Cero a la potencia cero: ¿es 00 = 100 = 10 ^ 0 = 1?

En general, no hay una buena respuesta en cuanto a qué$0^0$"debería" ser, por lo que generalmente se deja sin definir.

Básicamente, si consideras$x^y$en función de dos variables, entonces no hay límite como$(x,y)\to(0,0)$(con$x\geq 0$): si te acercas a lo largo de la línea$y=0$, entonces obtienes$\lim\limits_{x\to 0^+} x^0 = \lim\limits_{x\to 0^+} 1 = 1$; así que tal vez deberíamos definir$0^0=1$? Bueno, el problema es que si te acercas por la línea$x=0$, entonces obtienes$\lim\limits_{y\to 0^+}0^y = \lim\limits_{y\to 0^+} 0 = 0$. Entonces, ¿deberíamos definirlo?$0^0=0$?

Bueno, si te acercas por otras curvas, obtendrás otras respuestas. Desde$x^y = e^{y\ln(x)}$, si te acercas por la curva$y=\frac{1}{\ln(x)}$, entonces obtendrá un límite de$e$; si te acercas por la curva$y=\frac{\ln(7)}{\ln(x)}$, entonces obtienes un límite de$7$. Etcétera. Simplemente no hay una buena respuesta desde el punto de vista analítico. Entonces, para cálculo y álgebra, simplemente no queremos darle ningún valor, simplemente lo declaramos indefinido.

Sin embargo , desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, en realidad hay una y sólo una respuesta sensata a lo que$0^0$¡debiera ser! En la teoría de conjuntos,$A^B$es el conjunto de todas las funciones de$B$a$A$; y cuando$A$y$B$denote "tamaño" (cardinalidades), entonces el "$A^B$" se define como el tamaño del conjunto de todas las funciones de$A$a$B$. En este contexto,$0$es el conjunto vacío, entonces$0^0$es la colección de todas las funciones del conjunto vacío al conjunto vacío. Y resulta que hay una (y sólo una) función del conjunto vacío al conjunto vacío: la función vacía. Entonces el conjunto$0^0$tiene un solo elemento, y por lo tanto debemos definir$0^0$como$1$. Entonces, si estamos hablando de exponenciación cardinal , entonces la única definición posible es$0^0=1$, y así lo definimos, punto.

Añadido 2: lo mismo ocurre en Matemáticas Discretas, cuando lo que más nos interesa es "contar" cosas. En Matemática Discreta,$n^m$representa el número de maneras en que puede hacer$m$selecciones de$n$posibilidades, cuando las repeticiones están permitidas y el orden importa. (Esto es realmente lo mismo que "mapas de$\{1,2,\ldots,m\}$a$\\{1,2,\ldots,n\\}$" cuando se interpreta apropiadamente, por lo que nuevamente es lo mismo que en la teoría de conjuntos).

Entonces, ¿qué debería$0^0$¿ser? Debería ser el número de formas en las que no puede hacer selecciones cuando no tiene cosas para elegir. Bueno, hay exactamente una forma de hacerlo: ¡simplemente sentarse y no hacer nada! Entonces hacemos$0^0$igual a$1$, porque ese es el número correcto de formas en que podemos hacer lo que$0^0$representa. (Esto, a diferencia de$0^1$, digamos, donde usted está obligado a hacer$1$elección sin nada para elegir; en ese caso, no puedes hacerlo, así que la respuesta es que$0^1=0$).

Su "tren de pensamientos" realmente no funciona: si$x\neq 0$, entonces$0^x$significa "el número de maneras de hacer$x$opciones de$0$posibilidades". Este número es$0$. Así que para cualquier número$k$, tienes$k\cdot 0^x = 0 = 0^x$, por lo que no se puede decir que la ecuación$0^0\cdot 0^x = 0^x$sugiere que$0^0$"debiera ser$1$. El segundo argumento tampoco funciona porque no se puede dividir por$0$, que es lo que obtienes con$0^x$cuando$x\neq 0$. Así que realmente se reduce a lo que quieres$a^b$significar, y en matemáticas discretas, cuando$a$y$b$son enteros no negativos, es un conteo: es el número de formas distintas en las que puedes hacer una determinada cosa (descrita arriba), y eso lleva necesariamente a la definición que hace$0^0$igual a$1$: porque$1$ es el número de formas de no hacer selecciones a partir de ninguna elección.

