¿Se pueden derivar las ecuaciones de Maxwell de la ley de Coulomb y la relatividad especial?

Las ecuaciones de Maxwell se derivan de las leyes de la electricidad combinadas con los principios de la relatividad especial. Pero este hecho no implica que el campo magnético en un punto dado sea menos real que el campo eléctrico. Muy por el contrario, la relatividad implica que estos dos campos tienen que ser igualmente reales.

Cuando se imponen los principios de la relatividad especial, el campo eléctrico$\vec{E}$tiene que incorporarse a un objeto que se transforma de una manera bien definida bajo las transformaciones de Lorentz, es decir, cuando cambia la velocidad del observador. Porque no existe la "fuerza eléctrica escalar", y por otras razones técnicas que no quiero explicar,$\vec{E}$no puede ser parte de un vector de 4 en el espacio-tiempo,$V_{\mu}$.

En su lugar, deben ser los componentes$F_{0i}$de un tensor antisimétrico con dos índices,

los índices$\mu,\nu$tomar valores$0,1,2,3$es decir$t,x,y,z$. Debido a la antisimetría anterior, hay 6 componentes no equivalentes del tensor: los valores de$\mu\nu$puede ser

Cuando tenía 10 años, también pensé que el campo magnético podría haber sido solo un artefacto del campo eléctrico, pero no puede ser así. En cambio, los campos eléctrico y magnético en cada punto son completamente independientes entre sí. Sin embargo, la simetría de Lorentz puede transformarlos entre sí y ambos son necesarios para que su amigo pueda transformarse en algo en un sistema inercial diferente, para que la simetría bajo el cambio del sistema inercial no se pierda.

Si solo empiezas con el$E_z$campo eléctrico, la componente$F_{03}$es distinto de cero. Sin embargo, cuando impulsa el sistema en el$x$-dirección, mezclas la coordenada de tiempo$0$con el espacial$x$-coordinar$1$. En consecuencia, una parte de la$F_{03}$el campo se transforma en el componente$F_{13}$que se interpreta como el campo magnético$B_y$, hasta un cartel.

Alternativamente, uno puede describir la electricidad por el potencial eléctrico$\phi$. Sin embargo, la densidad de energía de la densidad de carga$\rho=j_0$tiene que ser un tensor con dos índices temporales,$T_{00}$, asi que$\phi$en sí mismo también debe llevar un índice similar al tiempo. debe ser eso$\phi=A_0$para algunos 4 vectores$A$. Todo este 4-vector debe existir por relatividad, incluidos los componentes espaciales.$\vec{A}$, y un nuevo campo$\vec{B}$puede calcularse como el rotacional de$\vec{A}$tiempo$\vec{E}=-\nabla\phi-\partial \vec{A}/\partial t$.

Aparentemente quería probar la ausencia de los monopolos magnéticos demostrando la ausencia del campo magnético mismo. Bueno, disculpas por haber interrumpido tu plan de investigación: no puede funcionar. Los imanes son malditamente reales. Y si está interesado, la existencia de monopolos magnéticos es inevitable en cualquier teoría consistente de la gravedad cuántica. En particular, dos polos de un imán en forma de mancuerna pueden colapsar en un par de agujeros negros que inevitablemente poseerán las cargas monopolares magnéticas (opuestas). Los agujeros negros más ligeros posibles (masa de Planck) con cargas de monopolo magnético serán "pruebas de concepto" partículas elementales pesadas con cargas magnéticas; sin embargo, a veces también pueden existir partículas más ligeras con las mismas cargas.

La respuesta de Lubos Motl es muy buena, pero creo que vale la pena decir una o dos cosas más.

Puede considerar el magnetismo simplemente como un subproducto de la electricidad, en el siguiente sentido: si asume que la Ley de Coulomb es correcta, que la relatividad especial es correcta y que la carga es un escalar de Lorentz (de modo que la carga y la densidad de corriente forman un 4- vector), entonces puede derivar todas las ecuaciones de Maxwell. (En realidad, probablemente también deba asumir que la teoría también es lineal, ahora que lo pienso). El libro de texto de nivel universitario de Purcell resuelve esto muy explícitamente de una manera agradable y agradable, y también está en libros de texto más avanzados. .

