Claramente, experimentará un par debido a su masa no uniforme si la habitación está en un campo gravitacional uniforme.

Esto no debería quedarte claro, porque no es cierto. Me disculpo si la siguiente sección te golpea en la cabeza con las matemáticas, quiero mostrarte por qué las leyes de Newton no dicen eso, y luego quiero darte una idea física inmediata después.

Las leyes de Newton y el centro de masa

Considere un sistema de masas puntuales$m_i$Vectores de position$\mathbf r_i$experimentando fuerzas externas$\mathbf F_i = \mathbf F_i(\mathbf r_i)$y fuerzas internas$\mathbf G_{ij} = \mathbf G_{ij}(\mathbf r_i, \mathbf r_j)$que debe obedecer$\mathbf G_{ij} = -\mathbf G_{ji}$consistente con la tercera ley de Newton. Las leyes de Newton dicen que estos deben obedecer las ecuaciones,

$$m_i ~\ddot {\mathbf r}_i = \mathbf F_i + \sum_j \mathbf G_{ij}.$$ Obviamente, una de las cosas que nos gusta hacer es sumar todas estas ecuaciones y definir el centro de masa definiendo $M = \sum_i m_i$y luego definiendo $\mathbf R = \sum_i (m_i/M) ~\mathbf r_i,$que conduce a la ecuación, $$M~\mathbf R = \sum_i \mathbf F_i,$$ con el $\mathbf G_{ij}$deserción debido a su antisimetría en sus respectivos índices. Si nunca has visto el truco, usa $q_{ij} = -q_{ji}$para reemplazar $\sum_{ij} q_{ij}$con $\frac12 \sum_{ij} (q_{ij} - q_{ji}),$luego expanda esto en dos sumas y vuelva a etiquetar la segunda $i \leftrightarrow j$(son solo nombres de índices, después de todo) para encontrar después de recombinar, $\frac12 \sum_{ij} (q_{ij} - q_{ij}) = \sum_{ij} 0 = 0.$

De acuerdo, si está seguro de todo eso, hablemos de torques sobre el origen arbitrario que hemos elegido.

Torques y momentos angulares

Sabemos que estos se definen para una fuerza tomando el producto cruzado entre la posición y la fuerza, por lo que sugiere que arriba debemos tratar de trabajar con los de las leyes de Newton, como

$$m_i~\mathbf r_i\times \ddot{\mathbf r}_i = \mathbf r_i \times \mathbf F_i + \sum_j {\mathbf r_i \times \mathbf G_{ij}}.$$ Queremos hacer algo con ambos lados. El lado izquierdo parece el producto de una cosa con su segunda derivada, que parece estar relacionado con la derivada de un producto de una cosa y su primera derivada. Resolviéndolo podemos ver que para el producto cruz no es solo una relación, es una igualdad; el hecho de que cualquier vector cruzado consigo mismo sea 0 conduce a $$\frac{d}{dt} (\mathbf v \times \dot{\mathbf v}) = \dot{\mathbf v}\times \dot{\mathbf v} + \mathbf{v} \times \ddot{\mathbf v} = \mathbf 0 + \mathbf v\times \ddot{\mathbf v}.$$ A su vez definiendo el momento angular sobre el origen $\mathbf L_i = m_i \mathbf r_i \times \dot{\mathbf r}_i$y suponiendo $\dot m_i = 0$como de costumbre, lleva a que el lado izquierdo sea solo $\dot{\mathbf L}_i.$Para el lado derecho, podemos definir $\tau_i = \mathbf r_i \times \mathbf F_i$como el par externo en la partícula $i$, y $\mathbf L = \sum_i \mathbf L_i$y $\mathbf T = \sum_i \mathbf \tau_i.$Estamos listos para resumir $i$encontrar, $$\dot {\mathbf L} = \mathbf T + \sum_{ij} \mathbf r_i \times \mathbf G_{ij}.$$

Movimiento de fuerza central

Ahora queremos probar el mismo "truco de antisimetría" en la segunda mitad; debajo de$\frac12 \sum_{ij}$símbolo que tenemos$\mathbf r_i \times \mathbf G_{ij} - \mathbf r_i \times \mathbf G_{ji}$Y debajo$i\leftrightarrow j$volver a etiquetar esto se convierte en

