Distribución del tiempo de muchos relojes pequeños en movimiento térmico

Supongamos que hacemos muchos relojes muy pequeños que están sujetos al movimiento térmico.

Para simplificar las cosas supongamos en algún momento t 0 todos sus tiempos están sincronizados (sí, están muy cerca). Luego los verificamos en algún momento posterior y graficamos la distribución de las diversas medidas de tiempo.

Parece evidente que un reloj que no se mueve en absoluto (en nuestro marco de referencia) registrará el mayor cambio de tiempo, y habrá una distribución de otros que registren varios intervalos de tiempo menores. Claramente, tal distribución dependerá de la masa y la temperatura de los relojes, pero tenía curiosidad sobre la forma general de tal distribución. ¿Alguna idea o lugar donde pueda buscar?

Este es un sistema clásico, entiendo que la teoría cuántica generalmente entraría en juego aquí.

EDITAR:

Esto debería poder resolverse utilizando la distribución de Maxwell-Boltzmann:

F ( v ) = ( 1 / 2 π a ) 3 4 π v 2 mi − 1 2 ( v a ) 2

dónde a = k T / metro (Siendo T y m la temperatura y la masa de nuestros relojes respectivamente). El tiempo medido por un reloj elegido al azar es entonces:

Δ t = ∫ t 2 t 1 d t γ − 1

Donde dt es el tiempo propio de los observadores (relojes que no se mueven) y el factor gamma de Lorentz va a depender de la probabilidad de que la partícula tenga una velocidad particular en un momento particular. No estoy seguro de cómo proceder con esto, pero ya parece un problema interesante si se considera que nuestras partes constituyentes se “manchan” continuamente con el tiempo. Seguramente hay una consecuencia físicamente medible de esto. ¿O tal vez debería usar la caminata aleatoria?

EDITAR 1

Para abordar los comentarios de Rennie a continuación, se afirma que los relojes avanzarán hacia la misma hora. es decir. todas sus velocidades promedio de tiempo individuales convergerán. El problema con esto es que para cualquier caminata aleatoria arbitrariamente grande (pero no infinita) en el espacio de velocidad, el promedio no necesita caer en cero, y de hecho siempre hay una probabilidad finita de que caiga bastante lejos de cero (cuantos más pasos en la caminata más lejos puede ser, pero sí que la probabilidad también baja).

Además, si los relojes estuvieran en equilibrio antes de sincronizar sus tiempos (una proposición razonable), el origen de la caminata aleatoria de cada reloj (en el espacio de velocidades) variaría en una probabilidad dependiendo de la distribución de velocidad inicial (Maxwell-Boltzmann), tal que incluso después de una cantidad infinita de tiempo, los relojes estarían muy desincronizados.

Estoy preguntando sobre la forma de tal distribución para un sistema puramente térmico en lo que respecta al intervalo de tiempo experimentado por dicho cuerpo en relación con otro que ha mantenido un marco inercial de manera constante. ¿Cuál es la distribución de las medidas de los relojes en el tiempo? Tengo problemas para creer que todos estarían sincronizados como dice Rennie, tal comportamiento va en contra de un estado de entropía máxima