Algunos libros pasan por alto la necesidad de postular que la carga es un escalar. Al menos un libro de texto, no recuerdo cuál, lo enfatiza y presenta un caso convincente de que vale la pena prestarle atención. Una forma de ver que no es una condición trivial para imponer es considerar la analogía con la gravedad, es decir, sustituir la masa por la carga y la gravedad por el campo eléctrico, y tratar de ejecutar el mismo argumento. (Suponga campos débiles para que todo pueda tratarse como lineal si lo desea). Hay efectos "gravitomagnéticos", pero no están relacionados con la gravedad normal de la misma manera que el campo magnético está relacionado con el campo eléctrico, es decir , los análogos gravitatorios de las ecuaciones de Maxwell se ven diferentes de las ecuaciones regulares de Maxwell). Una de las razones son las diferencias de signo, por supuesto, cargas similares se repelen en un caso y se atraen en el otro. Pero una razón mayor es que la fuente de gravedad no es un escalar: su densidad no forma parte de un cuadrivector, sino de un tensor de rango 2.

Pero en un nivel más filosófico (o quizás semántico), no saltaría de este hecho a la conclusión de que el magnetismo es "simplemente" un subproducto de la electricidad. ¡Por lo menos, ese lenguaje no parece ser útil para comprender la teoría o usarla! Por ejemplo, entender cómo una onda electromagnética puede propagarse desde una galaxia lejana hasta tu ojo es mucho más fácil y natural si lo miras desde el punto de vista "habitual".

No es una respuesta directa a su pregunta, pero sigue siendo una sorprendente derivación de las ecuaciones de Maxwell:

La prueba de Feynman de las ecuaciones de Maxwell (FJ Dyson - Phys. Rev. A, 1989) muestra que es posible derivar las ecuaciones de Maxwell a partir de la segunda ley de movimiento y relaciones de conmutación de Newton (bajo límites no relativistas).

Sí, puedes hacerlo, pero también necesitas usar un principio de superposición.

1. Usted determina que la ley de Couloms, $$\mathbf F = \frac{qQ\mathbf r}{|\mathbf r |^{3}},$$ es un caso límite de la fuerza relativista, que actúa sobre la carga q por el campo de una carga Q.
2. Usando la transformación de Lorentz para la fuerza y ​​para el radio-vector, $$\mathbf F = \mathbf F' + \gamma \mathbf u \frac{(\mathbf F' \cdot \mathbf v')}{c^{2}} + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf F')}{c^{2}},$$ $$\mathbf r' = \mathbf r + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r)}{c^{2}} - \gamma \mathbf u t = \mathbf r + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r)}{c^{2}} (t = 0),$$ donde u es la velocidad del sistema inercial, v es la velocidad de carga, puede suponer que, en relación con el otro sistema inercial con velocidad relativa u, la fuerza se ve como $$\mathbf F = q\mathbf E + \frac{q}{c}[\mathbf v \times \mathbf B],$$ dónde $$\mathbf E = \frac{\gamma Q \mathbf r}{(r^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf r \cdot \mathbf u)^{2})^{\frac{3}{2}}}, \quad \mathbf B = \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E].$$ Por supuesto, el campo magnético es un efecto cinemático relativista, pero un procedimiento descrito anteriormente es la transformación cinemática relativista de la ley de Coulomb. Entonces, algunas personas cometieron un error al dar una respuesta negativa.
3. Después de eso, utilizando los teoremas primarios del análisis vectorial y el procedimiento de regularización, puede "tomar" rot y div de las expresiones E y B anteriores. Después de eso, puedes obtener las ecuaciones de Maxwell. Debe usar el principio de superposición, cuando pasa de un campo de una carga a una distribución continua de múltiples cargas.