Coda. Al final, es una cuestión de definición y utilidad. En Cálculo y álgebra, no existe una definición razonable (lo más cercano que se puede encontrar es tratar de justificarlo a través del teorema del binomio o de la serie de potencias, lo que personalmente creo que es un poco débil), y es mucho más útil dejar es indefinido o indeterminado, ya que de lo contrario daría lugar a todo tipo de excepciones cuando se trata de leyes límite. En teoría de conjuntos, en matemáticas discretas, etc., la definición$0^0=1$es a la vez útil y natural, por lo que lo definimos de esa manera en ese contexto. Para otros contextos (como el mencionado en mathforum, cuando se trata exclusivamente de funciones analíticas donde no surgen problemas con los límites) puede haber definiciones tanto naturales como útiles.

Básicamente lo definimos (o no lo definimos) de la manera que sea más útil y natural para el contexto en cuestión. Para Matemáticas Discretas, no hay duda de cuál debería ser esa forma "útil y natural", por lo que la definimos de esa manera.

Esto es simplemente una definición y no se puede demostrar mediante álgebra estándar. Sin embargo, dos ejemplos de lugares donde es conveniente asumir esto:

1) La fórmula binomial:$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k}x^ky^{n-k}$. cuando configuras$y=0$(o$x=0$) obtendrá un término de$0^0$en la suma, que debe ser igual a 1 para que la fórmula funcione.

2) Si$A,B$son conjuntos finitos, entonces el conjunto de todas las funciones de$B$a$A$, denotado$A^B$, es de cardinalidad$|A|^{|B|}$. cuando ambos$A$y$B$son los conjuntos vacíos, todavía hay una función de$B$a$A$, a saber, la función vacía (una función es una colección de pares que satisfacen algunas condiciones; una colección vacía es una función legal si el dominio$B$esta vacio).

$0^{0}$es solo una instancia de un producto vacío , lo que significa que es la identidad multiplicativa 1.

Me sorprende que nadie haya mencionado el estándar IEEE para$0^0$. Muchos programas de computadora le darán$0^0=1$Debido a esto. Esta no es una respuesta matemática per se, pero vale la pena señalarla debido a la naturaleza cada vez más computacional de las matemáticas modernas, de modo que uno no se tropieza con nada.

El uso de exponentes enteros positivos aparece en la aritmética como una notación abreviada para la multiplicación repetida. Luego, la notación se extiende en álgebra al caso del exponente cero. La justificación de tal extensión es algebraica. Además, en álgebra abstracta, si$G$es un monoide multiplicativo con identidad$e$, y$x$es un elemento de$G$, entonces$x^0$se define como$e$. Ahora bien, el conjunto de números reales con multiplicación es precisamente un monoide con$e=1$. Por lo tanto, en el marco algebraico más abstracto,$0^0=1$.

Continuidad de$x^y$es irrelevante. Si bien hay teoremas que establecen que si$x_n \to x$y$y_n \to y,$entonces$(x_n + y_n) \to x+y$y$(x_n)(y_n) \to xy$, no existe un teorema correspondiente que establezca que$(x_n)^{(y_n)} \to x^y$. No sé por qué la gente sigue golpeando a este hombre de paja para concluir que$0^0$no se puede o no se debe definir.

Tal vez sea una buena idea poner el problema en una perspectiva más amplia.

Lo mínimo que necesitamos para definir una potencia es un semigrupo multiplicativo, lo que básicamente significa que tenemos un conjunto con una operación asociativa que escribimos como multiplicación. Si$S$es el semigrupo, la función de potencia se define como

Ahora bien, es una pregunta natural si podemos extender esa definición de los números enteros positivos a los números enteros no negativos, en otras palabras, si podemos definir$x^0$. Por supuesto, querríamos definirlo de manera que las leyes de potencia (*) aún se mantengan. Esto implica especialmente las siguientes relaciones:

Ahora para un dado$S$y un dado$x\in S$, hay tres casos posibles:

1. No existe un elemento$z\in S$que cumple tanto (I) como (II). En ese caso,$x^0$es indefinido e indefinible sin violar las leyes de potencia. Por ejemplo, si tomas$S$como el conjunto de números pares positivos, entonces$x^0$es indefinido para todos$x\in S$(porque no hay un número par positivo que cumpla con (I) o (II) para cualquier x)
2. Existe exactamente un elemento$z\in S$que cumple esas condiciones. En ese caso, la única definición razonable es$x^0 = z$. Por ejemplo, para números reales distintos de cero, obtienes$x^0=1$Por aquí.

