0 r^3)} = \frac{\vec{v} \times \vec{E}}{c^2}$

La forma correcta de tratar la interacción del electromagnetismo en la relatividad es usar el tensor electromagnético $F^{\mu\nu}$

F_{v}^{m} = (\begin{matrix} 0 & - {mi}_{X} / C & - {mi}_{y} / C & - {mi}_{z} / C \\ - {mi}_{X} / C & 0 & - B_{z} & B_{y} \\ - {mi}_{y} / C & B_{z} & 0 & - B_{X} \\ - {mi}_{z} / C & - B_{y} & B_{X} & 0 \end{matrix}),

$F^\mu_\nu = \left( \begin{matrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ -E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z/c & -B_y & B_x & 0 \\ \end{matrix} \right) ,$

Vector de cuatro velocidades

γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}}, d τ = \frac{d t}{γ}

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, d\tau = \frac{dt}{\gamma}$

{tu}^{m} = (\begin{matrix} γ C \\ γ v_{X} \\ γ v_{y} \\ γ v_{z} \end{matrix}),

$U^\mu = \left ( \begin{matrix} \gamma c \\ \gamma v_x \\ \gamma v_y \\ \gamma v_z \\ \end{matrix}\right ) ,$

Ley de la "fuerza" relativista

\frac{d ({metro}_{0} {tu}^{m})}{d τ} = - mi F_{v}^{m} {tu}^{v}

$\frac{d(m_{0}U^\mu)}{d\tau} = - e F^\mu_\nu U^\nu$

Algunas notaciones

β_{X} = \frac{v_{X}}{C}, β_{X} = \frac{v_{y}}{C}, β_{z} = \frac{v_{z}}{C}, β = \frac{v}{C}, v = \sqrt{v_{X}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}}

$\beta_x = \frac{v_x}{c} , \beta_x = \frac{v_y}{c} , \beta_z = \frac{v_z}{c} , \beta = \frac{v}{c}, v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

Lorentz Boost en dirección arbitraria:

Λ_{v}^{m} (v) = (\begin{matrix} γ & - β_{X} γ & - β_{y} γ & - β_{z} γ \\ - β_{X} γ & 1 + (γ - 1) β_{X}^{2} / β^{2} & (γ - 1) β_{X} β_{y} / β^{2} & (γ - 1) β_{X} β_{z} / β^{2} \\ - β_{y} γ & (γ - 1) β_{y} β_{z} / β^{2} & 1 + (γ - 1) β_{y}^{2} / β^{2} & (γ - 1) β_{y} β_{z} / β^{2} \\ - β_{z} γ & (γ - 1) β_{z} β_{X} / β^{2} & (γ - 1) β_{z} β_{y} / β^{2} & 1 + (γ - 1) β_{z}^{2} / β^{2} \end{matrix})

$\Lambda^\mu_\nu(v) = \left ( \begin{matrix} \gamma & -\beta_x\gamma & -\beta_y\gamma & -\beta_z\gamma \\ -\beta_x\gamma & 1 + (\gamma - 1)\beta_x^2/\beta^2 & (\gamma - 1)\beta_x\beta_y/\beta^2 & (\gamma - 1)\beta_x\beta_z/\beta^2 \\ -\beta_y\gamma & (\gamma - 1)\beta_y\beta_z/\beta^2 & 1 + (\gamma - 1)\beta_y^2/\beta^2 & (\gamma - 1)\beta_y\beta_z/\beta^2 \\ -\beta_z\gamma & (\gamma - 1)\beta_z\beta_x/\beta^2 & (\gamma - 1)\beta_z\beta_y/\beta^2 & 1 + (\gamma - 1)\beta_z^2/\beta^2 \\ \end{matrix} \right )$ Bajar + subir índices

Λ_{m}^{v} (v) = η_{m α} η^{v β} Λ_{β}^{α} (v)