Sé que Purcell y otros han usado la simetría de Lorentz como recurso pedagógico para motivar la introducción de campos magnéticos, pero no recuerdo haber visto nunca una derivación axiomática de las ecuaciones de Maxwell. Podría ser un ejercicio interesante ver con precisión qué suposiciones más allá de la simetría de Lorentz y la Ley de Coulomb son necesarias para reconstruir las ecuaciones de Maxwell.

Los campos B no son campos ficticios

Si conoce los campos eléctricos y magnéticos en un marco inercial, puede determinar los campos eléctricos y magnéticos en cualquier otro marco a través de la transformación de Lorentz. Si el campo magnético se desvanece en un marco inercial dado, podría pensar que los efectos magnéticos en otros marcos son ficticios. Sin embargo, no siempre es posible encontrar un marco en el que desaparezcan los campos magnéticos. La forma más rápida de ver esto es notar que E ^ 2 - B ^ 2 c ^ 2 es una cantidad invariante de Lorentz ( ver Wikipedia). Si encontramos que B ^ 2 > E ^ 2/c ^ 2 en un punto del espacio-tiempo dado en un marco inercial dado, se deduce que B ^ 2 > 0 en ese punto en todos los marcos inerciales. De hecho, podría comenzar en un marco donde el campo eléctrico desaparece pero el campo magnético no; los campos eléctricos observados en otros marcos podrían entonces considerarse ficticios.

En general, ni el campo eléctrico ni el campo magnético pueden desaparecer bajo un impulso de Lorentz. Para ver esto rápidamente, tenga en cuenta que el producto punto del vector de campo E con el vector de campo B en un punto del espacio-tiempo dado es una cantidad invariante de Lorentz ( ver Wikipedia ). Si este producto escalar es distinto de cero en un punto del espacio-tiempo dado en un marco de inercia dado, los vectores de campo eléctrico y magnético serán distintos de cero en ese punto del espacio-tiempo en todos los marcos de inercia.

Como señaló Einstein, puede comprender el movimiento de una partícula cargada al referirse al campo eléctrico en el marco de reposo de esa partícula. Sin embargo, si tiene varias partículas con diferentes velocidades, debe realizar un seguimiento del campo eléctrico en el marco de reposo instantáneo de cada partícula. Dado que los impulsos de Lorentz mezclan el campo E con el campo B, la única forma de realizar un seguimiento del campo E en el marco de reposo de cada una de sus partículas en términos de cantidades locales en un marco inercial es por referencia al campo E y el B campo.

Localidad

Incluso si es posible, no me queda claro que sería deseable utilizar la ley de Coulomb como un axioma en la teoría electromagnética. Las ecuaciones de Maxwell explican el movimiento de las partículas haciendo referencia a los grados de libertad locales, los campos. La ley de Coulomb, por otro lado, es una forma de acción a distancia y es manifiestamente no local.

Ciertamente, es posible reescribir los campos E y B en términos de integrales sobre la densidad de carga y la densidad de corriente (no puedo publicar otro enlace, así que busque en Google "ecuaciones de Jefimenko"), y luego use estas expresiones para interpretar las fuerzas electromagnéticas como una forma de acción retardada a distancia. Sin embargo, para obtener estas expresiones se requieren supuestos sobre las condiciones de contorno en los campos E y B. Siempre podemos obtener otra solución válida de las ecuaciones de Maxwell simplemente cambiando las condiciones de contorno en los campos, lo que demuestra que los campos tienen una existencia independiente y no son meras variables contables para simplificar una interacción no local más fundamental.

Monopolos

Como suele escribirse, las ecuaciones de Maxwell no contienen términos correspondientes a la carga magnética, pero sería consistente agregar dichos términos. De hecho, Dirac demostró que la cuantificación de la carga eléctrica podría deberse a la existencia de monopolos magnéticos (no puedo publicar otro enlace, así que busque en Google "condición de cuantificación de dirac de monopolo magnético"). Las ecuaciones de Maxwell no nos dicen si existen o podrían existir monopolos magnéticos, pero la cuantización de la carga eléctrica podría ser evidencia de que existen monopolos magnéticos en algún lugar del universo.