3. Existe más de un elemento$z_i\in S$cumpliendo esas ecuaciones. Este es el caso de$0^0$porque ambos$0$y$1$cumplir las ecuaciones. En ese caso, tienes varias opciones:

   • Puede seleccionar uno de los valores posibles y definir$x^0$como ese valor. Por supuesto, no elegiría ningún valor al azar, sino que elegiría el que sea más útil. Que pueden ser diferentes en diferentes contextos. Tenga en cuenta que cada una de las opciones da una función de potencia válida diferente.
   • Puedes irte$x^0$indefinido. En este caso,$x^0$se llama no especificado porque podría especificarlo (como en la viñeta anterior). En particular, la restricción de cualquiera de las funciones de poder desde la primera viñeta hasta$S\setminus\{x\}$será la función de potencia de esta viñeta.

Ahora, un caso particularmente interesante es si tienes un elemento neutral, es decir, un elemento$e\in S$de modo que$ex=xe=x$para todos$x\in S$. Un semigrupo con tal elemento se llama monoide.

Es fácil comprobar que en este caso,$e$cumple tanto (I) como (II) para cualquier elemento$x\in S$. Por lo tanto, siempre obtienes una función de potencia válida definiendo$x^0=e$. De hecho, al hacerlo, obtienes la forma general

La definición$0^0=1$resulta útil también en otras áreas, por ejemplo, al considerar la estructura lineal (es decir, la ley distributiva con suma), ya que asegura que, por ejemplo, la fórmula binomial

Sin embargo, hay una estructura que no favorece$0^0=1$, y eso es continuidad:$x^y$es discontinuo en$(0,0)$, y cada valor se puede obtener como límite de una secuencia de argumentos convenientemente elegidos que se aproximan al origen. Por lo tanto, desde el punto de continuidad,$0^0$puede considerarse no especificada. Sin embargo, desde$x^y$es discontinuo en el origen ya sea que uno lo defina allí o no, e independientemente del valor que uno elija, ese no es realmente un argumento en contra de elegir$0^0=1$, pero más un argumento en contra de usar esa definición a ciegas.

No estoy al tanto de un contexto donde la definición$0^0=0$sería más útil, pero no quisiera excluir que exista. Cualquier otro valor de$0^0$violaría la condición (I) anterior y, por lo tanto, probablemente no sea útil en absoluto.

En resumen, la definición$0^0=1$es el más útil en la mayoría de las situaciones, y no dañino en situaciones en las que de otro modo uno dejaría$0^0$no especificado, y si existe algún contexto donde otra definición sería más útil, es un contexto bastante inusual. Por lo tanto la definición$0^0=1$es la más razonable.

Es bastante sencillo demostrar que multiplicar algo por$x$cero veces deja el número sin cambios, independientemente del valor de$x$, y por lo tanto$x^0$es el elemento de identidad para todos$x$, y por lo tanto igual a uno.

Por la misma razón, la suma de cualquier lista vacía es cero y el producto es uno. Esto es cuando un producto o suma de una lista vacía se aplica a un número, lo deja sin cambios. Así si el producto$\Pi()$= 1, entonces vemos inmediatamente por qué$0! = 0^0 = 1$.

Sin esta propiedad, se podría demostrar que$2=3$, con el engaño de que hay cero ceros en el producto de la izquierda (después de todo, cero es una cuenta legítima), y así$2*0^0$, y desde$0^0$como indeterminado, podría ser 1.5, y por lo tanto$2=3$. Yo creo que no.

Los acercamientos a$0^0$al mirar$x^y$desde diferentes direcciones, no se da cuenta de que para líneas pares cercanas a$x=0$, la línea barre bruscamente hasta 1 a medida que se acerca$y=0$, y que el caso de$x=0$, puede ser solo un caso de no verlo barrer. Por otro lado, mirando desde el otro lado, incluso en una línea diagonal (es decir,$(ax)^x$), todos suben rápidamente a 1, cuando x se acerca a 0. Solo cuando uno se acerca desde$0^x$que no puedes verlo subir. Así que la evidencia de la gráfica de$x^y$es eso$0^0$es definitivamente 1, excepto cuando se aborda desde$y=0$, cuando parece ser cero.

La respuesta de Knuth es al menos tan buena como cualquier respuesta que obtenga aquí: http://arxiv.org/pdf/math/9205211v1.pdf Consulte las páginas 4-6, comenzando en la parte inferior de la página. 4.

