Gas ultrarrelativista

Buena pregunta. A veces nos acostumbramos a un hecho determinado, como la equipartición con$(1/2)kT$por grado de libertad, que olvidamos que no siempre es cierto, o qué suposiciones se requieren para que sea cierto. Tuve que refrescar mi memoria sobre cómo funciona la equipartición.

Básicamente el$(1/2)kT$La forma del teorema de equipartición es un caso especial que solo funciona si la energía consta de términos que son proporcionales a los cuadrados de las coordenadas y los momentos. El 1/2 viene del exponente en estos cuadrados.

El artículo de WP sobre equipartición tiene una discusión sobre esto. Existe un teorema general de equipartición que dice que

$$\langle x \frac{\partial E}{\partial x} \rangle = kT,$$

dónde$x$puede ser una coordenada o un momento conjugado. Si$E$tiene un término proporcional a$x^m$, la derivada parcial tiene un factor de$m$en eso. En el caso ultrarrelativista, donde$E\propto\sqrt{p_x^2+p_y^2+p_z^2}$, en realidad no tienes una dependencia de los momentos (componentes del momento) que se descomponen en términos proporcionales a la potencia de cada momento. Sin embargo, creo que es bastante fácil ver por qué terminamos con el resultado que tenemos, porque en una dimensión, tenemos$|\textbf{p}|=|p_x|$, que sí tiene la forma correcta, con un exponente de 1.

Primero tenga en cuenta que la relación de energía diferente no cambia la ecuación de estado del gas. Para un gas clásico sin interacciones, el hamiltoniano no depende de la posición, por lo que podemos ver inmediatamente que la función de partición$Z\sim V^N$y por lo tanto

$$p = \frac{\partial}{\partial V}(kT\log{Z})=\frac{NkT}{V}$$ Entonces, un gas ultrarrelativista se comporta como un gas ideal para muchos propósitos. La diferencia de energía se puede interpretar en términos de grados de libertad. los $N$los átomos son en ambos casos libres (sin interacciones) y no tienen modos de rotación o vibración. La equipartición de energía nos dice que para el gas ideal clásico cada modo lleva una energía $\frac{1}{2}kT$, mientras que en el caso ultrarrelativista la energía es el doble, $kT$. Esto está muy bien explicado en esta página de Wikipedia . La razón de la diferencia es esencialmente que $H\sim p^2$en el caso ideal, mientras $H\sim p$en el caso ultrarrelativista.

En cuanto a las consecuencias físicas, la ecuación de la energía te dice exactamente lo que necesitas: a la misma temperatura, un gas ultrarrelativista tendrá el doble de energía que un gas ideal. La razón por la que son exactamente dos se explica por el teorema de equipartición.