¿Por qué uno escribiría un campo vectorial como una derivada?

La motivación es así.

• Cuando definimos cosas matemáticamente, queremos usar la menor cantidad posible de objetos separados. No queremos definir un nuevo objeto de forma independiente si se puede definir en términos de cosas existentes.
• Supongamos que una partícula se mueve de tal manera que cuando está en la posición$\mathbf{r}$, su velocidad es$\mathbf{v}(\mathbf{r})$, donde$\mathbf{v}$es un campo vectorial. Entonces si hay alguna función$f(\mathbf{r})$, entonces la partícula ve $$\frac{df}{dt} = v^i \frac{\partial f}{\partial x^i}$$ por la regla de la cadena. Es decir, si interpretamos un campo vectorial como un campo de velocidades y le asignamos una función$f$, entonces podemos calcular otra función$df/dt$, que es la tasa de cambio de$f$visto por una partícula que sigue el flujo del campo vectorial, como si fuera un campo de velocidad.
• Al observar la regla de la cadena, verá que si sabe$df/dt$para cada$f$, entonces sabes qué es el campo vectorial.
• Por lo tanto, cuando trabajamos en la configuración más general de una variedad, donde no queda inmediatamente claro cómo definir un campo vectorial de la forma habitual ("una flecha en cada punto"), podemos usar esto a la inversa para definir qué es un vector. campo es. es decir, un campo vectorial$v$ es un mapa de funciones$f \mapsto v(f) = df/dt$que obedece a ciertas propiedades.
• Tenga en cuenta que no todo campo vectorial debe considerarse físicamente como un campo de velocidad. Solo estamos haciendo definiciones matemáticas aquí. Las definiciones se eligen para que el formalismo sea lo más limpio y simple posible, posiblemente a expensas de la intuición.
• Traducir entre los dos es muy simple. Por ejemplo, el campo $$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = x \hat{i} + xy \hat{j}$$ se traduce a $$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = x \frac{\partial}{\partial x} + x y \frac{\partial}{\partial y}.$$ Es decir, cada vez que ves$\partial/\partial x$puedes imaginarlo como un vector unitario apuntando en el$x$dirección. La intuición es la misma, porque las dos definiciones obedecen a las mismas propiedades.

Hay muchos ejemplos de esto en matemáticas. Por ejemplo, podrías pensar$\log(x)$se define como "el número de veces que tienes que multiplicar por$e$para llegar a$x$", pero no está claro cómo definirlo rigurosamente. Luego, a través de una manipulación semi-rigurosa puedes mostrar que

$$\log(x) = \int_1^x \frac{dx'}{x'}.$$ Ahora el matemático ve esto y elige definir $\log(x)$como esta integral. Esto es más simple, porque funciona automáticamente para cualquier real$x$y utiliza sólo la noción de integral, que ya conocemos. Entonces uno puede derivar las propiedades "intuitivas" del logaritmo, como$\log(xy) = \log(x) + \log(y)$. Al usar una definición menos intuitiva, el formalismo se vuelve más simple. Y una vez que demuestra que esta definición es equivalente a la intuitiva, se le "permite" seguir usando la misma intuición con la que comenzó, ¡así que obtiene lo mejor de ambos mundos!

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Editar: el OP solicita ejemplos en los que esta definición de un campo vectorial sea más útil en la práctica. Puedo pensar en dos en la parte superior de mi cabeza. Primero, ¿cómo se transforman los vectores base cuando cambias las coordenadas de$x^i$a$y^j$? En el formalismo habitual, puede que tenga que memorizar una fórmula, pero con las derivadas se sigue de la regla de la cadena,

$$\frac{\partial}{\partial x^i} = \frac{\partial y^j}{\partial x^i} \frac{\partial}{\partial y^j} \equiv J^j_i \frac{\partial}{\partial y^j}$$ donde$J$es la matriz jacobiana. A continuación, suponga que el campo vectorial en realidad es un campo de velocidad y desea calcular$f(x(t))$dado$x(0)$, es decir, quieres saber dónde estarás si sigues el flujo durante el tiempo$t$. En este formalismo, eso es una sola línea. es solo $$f(x(t)) = (e^{t v} f(x))|_{x = x(0)}.$$ Para probar esto, expanda la exponencial en una serie de Taylor.

Por supuesto, lo bueno es que una vez que demuestras que dos formalismos son equivalentes, puedes usar la intuición de cualquiera de ellos indistintamente, porque sabes que ambos son igualmente válidos. Por lo tanto, gana intuición para algunos casos nuevos, sin perder la intuición que tenía antes. Siempre puede cambiar de un lado a otro, al igual que el mismo programa de software puede ejecutarse en un hardware diferente.

Una motivación de una línea es la siguiente:

Puede identificar un vector (campo) con la "derivada direccional" a lo largo de ese vector (campo).

Dado un punto y un vector en ese punto, puedes (intentar) derivar una función en ese punto en esa dirección.

En coordenadas, la relación entre su$X$y tu$\vec{A}=\sum_{i=1}^n A_i \vec{e}_i$es

$$X= \vec{A} \cdot \nabla = \sum_{i=1}^n A_i \frac{\partial}{\partial x_i}.$$

Un vector (campo) es un objeto "dinámico", una forma de "transformar el espacio": tome la EDO, asociada con$\vec{A}$, es decir$\boldsymbol{r}'= \vec{A}(\boldsymbol{r})$y observe el flujo. Una vez que tenga el flujo, puede diferenciar sus funciones a lo largo de él.

Esta es realmente una pregunta de matemáticas y no de física.

Es una cuestión de cómo pensamos acerca de la derivada. Hay más de una forma. Y así es a menudo como se logra el progreso, avanzando en más de un frente.

Newton tenía una concepción dinámica de la tasa de cambio que implementó matemáticamente a través de una noción intuitiva de infinitesimales, también conocido como su método de fluxiones. Por este método, la noción de una derivación es un concepto derivado.

Este es un concepto natural que se le ocurre. Después de todo, una vez que tenemos a mano la noción de derivada, una pregunta natural es si existe una relación simple entre la derivada de un producto y las derivadas de los factores de un producto. Hay, es decir:

$d(gf) = dg.f + f.dg$

Cuando se formaliza, esta es la noción de una derivación.

Hablando matemáticamente, pensamos en la derivada definida por un límite, siguiendo el ejemplo de Cauchy.

Sin embargo, uno puede tomar el concepto derivado de la derivación como otro punto de partida para el cálculo y esto nos da una forma algebraica de pensar acerca de las derivadas. Y esto da un desarrollo más limpio de las principales herramientas del cálculo, al menos en el contexto de dimensión finita.

Por cierto, la definición usual de campo vectorial es como sección de un paquete vectorial. Esto simplemente significa que a cada punto de la variedad se adjunta un vector de forma continua.