Estados singlete y triplete: ¿Por qué el estado S=0S=0S=0 está definido como está?

Question

Estados singlete y triplete: ¿Por qué el estado S=0S=0S=0 está definido como está?

Suppenkasper

Estoy trabajando en un ejercicio sobre el acoplamiento de espín de dos electrones. Allí tenemos las funciones de onda correspondientes a los valores de S como

\begin{aligned} S = 1 : & \begin{matrix} ↑↑ \\ \frac{1}{\sqrt{2}} (↑↓ + ↓↑) \\ ↓↓ \end{matrix} \\ S = 0 : & \frac{1}{\sqrt{2}} (↑↓ - ↓↑) \end{aligned}

$\begin{align} S = 1: &\begin{array}{c}\uparrow\uparrow \\ \dfrac{1}{\sqrt 2}(\uparrow\downarrow+\downarrow \uparrow) \\ \downarrow\downarrow\end{array} \\[5mm] S = 0: &\ \frac{1}{\sqrt{2}} (\uparrow\downarrow-\downarrow\uparrow) \end{align}$

Entiendo que las tres funciones de onda para $S=1$ son simétricas y la de $S=0$ es antisimétrico. Mi pregunta es, ¿por qué la combinación con el signo menos es la de $S=0$ ?

Mi pensamiento es que en un $\uparrow \downarrow$ o $\downarrow\uparrow$ combinación el $S_z$ los componentes ya sumarían $0$ de modo que el signo menos no cambiaría nada en el hecho de que $S=0$ .

¿O es que $\downarrow\uparrow$ o $\uparrow\downarrow$ cada uno representa un estado con $S=1$ y $S_z = 0$ de modo que restando el uno del otro da $S=1-1=0$ ?

Espaguetificación cuántica

Solo para señalar que no puedes restar giros totales como

S = 1 - 1

$S=1-1$ ,

S

$S$ representa (semiclásicamente) la magnitud de un vector y no se pueden sumar así.

Suppenkasper

bueno pero como explicas eso

S = 0

$S=0$ para la función de onda antisimétrica y

S = 1

$S=1$ para el simétrico?

david z

Cambié tus coeficientes a

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ ; con suerte eso es correcto.

Respuestas (3)

Estados singlete y triplete: ¿Por qué el estado S=0S=0S=0 está definido como está?

Solo para señalar que no puedes restar giros totales como $S=1-1$ , $S$ representa (semiclásicamente) la magnitud de un vector y no se pueden sumar así.
bueno pero como explicas eso $S=0$ para la función de onda antisimétrica y $S=1$ para el simétrico?
Cambié tus coeficientes a $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ; con suerte eso es correcto.

knzhou · Answer 1

Tienes razón en que uno de los $S = 1$ estados tiene un momento angular cero a lo largo del $z$ eje. sin embargo, el $S = 0$ tiene un momento angular cero a lo largo de cualquier dirección, y esto se sigue directamente de la presencia del signo menos.

Para ver por qué, considere el operador para girar a lo largo de una dirección general, $S_{\hat{n}}$ . Dado que los giros son idénticos, no importa qué giro es cuál, por lo que

⟨ ↑↓ | S_{\hat{norte}} | ↑↓ ⟩ = ⟨ ↓↑ | S_{\hat{norte}} | ↓↑ ⟩ = α (\hat{norte}) .