No puedes. B no es solo un efecto secundario relativista de E. Jackson, Electrodynamics , Sección 12.2 tiene una buena discusión, en la que refuta las "pruebas" dadas en algunos textos de pregrado.

"La confusión surge principalmente porque las propiedades de transformación de Lorentz de la fuerza son tales que aparece un término de fuerza de tipo magnético cuando la fuerza en un marco de inercia se expresa en términos de la fuerza en otro marco. Es tentador dar este término de fuerza extra una existencia independiente y así identificar el campo magnético como una entidad separada. Pero tal paso no se justifica sin suposiciones adicionales".

Jackson pasa a exhibir un contraejemplo explícito, basado en un potencial escalar de Lorentz. Este campo se parece a la electrostática (¡o incluso a la gravitación newtoniana!) en el límite no relativista. También tiene "una fuerza aparente de tipo magnético. Pero no hay una entidad independiente B ". Entonces, en esta "teoría", B es solo un efecto relativista, pero esta teoría no se aplica a la naturaleza.

Con la ley de Coulomb y la relatividad especial puedes derivar la ley de Ampere, que te da la magnetostática. Lo que falta para la electrodinámica es la corriente de desplazamiento ($\frac{1}{c^2} \frac{\partial E}{\partial t}$), que es una fuente de campo magnético que surge del campo eléctrico variable en el tiempo, y no un resultado del movimiento de la carga eléctrica.

La relatividad tiene sólo dos postulados:

1. Las leyes de la física son las mismas en todos los marcos de referencia inerciales.
2. Todos los observadores inerciales miden la misma velocidad de la luz en el vacío.

La relatividad, por sí misma, no exige que los campos eléctricos (o el potencial eléctrico para el caso) deban viajar a la velocidad de la luz. Para derivar las ecuaciones de Maxwell, necesita un postulado adicional, y lo proporciona la ecuación de onda (para el potencial eléctrico) en la Sección 4 de la referencia en la respuesta de Helder. Sin este postulado adicional (que los cambios en el potencial eléctrico se propagan a la velocidad de la luz), no se puede derivar la corriente de desplazamiento solo de la ley de Coulomb y la relatividad.

de Hans de Vries (*):

La derivación más simple y completa del magnetismo como un efecto secundario relativista de la electroestática.

Utiliza únicamente el campo Electrostático y la no simultaneidad para obtener el Campo Magnético. Lo explica mejor que Purcell.

El campo magnético es un efecto secundario del movimiento en el campo eléctrico.

(*) Hans de Vries tiene un libro en línea muy interesante (aún no terminado) en su sitio, y ofrece otra perla, no relacionada con esta publicación, pero me siento obligado a compartir: La contracción de Lorentz es un efecto real y no solo 'un efecto referencial' como estamos tentados a creer.

No, no puedes. Por varias razones. Primero, si tiene E, para obtener el campo B, necesita suposiciones adicionales sobre la estructura de la teoría, es decir, con más detalle, el tensor de intensidad de campo, consulte la respuesta anterior de Lubos. Pero además de esto, incluso si tuviera la solución para una carga puntual, para obtener las ecuaciones de Maxwell necesita saber más que solo tener una solución. Por ejemplo, que son lineales, de segundo orden, y cuál es el grupo de simetría. Y si ha agregado eso, puede derivar las ecuaciones de Maxwell a partir de estas suposiciones de todos modos sin siquiera comenzar con el campo de Coulomb.

Sí. Ver Principios de electrodinámica de Melvin Schwartz. Deriva toda la electrodinámica, incluidas las ecuaciones de Maxwell, de la ley de Coulomb y la relatividad especial.

La respuesta de Luboš Motl es de alguna ayuda, ya que muestra cómo incorporar el tipo de ideas que ofrece la relatividad, pero, sin embargo, comienza con su conclusión general, y esa conclusión es incorrecta. Es incorrecto en gran parte por las razones brevemente indicadas en la respuesta de WIMP.

La pregunta es importante, y es importante obtener la respuesta correcta. La pregunta es:

¿Se pueden derivar las ecuaciones de Maxwell usando solo la ley de Coulomb y la relatividad especial?