$$\dot {\mathbf L} = \mathbf T + \frac12 \sum_{ij} (\mathbf r_i - \mathbf r_j)\times \mathbf G_{ij}.$$ Ahora no es el 100% de todos los sistemas posibles, pero en la clase más grande de sistemas que nos importan, la fuerza de interacción $\mathbf G_{ij}$puntos a lo largo de la línea que une $j$y $i$. Esto es cierto para la fuerza gravitacional, para la fuerza de Coulomb, o incluso si hacemos esta cosa con puntales muy rígidos sin masa que conectan las pequeñas masas. Así que en la rápida mayoría de los casos (¡pero no en todos!) tenemos $\mathbf G_{ij}\propto \mathbf r_i - \mathbf r_j$y el último término es 0. Acabamos de $\dot {\mathbf L} = \mathbf T.$Estas se conocen como "fuerzas centrales", y voy a suponer que toda su masa puede considerarse como un grupo de masas puntuales unidas por puntales sin masa y autointeracción gravitacional y fuerzas electromagnéticas, todas las fuerzas son "centrales" en el sentido de que actúan entre dos masas que apuntan a lo largo de la línea que las une. Como muestra el argumento anterior, tampoco pueden generar par neto. (Eso no es lo que le interesaba de todos modos , pensó que el campo externo iba a torcer estas cosas, pero supongo que solo estoy diciendo que la gravedad externa tampoco puede influir fácilmente en las partes constituyentes para torcerse entre sí).

Un campo gravitacional uniforme

¡Uf! Bien, ¡la diatriba matemática está casi terminada! Ahora solo tenemos que aplicar las ecuaciones anteriores. Considere si$\mathbf F_i = m_i \mathbf g$para alguna aceleración gravitatoria uniforme$\mathbf g$. Entonces estas dos ecuaciones cruciales son:

$$M~\ddot{\mathbf R} = \sum_i m_i~\mathbf g = M~\mathbf g,\\ \dot {\mathbf L} = \sum_i m_i ~\mathbf r_i \times \mathbf g = M~\mathbf R \times \mathbf g.$$ ¿Ves a dónde voy aquí? Use eso primero para sustituir en el segundo para encontrar $\mathbf R \times \ddot{\mathbf R}$que sabemos que es justo $\frac d{dt} (\mathbf R \times \dot{\mathbf R})$y así podemos integrar una vez, $\mathbf L = M~\mathbf R \times \dot{\mathbf R} + \mathbf C_0.$Sin embargo también tenemos $\mathbf R = \frac 12~\mathbf g~t^2 + \mathbf C_1~t + \mathbf C_2.$

Podemos usar nuestra elección de marco de referencia para establecer$\mathbf C_1 = \mathbf C_2 = \mathbf 0$y en este marco de referencia especial donde el centro de masa comienza en reposo en el origen, encontramos que$\mathbf R \propto \dot{\mathbf R}$y por lo tanto$\mathbf L = \mathbf C_0.$El momento angular alrededor del punto de partida del centro de masa es, de hecho, una constante, sin importar cómo la masa no se distribuya uniformemente.

Perspicacia física

En retrospectiva, esto no debería sorprenderte tanto. Sabes que todo cae al mismo ritmo: llena dos botellas de agua, una llena, la otra medio llena, déjalas caer una al lado de la otra y notarás que dentro de un error experimental, caerán al suelo al mismo tiempo. cuando se dejan caer uno al lado del otro. Uno tiene casi el doble de masa que el otro, pero sus perfiles de caída son idénticos.

Ahora está proponiendo que si coloca una varilla delgada y sin masa entre ellos para "conectarlos", entonces, como por arte de magia, uno de ellos querrá caer más rápido que el otro y no aterrizarán uno al lado del otro. Pero, ¿qué va a hacer esta vara? Va a comunicar fuerzas horizontalmente. ¿Y qué dices que hace? Bueno, si comienzan a caer verticalmente de manera diferente a como iban a caer, entonces debe comunicar una fuerza vertical. Así que esa es la tensión entre tus intuiciones pre-experimentales y cómo los experimentos muestran que el mundo realmente funciona.

Te animo encarecidamente a que pruebes el experimento con las botellas de agua de plástico, o algo similar en el que tienes dos masas muy diferentes que se dejan caer una al lado de la otra, pero no te importa que se rompan cuando toquen el suelo. (Puede probar una moneda junto con una botella de agua, por ejemplo). Desarrolle esta intuición, puede serle muy útil.

Recuerdo haber hecho la misma pregunta en la universidad. Mi ejemplo fue sobre un polo que orbita en caída libre. gira?

La respuesta es que tienes (más o menos) razón. La frase clave que falta en la ley es que solo es cierto "localmente".

En su primer ejemplo de la caja larga , o digamos campana de barra desigual. no hay torque, el lado pesado no cae más rápido que el más ligero

En su segundo, el cuerpo humano solo se 'desgarra' si se aplican fuerzas desiguales a sus componentes, ya sea porque algo resiste su movimiento, que en el ejemplo clásico nada hace hasta que golpea la caja, o si el gradiente gravitacional es lo suficientemente alto. que sus piernas se tiran más fuerte que su cabeza. en cuyo caso el experimento ya no es "local" ya que el campo es significativamente no uniforme.

de wikipedia:

La localidad elimina las fuerzas de marea medibles que se originan a partir de una fuerza gravitatoria divergente radial (por ejemplo, la Tierra) sobre cuerpos físicos de tamaño finito. El principio de equivalencia "descendente" abarca la conceptualización de Galileo, Newton y Einstein. El principio de equivalencia no niega la existencia de efectos medibles causados ​​por una masa gravitatoria en rotación (arrastre del marco), ni se relaciona con las mediciones de la desviación de la luz y el retraso del tiempo gravitatorio realizadas por observadores no locales.