$\Lambda_\mu^\nu(v) = \eta_{\mu\alpha}\eta^{\nu\beta} \Lambda^\alpha_\beta(v)$

Λ_{m}^{v} (v) = (\begin{matrix} γ & β_{X} γ & β_{y} γ & β_{z} γ \\ β_{X} γ & 1 + (γ - 1) β_{X}^{2} / β^{2} & (γ - 1) β_{X} β_{y} / β^{2} & (γ - 1) β_{X} β_{z} / β^{2} \\ β_{y} γ & (γ - 1) β_{y} β_{z} / β^{2} & 1 + (γ - 1) β_{y}^{2} / β^{2} & (γ - 1) β_{y} β_{z} / β^{2} \\ β_{z} γ & (γ - 1) β_{z} β_{X} / β^{2} & (γ - 1) β_{z} β_{y} / β^{2} & 1 + (γ - 1) β_{z}^{2} / β^{2} \end{matrix})

$\Lambda_\mu^\nu(v) = \left ( \begin{matrix} \gamma & \beta_x\gamma & \beta_y\gamma & \beta_z\gamma \\ \beta_x\gamma & 1 + (\gamma - 1)\beta_x^2/\beta^2 & (\gamma - 1)\beta_x\beta_y/\beta^2 & (\gamma - 1)\beta_x\beta_z/\beta^2 \\ \beta_y\gamma & (\gamma - 1)\beta_y\beta_z/\beta^2 & 1 + (\gamma - 1)\beta_y^2/\beta^2 & (\gamma - 1)\beta_y\beta_z/\beta^2 \\ \beta_z\gamma & (\gamma - 1)\beta_z\beta_x/\beta^2 & (\gamma - 1)\beta_z\beta_y/\beta^2 & 1 + (\gamma - 1)\beta_z^2/\beta^2 \\ \end{matrix} \right )$ Transformación de campos (tratamos el campo como independiente de la fuente después de generarse, también conocido como un fotón después de generarse)
si

| \vec{v_{s r c}} | > 0

$|\vec{v_{src}}| > 0$ entonces (src = fuente = "emisor",

v_{s r c}

$v_{src}$ visto por un observador en reposo)

(F^{'})_{v}^{m} = Λ_{α}^{m} (v_{s r C}) Λ_{v}^{β} (v_{s r C}) F_{β}^{α}

$(F')^\mu_\nu = \Lambda^\mu_\alpha(v_{src}) \Lambda_\nu^\beta(v_{src}) F^\alpha_\beta$

La ley completa:

\frac{d ({metro}_{0} {tu}^{m})}{d τ} = - mi (F^{'})_{v}^{m} {tu}^{v}

$\frac{d(m_{0}U^\mu)}{d\tau} = - e (F')^\mu_\nu U^\nu$

(En esta imagen: el efecto relativista de la precesión , similar a la precesión del perihelio de Mercurio [a diferencia de la predicción clásica que habría sido una órbita única simple])

PD: si necesita crear una simulación de algún tipo, le recomiendo que use el cálculo matricial (vectorial) y no intente descomponer (romper/desmantelar) los tensores en formas más simples porque es seguro que terminará haciendo un signo/símbolo error.

Referencias (algunas):

https://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_formulation_of_classical_electromagnetism
Un impulso en una dirección arbitraria
Las conferencias de Feynman sobre física, volumen II - Transformaciones de los campos de Lorentz
Nicolae Barbulescu - Bazele Fizice ale Relativitatii Einsteiniene, 1975
A.Einstein - El significado de la relatividad, sexta edición

Enfoque interesante pero, dado que las partículas no se mueven inercialmente, soy un poco escéptico con respecto al derecho a usar impulsos de Lorentz, para transitar en un marco no inercial.
Lorentz boost en la métrica de Minkowski es solo la solución de la transformación vectorial V ^ mu = parcial (X ^ mu)/parcial (X ^ nu) V ^ nu aka Lambda = parcial (X ^ mu)/parcial (X ^ nu). Esta es la relatividad especial. Verifique las referencias anteriores: son de buenas conferencias de SR
Consulte también ocw.mit.edu/courses/physics/8-033-relativity-fall-2006/… especialmente busque "Leyes generales de transformación para E y B"
estoy completamente de acuerdo con eso. Mi objeción es que los impulsos de Lorentz se derivan después de postular que "las leyes de la física son las mismas en todos los marcos de inercia "
No puedo guiarte más, [porque] no soy un maestro. Quizás alguien más también quiera contribuir con una respuesta que aclare los engaños aquí y allá. Lo siento y gracias :)
Le agradezco su esfuerzo de proporcionar una respuesta tan extensa y detallada.

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usuario3257624

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Mihai B.

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