"Todos saben eso

Pero también es una forma indeterminada porque$\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)^{g(x)}$puede ser cualquier número positivo, o$0$o$\infty$, dependiendo de qué funciones$f$y$g$son, si$f(x)$y$g(x)$ambos se acercan$0$como$x\to a$.

Otra razón para definir$0^0=1$proviene de la probabilidad, en particular de los ensayos de Bernoulli.

Estos son ensayos repetidos independientes de un experimento, cuyo resultado es positivo o negativo. Entonces deja$p$Sea la probabilidad de éxito de cada ensayo. Entonces la probabilidad de exactamente$k$éxitos fuera de$n$juicios es

$0^0$es indefinido. Es una forma Indeterminada.

Es posible que desee ver esta publicación.

Por que es$1^{\infty}$considerada como una forma indeterminada

Como dijiste,$0^0$tiene muchas interpretaciones posibles y por lo tanto es una forma indeterminada.

Por ejemplo,

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^{x} = 1$.

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{+}} 0^{x} = 0$.

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{-}} 0^{x} =$no definida.

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} x^{0} = 1$.

La teoría de conjuntos ZFC puede proporcionar una respuesta clara e intuitiva. Como se describe en 'Elements of Set Theory' de Enderton (disponible gratis para ver aquí; ver pdf-página 151): http://sistemas.fciencias.unam.mx/~lokylog/images/stories/Alexandria/Teoria%20de%20Conjuntos% 20Basicos/Enderton%20H.B_Elements%20of%20Set%20Theory.pdf , el conjunto de todas las funciones del conjunto vacío al conjunto vacío consiste simplemente en la función vacía que es 1 función. Por eso$0^0$= 1.

Contenido tomado y reformateado de: The Math Forum

Qué es$0$hacia$0$¿fuerza?

Esta respuesta está adaptada de una entrada en el archivo de preguntas frecuentes de sci.math, que tiene Copyright (c) 1994 Hans de Vreught (hdev@cp.tn.tudelft.nl). Según algunos libros de texto de Cálculo,$0^0$es una "forma indeterminada". Lo que los matemáticos quieren decir con "forma indeterminada" es que en algunos casos pensamos que tiene un valor, y en otros casos pensamos que tiene otro.

Al evaluar un límite de la forma$0^0$, necesita saber que los límites de esa forma son "formas indeterminadas" y que necesita usar una técnica especial como la regla de L'Hopital para evaluarlos. Por ejemplo, al evaluar el límite$\sin(x)^x$(cual es$1$como$x$va a$0$), decimos que es igual a$x^x$(desde$\sin(x)$y$x$ir a$0$a la misma tasa, es decir, límite como$x\to0$de$\sin(x)/x$es$1$). Entonces podemos ver en la gráfica de$x^x$que su limite es$1$.

Aparte de los momentos en que queremos que sea indeterminado,$0^0 = 1$parece ser la opción más útil para$0^0$. Esta convención nos permite extender definiciones en diferentes áreas de las matemáticas que de otro modo requerirían tratar$0$como un caso especial. Darse cuenta de$0^0$es una discontinuidad de la función$f(x,y) = x^y$, porque no importa qué número le asignes$0^0$, no puedes hacer$x^y$continuo en$(0,0)$, ya que el límite a lo largo de la línea$x=0$es$0$, y el límite a lo largo de la línea$y=0$es$1$.

Esto significa que dependiendo del contexto donde$0^0$ocurre, es posible que desee sustituirlo por$1$, indeterminado o indefinido/inexistente.

Algunas personas sienten que dar un valor a una función con una discontinuidad esencial en un punto, como$x^y$en$(0,0)$, es un parche poco elegante y no debe hacerse. Otros señalan correctamente que en matemáticas la utilidad y la consistencia son muy importantes, y que bajo estos parámetros$0^0 = 1$es la elección natural.

La siguiente es una lista de razones por las cuales$0^0$debiera ser$1$.

Rotando & Korn muestran que si$f$y$g$son funciones reales que se anulan en el origen y son analíticas en$0$(infinitamente diferenciable no es suficiente), entonces$f(x)^{g(x)}$enfoques$1$como$x$enfoques$0$desde la derecha

De Concrete Mathematics p.162 (R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik):

Algunos libros de texto dejan la cantidad 0^0 sin definir, porque las funciones$0^x$y$x^0$tienen diferentes valores límite cuando$x$disminuye a$0$. Pero esto es un error. debemos definir$x^0=1$para todos$x$, si el teorema del binomio ha de ser válido cuando$x=0$,$y=0$, y/o$x=-y$. ¡El teorema es demasiado importante para restringirlo arbitrariamente! Por el contrario, la función$0^x$es bastante poco importante.