¿Quizás observar la descomposición radiactiva de una distribución térmica de partículas inestables? Las vidas medias de las partículas deberían actuar como el reloj.
@WAH Gracias, ahí es donde había planeado dirigirme con esto eventualmente
Se supone que las partículas (es decir, relojes) en su gas intercambian energía entre sí lo suficientemente rápido como para que el sistema esté en general en equilibrio. Es decir, chocan entre sí e intercambian impulso. Entonces, no hay un reloj que permanezca estacionario mientras otros relojes se mueven con cierta velocidad térmica. Si promedias el tiempo, todos los relojes tienen la misma velocidad promedio, por lo que todos tienen la misma dilatación de tiempo promedio.
@JohnRennie Si, por supuesto, habrá algún promedio de la distribución, pero incluso en el equilibrio térmico, hay una distribución de velocidades (o velocidades aquí para simplificar. Simplemente podría considerar que el reloj de "reposo/marco inercial" es más grande siguiendo el centro de movimiento de masas del conjunto o uno de los pequeños relojes mantenidos muy fríos.No creo que se pueda afirmar que todos los relojes tendrían la misma hora.
Simplemente estaba usando ese reloj para establecer el tiempo adecuado entre los dos eventos.
@R.Rankin: si sus relojes están sujetos a movimiento térmico (que sus preguntas dicen que sí), entonces los relojes cambiarán de velocidad aleatoriamente cada vez que interactúen con otro reloj. Si toma cualquier reloj y grafica un histograma de todas sus velocidades entre las colisiones, obtendrá la distribución de Maxwell-Boltzmann. Y esto es cierto para cualquier reloj siempre que ese reloj esté en equilibrio térmico. Entonces todos los relojes tendrán la misma velocidad promediada en el tiempo.
@JohnRennie Si considera seguir un reloj en una caminata aleatoria en el espacio de velocidad, ciertamente no promediará lo mismo que la caminata aleatoria de otros relojes a menos que permita que transcurra un intervalo de tiempo infinito, lo que ciertamente no estoy haciendo aquí, estoy considerando algún tiempo finito.
La suposición en un equilibrio térmico es que el tiempo entre interacciones es corto en comparación con la escala de tiempo en la que está estudiando el sistema, es decir, el número de interacciones es tan alto que es efectivamente infinito.
@JohnRennie Consulte la EDICIÓN 1
@John Rennie: No, no lo harán. No exactamente. Eso es como decir que si lanzas una moneda durante el tiempo suficiente, obtendrás exactamente la mitad de cruz y la mitad de cara. Solo obtienes aproximadamente la mitad de las colas y la mitad de las cabezas.
@PeterShor: Creo que depende exactamente de lo que estés definiendo. Si el tiempo total que mides es t entonces el número de colisiones norte es proporcional a t y la desviación estándar en los tiempos propios es proporcional a norte . Pero normalmente definimos la dilatación del tiempo como una relación σ t / t , y esa relación disminuye a medida que 1 / norte por lo que va a ir a cero en t → ∞ .
@Juan: de acuerdo. Pero su comentario no aclaró esto y confundió completamente al OP.

Respuestas (2)

Haremos algunas suposiciones. Mi conocimiento de la teoría de la relatividad es básico, mientras que el de la mecánica cuántica es insignificante, por lo que alguien con más conocimientos sobre estos temas puede comentar qué tan realistas son las siguientes suposiciones.

Primero, tomaremos moléculas de un gas ideal como nuestros relojes. Se supone que algún proceso interno periódico dentro de la molécula actúa como un reloj. Supondremos que cada vez que ocurre un intercambio de energía entre moléculas debido a una colisión, se manifiesta completamente como energía cinética de las moléculas involucradas. En lo que sigue, siempre que hablemos de tiempo, nos referiremos al tiempo de un observador cuyo movimiento medio de las moléculas es cero.

Dejar gramo ( s ) Sea la función de densidad de probabilidad tal que gramo ( s ) d s da la probabilidad de que cualquier molécula dada viaje una distancia que se encuentra en el intervalo [ s , s + d s ] entre colisiones consecutivas. Dejar F ( v ) sea ​​la función de densidad de probabilidad para la velocidad molecular v . Asumiremos que F y gramo son estadísticamente independientes. Esto significa que saber que una molécula tiene velocidad v no altera los valores de probabilidad para la distancia de vuelo s entre colisiones y viceversa. Entonces la probabilidad de que una molécula tenga velocidad v y distancia de vuelo s (entre colisiones consecutivas) es simplemente F ( v ) gramo ( s ) .

Para una velocidad dada v , una molécula en vuelo por una distancia s mide un tiempo adecuado τ = ( s / v ) 1 − v 2 , en C = 1 unidades. Para una dada v , probabilidad de que el tiempo propio medido de la molécula sea ≤ τ es igual a la probabilidad de que ( s / v ) 1 − v 2 ≤ τ es decir s ≤ τ v / 1 − v 2 . Contabilización de todos los valores posibles de v , la CDF para τ es obtenido:

PAG ( τ ) = ∫ 0 1 d v   F ( v ) GRAMO ( τ v / 1 − v 2 )
dónde GRAMO es el cdf correspondiente al pdf gramo . el pdf para τ es:
pag ( τ ) = d PAG d τ = ∫ 0 1 d v   v 1 − v 2 F ( v ) gramo ( τ v / 1 − v 2 )

Usando pag ( τ ) podemos calcular la media y la varianza del tiempo propio τ si existiera: m τ , σ τ 2 . Esto es para una colisión. Para norte colisiones el tiempo propio total medido de una molécula es T norte = τ 1 + τ 2 + . . . + τ norte . Si la varianza σ τ 2 es finito, entonces suponiendo que τ i son variables independientes, en virtud del teorema del límite central tenemos (para grandes norte , que ocurre durante un tiempo de observación lo suficientemente grande):

z norte ≡ T norte − norte m τ norte σ τ ϕ ( z norte ) = 1 2 π mi − z norte 2 / 2

Esto demuestra que es prácticamente seguro (para grandes norte ) que todas las moléculas habrán medido el mismo tiempo propio, igual a norte m τ .

