¿Por qué está bien usar electrostática en el modelo de Bohr si el electrón se está moviendo?

Para el caso del modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, el uso de fuerzas electrostáticas está bien justificado. La electrostática no exige que todas las cargas permanezcan completamente estacionarias, o sería completamente inútil como teoría (dada la forma en que describe las fuerzas, que solo tienen sentido cuando imparten aceleraciones). En cambio, solo requiere que las cargas se muevan lo suficientemente lento, lo que para el caso de la electrostática esencialmente significa que

• todas las velocidades deben ser mucho más pequeñas que la velocidad de la luz, y
• cualquier movimiento debe ser lo suficientemente lento para que los campos retardados puedan reemplazarse con sus versiones instantáneas; es decir, se debe poder asumir que la propagación de cualquier cambio en los campos, a la velocidad de la luz, es instantánea.

Los dos requisitos son ligeramente diferentes y, por lo tanto, independientes: como ejemplo de una situación que rompe la última condición, considere dos cargas que oscilan en resortes de Hookian, con período$T$, mantuvo una distancia$L$aparte. Si$L$es comparable a, o más grande que,$c\,T$, entonces las fuerzas eléctricas de cualquiera de las cargas se retardarán considerablemente cuando lleguen a la otra.

En el modelo de Bohr se cumplen ambos requisitos. La velocidad del electrón en la órbita más rápida es$v=\alpha c$, dónde$\alpha\approx 1/137$es la constante de estructura fina, entonces$v$es mucho más lento que$c$, y los efectos de retardo son insignificantes.

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Dicho esto, es importante señalar que las consideraciones anteriores no son exclusivas del modelo de Bohr, y también son relevantes en la mecánica cuántica propiamente dicha. El modelo de Bohr normalmente se considera obsoleto, ya que los valores propios de la ecuación de Schrödinger

$$\left[ -\frac{\hbar^2}{2m_e} \nabla^2 - \frac{e}{r} \right] \Psi(\mathbf r) = E \Psi(\mathbf r) \tag1$$ describir completamente el espectro observado, dentro de un formalismo coherente y ampliable. Sin embargo, la crítica sobre el uso de la electrostática es igualmente válida para la ecuación de Schrödinger tal como se expresa en $(1)$anterior: ¿por qué podemos tomar esa postura relativista lejana para la mecánica donde el electrón se mueve? La respuesta es la misma que para el modelo cuasiclásico de Bohr: porque no se mueve demasiado. Hay correcciones relativistas relevantes, conocidas como la estructura fina de los espectros atómicos, que explican el hecho de que la electrostática no es una descripción perfecta de la física, pero siguen siendo correcciones sobre una teoría en gran parte correcta.