Publicado por Addison-Wesley, segunda impresión, diciembre de 1988.

Como regla general, se puede decir que$0^0 = 1$, pero$0.0^{0.0}$no está definido, lo que significa que al acercarse desde una dirección diferente no hay un valor claramente predeterminado para asignar a$0.0^{0.0}$; pero Kahan ha argumentado que$0.0^{0.0}$debiera ser$1$, porque si$f(x)$,$g(x)$ $\to0$como$x$se acerca a algún límite, y$f(x)$y$g(x)$son funciones analíticas, entonces$f(x)^{g(x)}\to1$.

la discusión de$0^0$es muy viejo. Euler defiende$0^0 = 1$desde$a^0 = 1$por un no igual a$0$. La controversia se prolongó durante todo el siglo XIX, pero se llevó a cabo principalmente en las páginas de las revistas menores: Grunert's Archiv y Schlomilch's Zeitshrift. Recientemente se ha logrado un consenso en torno a establecer el valor de$0^0 = 1$.

Referencias

Knuth. Dos notas sobre la notación. (AMM 99 no. 5 (mayo 1992), 403-422).

SE Vaughan. La expresion '$0^0$'. Profesor de Matemáticas 63 (1970), pp.111-112.

Louis M. Rotando y Henry Korn. La forma indeterminada$0^0$. Revista de Matemáticas, vol. 50, No. 1 (enero de 1977), págs. 41-42.

LJ Paige. Una nota sobre las formas indeterminadas. American Mathematical Monthly, 61 (1954), 189-190; reimpreso en el volumen de 1969 de la Mathematical Association of America, Selected Papers on Calculus, págs. 210-211.

Baxley y Hayashi. Una nota sobre las formas indeterminadas. American Mathematical Monthly, 85 (1978), págs. 484-486.

Robert S. Fouch. Sobre la definibilidad del cero a la potencia cero. School Science and Mathematics 53, No. 9 (diciembre de 1953), pp. 693-696.

Ya hay tantas respuestas fantásticas, pero no hay imágenes, lo cual es triste.$0^0$ no está definido, ¿es el caso limitado de$x^0$,$0^x$o$x^x$? Las parcelas para$x^0$(una línea en 1) y$0^x$(una línea en cero) son aburridos, pero$x^x$es

_{Autor/Sitio: Wolfram|Alpha}

_{Editor: Wolfram Alpha LLC}

_{URL: https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x%5Ex}

_{Fecha de recuperación: 02/06/2015}

No siempre defino$0^0$, pero cuando lo hago, lo defino como$1$.

Depende de si el 0 en el exponente es el número real 0 o el entero 0. Estos son dos objetos diferentes y aunque la distinción no suele ser importante, en este caso lo es.

La potenciación por un número entero tiene un significado específico universal: el exponente positivo es una multiplicación repetida, el exponente negativo es el inverso de la multiplicación repetida, el exponente cero es el producto vacío, igual a la identidad multiplicativa denotada por 1. Entonces, si el exponente es el número entero 0, entonces$0^0=1$- el hecho de que se trata de un producto vacío sin términos supera el hecho de que los términos que no existen son 0 (porque no existen).

Mientras que la exponenciación por un número real o complejo es un concepto más desordenado, inspirado en los límites y la continuidad. Entonces$0^0$con un 0 real en el exponente es indeterminado, porque obtienes diferentes resultados al tomar el límite de diferentes maneras.

Tenga en cuenta que todos los ejemplos estándar donde es "conveniente" tener$0^0=1$(por ejemplo, series de potencias) son todos los casos en los que el exponente es un número entero.

Tenga en cuenta que siempre que el exponente sea el número entero 0, no importa si la base es el número entero 0, el 0 real o prácticamente cualquier objeto matemático en el planeta para el que se define la multiplicación.

¡Otro enfoque y otro resultado más!

Definimos una función exponencial en$\mathbb{R}$como una función$E:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$tal que

De esta definición tenemos inmediatamente que si$\exists a\in \mathbb{R}$tal que$E(a)=0$entonces$E(x)=0 \; \forall x \in \mathbb{R}$. Para esto no se necesita continuidad ni otras propiedades topológicas. En la teoría de campos exponenciales, esta función se denomina función exponencial trivial.