La respuesta es: no, porque se pueden inventar muchas otras teorías de campos que respeten la Relatividad Especial, de modo que reproduzcan la Ley de Coulomb en el marco inercial de una carga puntual dada.

Sin embargo, lo que se puede decir es que el electromagnetismo clásico (es decir, la ecuación de Maxwell y la ecuación de fuerza de Lorentz, o cualquier formulación equivalente a esto, como una formulación de Lagrangian) se encuentra entre las teorías de campo más simples que respetan la Relatividad Especial e incluyen la ley de Coulomb. La definición de 'más simple' aquí es ciertamente imprecisa.

La razón principal por la que no puede derivar Maxwell de 'Coulomb + SR' es que no sabría si incluir efectos de aceleración en la relación entre potenciales y cargas.

Ahora voy a 'levantar la tapa' un poco sobre la física teórica aquí. Una muy buena (no la única) forma matemática de asegurarse de que cualquier parte de la física respete la Relatividad Especial (SR) es restringirse a expresiones tensoriales en todo lo que proponga y escriba. Aquí 'tensorial' incluye tensores de rango cero, es decir, escalares, pero no cualquier escalar antiguo: serían escalares invariantes de Lorentz. También incluye 4 vectores y tensores de rango segundo y superior. Al tomar derivadas, usa el operador de gradiente covariante$\partial_a$, y luego tiene un juego de herramientas para construir ecuaciones diferenciales que respetan SR

Entonces, la teoría de campo 'más simple' podría ser tal que las partículas pueden tener una propiedad escalar invariante de Lorentz llamada carga$q$, y la fuerza sobre una partícula cargada es independiente de la 4-velocidad$u^a$de la partícula El problema es que rápidamente encuentras que en tal teoría la fuerza sobre una partícula no puede cambiar la velocidad de una partícula sin cambiar también su masa. Explorando más, intentas permitir que las 4 fuerzas$f^a$ser dependiente de la velocidad 4 a través de una ecuación lineal simple que involucra un campo escalar$\phi$, como$f^a = q \phi u^q$(?). Todavía no es bueno (cambios masivos nuevamente). Así que te ves obligado a probar un tensor de segundo rango$F^{ab}$para el campo, porque es la cosa más simple, aparte de un escalar, que puede tomar un cuadrivector$u^a$como entrada y devolver una fuerza de 4 vectores:

$f^a = q F^{a\mu} u_\mu$

Ahora está bien: la fuerza conserva la masa mientras$F^{ab}$es antisimétrico. ¡Bueno! Un tensor antisimétrico es el tipo más simple de tensor de segundo orden. Lo siguiente que queremos es una ecuación diferencial para este campo: prueba lo más simple, que es tomar la divergencia, y estarás en el buen camino hacia las ecuaciones de Maxwell. Si ahora incorporamos la ley de Coulomb (y aquí es donde entra en juego), entonces tiene la garantía de obtener dos de las ecuaciones de Maxwell si restringe el término fuente en su ecuación diferencial a un solo término proporcional a la densidad de carga y 4-velocidad. . La ley de Coulomb en sí misma no le dice que no agregue más términos relacionados con 4-aceleración.

Con este enfoque no llegamos inexorablemente a las ecuaciones de Maxwell, pero sí encontramos que son posiblemente las más simples que incluyen la propiedad de conservación de la carga y que permiten una fuerza que conserva la masa (en lenguaje técnico, una fuerza pura ).

Entre otras teorías de campo que uno encuentra, hay una que se parece mucho a Maxwell pero incluye monopolos magnéticos. Esto surge de forma muy natural, en el tratamiento teórico, y es ciertamente una seria candidata a posibilidad de cómo funciona realmente el mundo físico. Es algo menos simple en el sentido de que se pierde la agradable propiedad de escribir el tensor de campo como un cuadriplicador de un campo de 4 vectores (el 4-potencial), y la teoría ya no respeta la simetría bajo la inversión del espacio (paridad). Vea el libro de Jackson sobre electromagnetismo para una discusión. Si de hecho hay monopolos magnéticos, como sugieren muchas versiones de la teoría cuántica de campos, entonces el enigma es por qué los monopolos eléctricos son mucho más abundantes que los monopolos magnéticos.