$\langle \uparrow \downarrow | S_{\hat{n}} | \uparrow \downarrow \rangle = \langle \downarrow \uparrow | S_{\hat{n}} | \downarrow \uparrow \rangle = \alpha(\hat{n}).$ Además, el operador

P

$P$ que intercambia los giros no afecta

S_{\hat{n}}

$S_{\hat{n}}$ , porque

PAG S_{\hat{norte}} = PAG (S_{\hat{norte}}^{1} + S_{\hat{norte}}^{2}) = S_{\hat{norte}}^{2} + S_{\hat{norte}}^{1} = S_{\hat{norte}}

$P S_{\hat{n}} = P \left(S_{\hat{n}}^1 + S_{\hat{n}}^2 \right) = S_{\hat{n}}^2 + S_{\hat{n}}^1 = S_{\hat{n}}$ lo que además implica que

⟨ ↑↓ | S_{\hat{norte}} | ↓↑ ⟩ = ⟨ ↓↑ | S_{\hat{norte}} | ↑↓ ⟩ = α (\hat{norte}) .

$\langle \uparrow \downarrow | S_{\hat{n}} | \downarrow \uparrow \rangle = \langle \downarrow \uparrow | S_{\hat{n}} | \uparrow \downarrow \rangle = \alpha(\hat{n}).$ Esta es toda la información que necesitamos para evaluar el giro a lo largo de la

\hat{n}

$\hat{n}$ dirección para los dos estados que usted da. Para el

S = 1

$S = 1$ estado, encontramos

\frac{α}{2} + \frac{α}{2} + \frac{α}{2} + \frac{α}{2} = 2 α

$\frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = 2\alpha$ mientras que para el

S = 0

$S = 0$ estado que encontramos

\frac{α}{2} + \frac{α}{2} - \frac{α}{2} - \frac{α}{2} = 0.

$\frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} - \frac{\alpha}{2} - \frac{\alpha}{2} = 0.$ Los términos cruzados toman un signo menos, debido al signo menos en la superposición. Esto muestra que el singlete tiene giro cero en cualquier dirección.

Aarón · Answer 2

Es importante recordar que cuando decimos $S=1, 0$ realmente estamos pensando en los estados propios y los valores propios de $\mathbf{S}^2 = (\mathbf{S}_1 + \mathbf{S}_2)^2$ . Intente aplicar este operador y verá que los estados simétricos tienen valor propio $S=1$ , y el antisimétrico tendrá valor propio $S=0$ . Si simplemente está solicitando $\mathbf{S}_z$ , que es lo que está haciendo en su declaración de pregunta, entonces definitivamente tanto los estados mixtos simétricos como los antisimétricos tienen valor propio $j=0$ , como has señalado.

usuario108787 · Answer 3

Solo una vista ligeramente diferente usando el operador de intercambio $\hat P|m_1m_2 \rangle$ = $|m_1m_2 \rangle$

Mi pregunta es, ¿por qué la combinación con el signo menos es S=0?

Otra forma de ver esto es:

\begin{aligned} S = 1 : & \begin{matrix} ↑↑ \\ \frac{1}{\sqrt{2}} (↑↓ + ↓↑) \\ ↓↓ \end{matrix} \\ S = 0 : & \frac{1}{\sqrt{2}} (↑↓ - ↓↑) \end{aligned}

$\begin{align} S = 1: &\begin{array}{c}\uparrow\uparrow \\ \dfrac{1}{\sqrt 2}(\uparrow\downarrow+\downarrow \uparrow) \\ \downarrow\downarrow\end{array} \\[5mm] S = 0: &\ \frac{1}{\sqrt{2}} (\uparrow\downarrow-\downarrow\uparrow) \end{align}$

Los estados del triplete no se ven afectados por el intercambio de $m_1\iff m_2$ mientras que el $S=0$ cambia el signo bajo el intercambio.

Usando $\hat P|m_1m_2 \rangle$ = $|m_1m_2 \rangle$ como operador de intercambio.

Esto resulta en

\hat{PAG} (trillizo) = trillizo

$\hat P \textrm{(triplet)} = \textrm{triplet}$ Pero

\hat{PAG} (camiseta) = - camiseta

$\hat P\textrm{(singlet)} = -~\textrm{ singlet}$

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Suppenkasper

Espaguetificación cuántica

Suppenkasper

david z

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knzhou

Aarón

usuario108787

Madera

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