¿Cambia la fuerza entre dos cargas puntuales cuando cambia el marco de referencia inercial?

Las dos cargas puntuales son las siguientes:

Entonces la fuerza de Coulomb entre ellos es:

$$F_1=\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 r^2}$$

Cuando el marco de referencia inercial se mueve hacia la izquierda en$v$(o las cargas puntuales se mueven a la derecha en$v$), entonces habrá campo magnético según la ley de Biot-Savart.

La fuerza de Lorenz entre los dos puntos de carga en la dirección vertical será distinta de cero. La magnitud de la fuerza de Lorentz es:

$$f_L=\frac{\mu_0 q^2v^2}{4\pi r^2}$$

En wiki sobre la fuerza de Lorentz , dice que:

Los campos eléctrico y magnético dependen de la velocidad de un observador, por lo que la forma relativista de la ley de fuerza de Lorentz se puede exhibir mejor a partir de una expresión independiente de las coordenadas para los campos electromagnético y magnético,[27] \mathcal{F}, y una dirección temporal arbitraria

Considerando$F_1$y$f_L$tienen direcciones y velocidades ópticas opuestas$1/c^2=\mu_0\epsilon_0$, la magnitud de la fuerza$F_2$entre las dos cargas se convierte en:

$$F_2=F_1-f_L= \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)F_1$$

¿Tengo razón?

Según el cálculo aquí , es fácil obtener el factor de dilatación del tiempo$\displaystyle\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$de un evento en el que las dos cargas puntuales se separan a una distancia de$r$.

La EDO no lineal:

$$\dfrac{d^2r(t)}{dt^2}=\dfrac{\left(1-\dfrac{v^2}{c^2}\right)q^2}{2\pi m\epsilon_0\left(R+r(t)\right)^2}$$

con condiciones iniciales/de contorno

$$r(t)=0,\quad r'(t)=0$$

Solución:

$$\because\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$$ $$\int {\rm{Left }}\cdot dr=\int\frac{d^2r}{dt^2}\cdot {dr}=\int\frac{d\left(\dfrac{dr}{dt}\right)\cdot dr}{dt}=\dfrac{1}{2}\int d\left(\left(\dfrac{dr}{dt}\right)^2\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{dr}{dt}\right)^2$$

$$\int{\rm Right}\cdot dr=\int\dfrac{\left(1-\dfrac{v^2}{c^2}\right)q^2 \cdot {dr}}{2\pi m\epsilon_0\left(R+r\right)^2}=\dfrac{\left(1-\dfrac{v^2}{c^2}\right)q^2 {r}}{2\pi m\epsilon_0\left(R+r\right)R}$$

$$\therefore \dfrac{dr}{dt}=\sqrt{\dfrac{\left(1-\dfrac{v^2}{c^2}\right)q^2 {r}}{\pi m\epsilon_0\left(R+r\right)R}}$$

$$\therefore{dt}=\sqrt{\dfrac{\pi m\epsilon_0\left(R+r\right)R}{\left(1-\dfrac{v^2}{c^2}\right)q^2 {r}}}dr$$

$$\therefore\int{dt}=\sqrt{\dfrac{\pi m\epsilon_0}{\left(1-\dfrac{v^2}{c^2}\right)q^2 }}\int\sqrt{\frac{\left(R+r\right)R}{r}}dr$$

$$\Delta t(r)=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}\sqrt{\dfrac{\pi m\epsilon_0}{q^2 }}\left(\sqrt{r R (r+R)}-\frac{1}{2} R^{3/2} \left(\log R-2 \log \left(\sqrt{r+R}+\sqrt{r}\right)\right)\right)$$

lo cual indica:

El intervalo de tiempo en que las dos cargas puntuales se separan una distancia mayor$r$en el marco de referencia móvil es$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}$que en el marco de referencia estático donde$v=0$.

¿Significa esto que la transformación de Lorentz para el tiempo es natural para un evento que involucra leyes tanto eléctricas como magnéticas sin la necesidad de considerar la relatividad especial?

¿Se puede derivar una versión completa de la transformación de Lorentz en tal enfoque?

PD

Encontré que esta pregunta sin una respuesta aceptada es similar, pero hice algunos cálculos y extensiones adicionales aquí.