Sin embargo, me gustaría subrayar que este problema del monopolo magnético está lejos de ser la única razón por la que las ecuaciones de Maxwell no se pueden derivar completamente de la ley de Coulomb y la SR. Las otras razones incluyen que uno puede imaginar fácilmente que las ecuaciones de campo involucran derivadas de orden superior del movimiento. de la partícula; SR por sí solo no puede decirle que no lo hacen. Al comenzar con un enfoque lagrangiano, se pueden introducir restricciones adicionales, como la invariancia que conduce a leyes de conservación, y luego el electromagnetismo está restringido de manera bastante estricta, pero aún no del todo. Fundamentalmente, lo que SR puede decirle es que un campo que proporciona una fuerza independiente de la velocidad de un cuerpo no puede ser la historia completa de la física. Tal campo (como el campo eléctrico) debeestar asociado con otros efectos que dependen de la velocidad de un cuerpo.

Hay pocos artículos que muestran que la ecuación de conservación/continuidad de la carga eléctrica es suficiente para derivar todo el conjunto de ecuaciones de Maxwell. Consulte esta referencia y citas, por ejemplo; https://pdfs.semanticscholar.org/3251/31eadb62c8fdfdaaad7b21a308992ff3a4d2.pdf''Cómo obtener la forma covariante de las ecuaciones de Maxwell a partir de la ecuación de continuidad... Por lo tanto, un proceso circular parece inevitable en el electromagnetismo: ρ y J implican E y B que, a su vez, implican nuevos ρ1 y J1, y pronto. Debido a esta característica circular, no está claro si E y B (que satisfacen las ecuaciones de Maxwell) son consecuencia de ρ y J (que satisfacen la ecuación de continuidad) o viceversa. Según el árbitro parece cuestión de gustos decir cuál es consecuencia del otro. En otras palabras: del comentario del árbitro podríamos concluir que la conexión entre las fuentes y los campos es un poco como el problema del huevo y la gallina: ¿quién fue primero?''.

También a partir de la ley de Coulomb para la electricidad estática y teniendo en cuenta el hecho de que la acción no puede viajar más rápido que la luz, el uso de la integral retardada produce el conjunto completo de ecuaciones de Maxwell. https://en.wikipedia.org/wiki/Li%C3%A9nard%E2%80%93Wiechert_potential .

Por lo tanto, el retardo en sí da lugar a una fuerza que es normal al movimiento (velocidad), proporcional a él y que decae como el inverso del cuadrado de la distancia; ese es el campo magnético por definición. También da lugar a una fuerza de dos componentes: campos eléctricos y magnéticos proporcionales a la aceleración, que decaen solo como el inverso de la distancia (no el inverso al cuadrado) y esto es radiación por definición. Por lo tanto, se puede deducir que el magnetismo y la radiación son fenómenos emergentes causados ​​por la finitud de la velocidad de propagación de las fuerzas involucradas.

Algunas respuestas apuntaron a una conexión con Gravito-magnetismo y relatividad. Creo que esto se debe al hecho de que la ley de gravitación de Newton se puede tratar de manera similar a la ley de Coulomb, dando lugar a un conjunto de ecuaciones similares a las ecuaciones de Maxwell. Estas son las ecuaciones gravito-magnéticas y, de hecho, también se pueden derivar de la relatividad general para campos débiles. https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitoelectromagnetismo

Según entiendo su idea, está preguntando si es posible recuperar todas las ecuaciones de Maxwell solo usando transformaciones de Lorentz y usando la existencia de campo eléctrico. La respuesta es no. Un ejemplo heurístico es este: si tiene un cable unidimensional circular con una corriente variable$I(t)$, no existe una transformación de Lorentz para producir el campo magnético de este sistema a partir solo de un campo eléctrico, porque la carga eléctrica del alambre circular se mueve de forma no inercial.