Cuando los objetos caen a lo largo de trayectorias geodésicas de espacio-tiempo curvo, ¿por qué no hay ninguna fuerza que actúe sobre ellos?

Suponga que usted y yo comenzamos en el ecuador, a un kilómetro de distancia, y ambos nos dirigimos exactamente hacia el norte en línea recta, por lo que nos dirigimos en direcciones exactamente paralelas:

Ahora sabemos que en la geometría euclidiana las líneas paralelas se mantienen separadas por la misma distancia. Pero si tú y yo medimos la distancia,$d$, entre nosotros encontramos que$d$comienza a 1 km pero disminuye a medida que nos dirigimos al norte y finalmente nos encontramos en el Polo Norte.

Se que tenemos una paradoja: empezamos paralelos pero avanzamos juntos. La única explicación es que hay alguna fuerza que nos une. Pero sabemos que en realidad no hay fuerza, es solo que nos estamos moviendo sobre una superficie curva.

Esto es lo que sucede en la relatividad general, aunque, como seguramente esperarías, es mucho más complicado (principalmente porque el tiempo también es curvo). Si ves un cuerpo en caída libre acelerando hacia la Tierra, dirías que debe haber una fuerza actuando entre el cuerpo y la Tierra, y llamarías a esa fuerza gravedad. Pero el relativista general diría que la Tierra y el objeto se mueven a lo largo de geodésicas, es decir, en línea recta, y es que debido a que el espacio-tiempo es curvo, las dos líneas rectas convergen tal como vimos para el movimiento de una esfera. No hay realmente una fuerza actuando aunque nos parezca una fuerza. Es por eso que la gravedad a veces se describe como una fuerza ficticia .

Ahora, hay un problema obvio con mi analogía de movernos en una esfera, porque tú y yo podríamos comenzar estacionarios. Entonces no nos estamos moviendo hacia el norte para que no nos acerquemos. Aquí es donde las cosas se vuelven difíciles de visualizar porque en GR siempre nos estamos moviendo en el tiempo, incluso cuando estamos estacionarios en el espacio. Tienes que imaginar que la dirección norte avanza en el tiempo, de modo que el avance en el tiempo hace que los dos caminos converjan.

En realidad, hay un objeto acelerado involucrado en esto, y eres tú parado en la superficie de la Tierra. ¿Cómo sabes que estás acelerando? Bueno, la Tierra está empujando las suelas de tus zapatos y acelerándote hacia arriba. Donde hay una fuerza hay una aceleración, por lo que la conclusión debe ser que la superficie de la Tierra te está acelerando hacia afuera mientras que el objeto que estás viendo en caída libre no está acelerando.

Si está interesado, la respuesta de twistor59 a ¿ Cuál es la ecuación del peso a través de la relatividad general? explica cómo calcular esta aceleración, aunque puede encontrar las matemáticas involucradas un poco difíciles.

Ahora bien, ¿por qué los objetos que caen hacia la Tierra se mueven a lo largo de las trayectorias geodésicas sin aceleración? Un cuerpo en caída libre se mueve con aceleración g, entonces, ¿ por qué se escribe así ?

Para entender el pasaje, debemos hacer dos observaciones cruciales.

(1) Para una persona en reposo sobre la superficie de la Tierra, un objeto en caída libre está acelerando hacia el centro de la Tierra, es decir, la distancia entre el objeto y la superficie de la Tierra está disminuyendo a un ritmo cada vez mayor.

(2) Un acelerómetro en el objeto en caída libre lee cero mientras que un acelerómetro en la persona en reposo en la superficie de la Tierra, el acelerómetro lee$9.81\mathrm{m/s^2}$.

Claramente, hay dos nociones de aceleración aquí. En (1), el objeto tiene aceleración coordinada mientras que la persona no. Sin embargo, en (2), la persona tiene la aceleración adecuada mientras que el objeto no.

Esto es lo que no queda claro en el pasaje. Cuando el autor escribe

los objetos que caen hacia la Tierra se mueven a lo largo de trayectorias geodésicas sin aceleración

"aceleración" se refiere a la aceleración adecuada

los objetos que caen hacia la Tierra se mueven a lo largo de trayectorias geodésicas sin la aceleración adecuada, es decir, un acelerómetro en el objeto lee cero

Dicho con menos precisión, un objeto en caída libre no tiene peso. Por eso los astronautas de la ISS se sienten ingrávidos; ellos, junto con la ISS, están en caída libre.

Por el contrario, una persona en la superficie de la Tierra no puede caer hacia el centro y, por lo tanto, no está en caída libre. Por lo tanto, la persona está en una línea de mundo acelerada (camino a través del espacio-tiempo), por lo que la persona siente el peso y el acelerómetro adjunto da una lectura distinta de cero.

Para leer más, véase, por ejemplo, " El pensamiento más feliz de mi vida " .