Básicamente, sí, la ley es incorrecta para situaciones de la vida real porque las fuerzas gravitatorias no son uniformes en la vida real. Donde es fácil imaginar cajas acelerando uniformemente.

En su defensa el genio de la ley es mucho más profundo. Ciertamente no entiendo completamente las implicaciones, pero pueden ver que son profundas cuando se trata de detener relojes en trenes, personas en la cima de montañas, transmitir señales de tiempo de pozos de gravedad y similares.

Primero, tenga en cuenta que siente el efecto de la gravedad en su cuerpo solo cuando hay alguna superficie que lo empuja hacia atrás en la dirección opuesta a la aceleración gravitacional (aquí, estoy asumiendo que el espacio dentro del cual se lleva a cabo el experimento es pequeño; que es, local, que es donde se cumple el principio de equivalencia). Cuando caes libremente en un campo gravitatorio, no sientes ninguna fuerza g, y esa es la razón por la que los astronautas se sienten ingrávidos. De acuerdo con la relatividad general (en contraste con la mecánica newtoniana), los cuerpos que caen bajo una fuerza gravitacional (solamente) no sonacelerador. Estos cuerpos en caída libre siguen geodésicas en el espacio-tiempo. Sólo cuando el cuerpo se ve impedido de alguna manera de seguir esa geodésica, "siente" algo y acelera. Y ese 'sentimiento' se manifiesta en forma de algún estrés que actúa sobre tu cuerpo. Ahora, para responder a sus dos preguntas sobre el experimento mental:

1) Tome una esfera grande de masa M y una esfera más pequeña con masa m, donde m$<$M. Realice el experimento anecdótico de la Torre Inclinada de Pisa dejando caer ambas esferas desde la misma altura. Como sabes, llegarán al suelo al mismo tiempo, lo que significa que ambas esferas se movían por el espacio exactamente a la misma velocidad (igual aceleración). Esto muestra que dos cuerpos, sin importar cuáles sean sus masas, caen a la misma velocidad. Ahora, une las dos esferas con una barra maciza y coloca el aparato en posición horizontal (como en tu pregunta), y déjalo caer desde lo alto de la Torre nuevamente. Por lo que acabamos de ver, la varilla tambiéncaer exactamente de la manera en que caen las dos esferas. Luego puede extrapolar este argumento a un experimento realizado con un cuerpo rectangular de densidad de masa no uniforme, y el resultado seguirá siendo el mismo: no hay rotación. Tampoco habrá rotación en el caso de una habitación que acelera hacia arriba. Pero como se señaló antes, para comparar un experimento de 'cuarto con gravedad' con un experimento de 'cuarto con aceleración', debe permitir que el cuerpo sienta la fuerza de reacción sobre él, lo cual es posible si, supongamos, coloca el cuerpo en el suelo y luego realice su experimento.

Otra forma de verlo es notar que el eje de rotación (propuesto) a través del cuerpo cae al mismo ritmo que todas las demás partículas que componen el cuerpo. Entonces no hay rotación con respecto a ese eje.

2) Suponga por un minuto que la habitación está en completo vacío (excepto su cuerpo, por supuesto). Cuando caigas libremente en esa situación, no sentirás ninguna fuerza demoledora en absoluto. Te sentirás ingrávido. Así que ahora, no importa si estás cayendo libremente en la habitación o si estás suspendido en la habitación mientras se acelera hacia arriba. En ambos casos, no 'sentirás' nada. Pero sí, sentirás una fuerza aplastante en tu cuerpo si ambos experimentos se realizan cuando estás parado en el piso de la habitación. En este caso, el suelo actuará sobre su cuerpo con una fuerza de reacción. La gravedad no es mortal aquí, son las superficies que te rodean las que actúan sobre ti con fuerzas de reacción cuando intentas avanzar a lo largo de tu geodésica, pero en cambio te ofrecen resistencia.

El principio de equivalencia se mantiene seguro y bien.

El cuerpo no uniforme experimentará torque tanto en el campo gravitatorio como dentro de un elevador, pero solo desde el punto de vista del marco inercial. En el marco de referencia donde el cuerpo está siempre en reposo, el momento de torsión neto sobre el cuerpo es cero; la fuerza de gravedad será cancelada por la fuerza de inercia -ma.

No hay límite a la aceleración que el ser humano puede sobrevivir si la aceleración se debe a la gravedad. Cierto límite se aplica solo a situaciones en las que la aceleración se debe a las fuerzas de contacto mecánicas del asiento u otro cuerpo que hace que el ser humano acelere a través del contacto mecánico.