PD: no pude encontrar una expresión para gramo ( s ) en los enlaces de teoría cinética de los gases. ¿Cualquiera sabe?

Originalmente obtuve algo como esto, pero considere que si inicialmente sincronizamos nuestros relojes como se indicó y esperamos hasta MUCHO más tarde y los medimos nuevamente, aún se sincronizarán de acuerdo con su respuesta, esto es como comenzar el experimento nuevamente. Si los volvemos a medir bruscamente, de acuerdo con lo anterior tendrán una distribución de (sí muy pequeñas) fluctuaciones en el tiempo. ¿Pero podríamos habernos saltado la segunda medición, en cuyo caso aún deberían estar sincronizados? Esto parece indicar que siempre debe haber una distribución
O eso o es algo clásicamente similar al efecto zeno cuántico @Peter Shor, ¿alguna idea?
+1 y aceptado; sin embargo, mi comentario anterior sigue sin resolverse desde mi punto de vista (tal vez me equivoque al respecto). En última instancia, había planeado usar la noción de los relojes que permanecen sincronizados durante largos períodos de tiempo para elaborar una distribución de líneas temporales permitidas a partir de t 1 a t 2 ya que la sincronización de los tiempos impone una fuerte restricción en los posibles caminos recorridos entre los dos eventos. Pensé que era interesante que algunos caminos (que de otro modo parecerían razonables) están estrictamente prohibidos por tal restricción. Esto a su vez me hizo preguntarme si realmente existía tal restricción.
@ R.Rankin Lo siento, no entiendo completamente sus comentarios, pero eso se debe a que mi conocimiento de la relatividad es bastante básico. Si inicialmente sincronizamos nuestros relojes y esperamos el tiempo suficiente, entonces no se sincronizarán exactamente . Habrá una distribución, cuya desviación estándar crece a medida que norte σ τ . Sin embargo, la media está creciendo mucho más rápido, igual a norte m τ . Por lo tanto, la relación entre la desviación estándar y la media tiende a cero a la tasa 1 / norte , lo que significa que la distribución de probabilidad se vuelve más alta con el tiempo. Pero nunca estarán perfectamente sincronizados.
Gracias de nuevo, no lo había pensado en términos del coeficiente de variación. Supongo que más lectura está en orden

Si está pensando en términos de una distribución relativista, probablemente debería usar la distribución de Maxwell-Jüttner .

Sin embargo, con respecto a los comentarios de @ John-Rennie sobre el promedio de la dilatación del tiempo, creo que su confusión radica en la forma en que piensa en la distribución de velocidades.

La distribución simplemente describe la probabilidad para todo el conjunto y en una escala de tiempo lo suficientemente grande como para que se promedie que se encontrará una velocidad determinada.

No dice que una partícula tendrá una velocidad específica o permanecerá en ella durante un período medible .

Todo el principio de un tratamiento estadístico de este tipo es que el movimiento de las partículas individuales no es solo aleatorio, sino que las interacciones son pequeñas y las mediciones se realizan en una escala de tiempo que promedia el efecto de las interacciones.

En efecto, está tratando de rastrear partículas individuales, lo cual no tiene sentido en el contexto de una distribución estadística como esta.

Cada partícula es "empujada" por el resto y tendrá muchas direcciones y velocidades en el período de tiempo necesario para que la distribución sea válida.

Si intenta medir una distribución de partículas en una escala de tiempo más pequeña que evitaría promediar, entonces el resultado podría ser cualquier forma de distribución que conserve cantidades conservadas. Por ejemplo, podría haber una distribución sin partículas a velocidades en el rango medio. La próxima instantánea que tomes podría ser completamente diferente.

Es el promedio de tiempo de las interacciones y sus efectos lo que permite que dicha distribución tenga sentido.

Su idea solo sería válida si las partículas no interactuaran en absoluto y no estuvieran restringidas y simplemente volaran al espacio sin obstáculos.

Si está tratando de decir que la teoría estándar de la mecánica estadística no le permite decir nada sobre partículas individuales, no sé de dónde sacó esa idea. Predice la distribución de velocidades en un momento dado con muy buena precisión.
Distribución del tiempo de muchos relojes pequeños en movimiento térmico
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