Si$E$no es esta función trivial, es fácil ver que debemos tener$E(0)=1$y si$E(x)=1$para algunos$x \ne 0$que$E(x)=1 \forall x \in \mathbb{R}$, es decir, es una constante (otra función exp. trivial).

Si$E$no es trivial y$E(1)=a$tenemos una funcion particular$E_a(n)$y es fácil ver que$E_a(-1)=\dfrac{1}{a}$y$E_a(n)=a^n$(y todas las demás propiedades de los exponentes enteros o fraccionarios), por lo que es natural escribir$E_a(x)=a^x$.

Ahora vemos que$0^x$es la función exponencial trivial nula y, dado que esta función debe ser siempre nula, tenemos$0^0=0$.

Fuente: Comprender los exponentes: ¿Por qué 0^0 = 1? (Artículo mejor explicado)

Una analogía útil para explicar el operador exponente de la forma$a \cdot b^c$Es hacer$a$crecer al ritmo$b$para el tiempo$c$.

Ampliando esa analogía,$0^0$se puede interpretar como$1\cdot0^0$es decir: crecer$1$a razón de$0$para el tiempo$0$. Como no hay crecimiento (el tiempo es$0$), no hay cambio en el$1$y la respuesta es$0^0=1$

Por supuesto, esto es solo para asimilar y obtener una intuición o una sensación. La ciencia es provisional y también lo son las matemáticas en ciertas áreas. 0^0=1 no siempre es el valor más útil o relevante en todo momento.

El uso de límites o cálculo o teoremas binomiales realmente no te da una intuición de por qué esto es así, pero espero que esta publicación te haya hecho entender por qué es así y te haga sentir desde el bazo.

Se publica un artículo para el público en general en Scribd: "Zero to the Zero-th Power" (págs. 7-11): http://www.scribd.com/JJacquelin/documents

Algunas formas indeterminadas$0^{0}, \displaystyle\frac{0}{0}, 1^{\infty}, \infty − \infty, \displaystyle\frac{\infty}{\infty}, 0 × \infty,$y$\infty^{0}$

Además,

Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Indeterminate_form

Eche un vistazo a la discusión de WolframMathWorld [1].

A ver si esto te da alguna aclaración.

[1] Weisstein, Eric W. "Indeterminado". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Indeterminate.html

La antigua práctica de dejar$0^0$undefined generalmente se justifica con argumentos basados ​​en límites dependientes de la ruta en los números reales. Sin embargo, como vemos aquí, también es posible justificar esta práctica basándose en métodos puramente discretos.

Si la intuición de la exponenciación en$N$(dónde$0\in N$) debe repetirse la multiplicación tal que$x^2=x\cdot x$, entonces podemos justificar formalmente la siguiente definición:

1. $\forall x,y\in N: x^y\in N$(una función binaria en$N$)

2. $\forall x\in N:(x\ne 0\implies x^0=1)$

3. $\forall x,y\in N:x^{y+1}=x^y\cdot x$

Aquí,$0^0$se supone que es un número natural, pero no se le asigna ningún valor específico.

A partir de esta definición, podemos derivar las leyes usuales de los exonerantes:

1. $\forall x,y,z\in N: (x\ne 0 \implies x^y \cdot x^z = x^{x+y})$

2. $\forall x,y,z\in N: (x\ne 0 \implies (x^y)^z = x^{y\cdot z})$

3. $\forall x,y,z\in N: (x,y\ne 0 \implies (x\cdot y)^z = x^z\cdot y^z)$

Para un desarrollo detallado basado en pruebas formales, consulte "¡Oh, la ambigüedad!" en mi blog de matemáticas .

Hacer un seguimiento

Un mejor enfoque, he encontrado desde entonces, es construir una función parcial en$N\times N$con dominio de definición$N\times N \setminus (0,0)$tal que:

1. $\forall x,y:[x,y\in N \land \neg [x=0\land y=0] \implies x^y\in N$

2. $\forall x:[x\in N\land x\ne 0\implies x^0=1]$

3. $0^1=0$

4. $\forall x,y:[x,y\in N \land \neg [x=0\land y=0] \implies x^{y+1}=x^y\cdot x]$

Vea mi publicación de blog revisada en el enlace anterior (originalmente fechado el 9 de octubre de 2013).

Dejar

Entonces

Podemos usar L'Hopital en RHS ya que tanto el numerador como el denominador tienden a$\infty$

Esto se puede simplificar cancelando algunos términos x.

A partir de entonces, se puede aplicar el límite.

Por lo tanto