¿Cuál es la fuerza gravitacional exacta entre dos masas, incluidos los efectos relativistas?

Question

¿Cuál es la fuerza gravitacional exacta entre dos masas, incluidos los efectos relativistas?

jpp1

¿Existe una fórmula de forma cerrada para la fuerza entre dos masas? $m_1$ y $m_2$ si se incluyen los efectos relativistas? Tengo entendido que la fórmula clásica $G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ es solo una aproximación (que probablemente sea lo suficientemente buena incluso para ir a la Luna), pero ¿cuál sería la fórmula correcta según la teoría general de la relatividad? ¿Existe siquiera una fórmula cerrada? ¿Por ejemplo para una situación idealizada de dos masas esféricas uniformes?

david z

Aquí hay una pregunta relacionada que incluso podría considerarse un duplicado: physics.stackexchange.com/q/2684

Abhimanyu Pallavi Sudhir

Relacionado: Ecuación Geodésica . !

qmecanico

Ver Wikipedia .

Mateo Cristóbal Bartsh

Me pregunto si, desde alrededor de 1970 entre los relativistas profesionales, uno comenzaría reemplazando

G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}

$G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ con

G \frac{E_{1} E_{2}}{r^{2}}

$G \frac{E_1 E_2}{r^2}$ ya que es la energía total de cada esfera uniforme la que determina la curvatura del espacio-tiempo por cada una, no la masa en reposo o "masa invariante" como creo que dicen ahora los relativistas. La energía total de una esfera se ve afectada por la temperatura y otras cosas. Eleva la temperatura (digamos que el volumen permanece sin cambios) y aumentas la energía y, por lo tanto, el campo gravitatorio y/o la curvatura del espacio-tiempo, ¿verdad?

Respuestas (5)

¿Cuál es la fuerza gravitacional exacta entre dos masas, incluidos los efectos relativistas?

Aquí hay una pregunta relacionada que incluso podría considerarse un duplicado: physics.stackexchange.com/q/2684
Me pregunto si, desde alrededor de 1970 entre los relativistas profesionales, uno comenzaría reemplazando $G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ con $G \frac{E_1 E_2}{r^2}$ ya que es la energía total de cada esfera uniforme la que determina la curvatura del espacio-tiempo por cada una, no la masa en reposo o "masa invariante" como creo que dicen ahora los relativistas. La energía total de una esfera se ve afectada por la temperatura y otras cosas. Eleva la temperatura (digamos que el volumen permanece sin cambios) y aumentas la energía y, por lo tanto, el campo gravitatorio y/o la curvatura del espacio-tiempo, ¿verdad?

Potencial retardado · Answer 1

Peor que la electrodinámica, la relatividad general no es lineal, en el sentido de que el campo de múltiples fuentes no es solo la suma de los campos de cada fuente aislada. Incluso el caso simple por el que pregunta, que es el problema de los dos cuerpos en la relatividad general , no se ha resuelto exactamente.

Un caso aún más simple es el límite $m_2 \to 0$ . En ese caso solo $m_1$ afecta la geometría del espacio-tiempo, y $m_2$ sigue una geodésica en ese espacio-tiempo. Esto se ha solucionado exactamente. El artículo vinculado da detalles.

[Anexo] Para responder directamente a la pregunta original sobre el límite $m_2 \to 0$ :

Por supuesto si $m_2=0$ , entonces la fuerza entre las dos masas es $0$ . Pero lo que pasa con la gravedad clásica es que la aceleración debida a la gravedad es independiente de la masa. (Este es el principio de equivalencia y es en realidad uno de los puntos de partida de la teoría de la relatividad general). Por lo tanto, todavía tiene sentido preguntar cuál sería la aceleración de una masa despreciable (también conocida como un cuerpo de prueba ) debido a la gravedad de otra masa. La respuesta clásica es $a_2 = \frac{Gm_1}{r^2}$ .

En relatividad general, la aceleración de un cuerpo de prueba debido a la gravedad de una sola masa esférica, homogénea y no giratoria viene dada exactamente por la solución de Schwarzschild , cuyo enlace puede consultar para obtener más detalles. cuyo resultado es que

\ddot{r} = - \frac{GRAMO {metro}_{1}}{r^{2}} + r {\dot{θ}}^{2} - \frac{3 GRAMO {metro}_{1}}{C^{2}} {\dot{θ}}^{2}

$\ddot{r} = -\frac{Gm_1}{r^2} + r\dot{\theta}^2 - \frac{3Gm_1}{c^2}\dot{\theta}^2$

\ddot{θ} = - \frac{2}{r} \dot{r} \dot{θ}

$\ddot{\theta} = -\frac{2}{r}\dot{r}\dot{\theta}$ [CORREGIDO Y SIMPLIFICADO 2 de enero]

dónde $r$ y $\theta$ son coordenadas polares centradas en la masa gravitante, los puntos representan la diferenciación por el tiempo propio del cuerpo de prueba.

Entonces, el primer término es solo la aceleración radial clásica. $-\frac{Gm_1}{r^2}$ . Los términos $r\dot{\theta}^2$ y $-\frac{2}{r}\dot{r}\dot{\theta}$ son la aceleración centrífuga y de Coriolis clásica para coordenadas polares.

Lo que no es clásico es el término extra $\frac{3Gm_1}{c^2}\dot{\theta}^2$ . Finalmente, está el hecho de que la diferenciación es con respecto al tiempo propio del cuerpo de prueba. Diferentes cuerpos de prueba experimentarán el tiempo de manera diferente. Pueden estar relacionados por:

(1 - \frac{r_{s}}{r}) {\dot{t}}^{2} - \frac{{\dot{r}}^{2}}{(1 - \frac{r_{s}}{r}) C^{2}} - \frac{r^{2} {\dot{θ}}^{2}}{C^{2}} = 1

$(1 - \frac{r_s}{r})\dot{t}^2 - \frac{\dot{r}^2}{(1 - \frac{r_s}{r}) c^2} - \frac{r^2\dot{\theta}^2}{c^2} = 1$

El constante $r_s = \frac{2Gm_1}{c^2}$ se introduce por simplicidad. Se llama el radio de Schwarzschild de la masa gravitante.

Aquí la coordenada $t$ se introduce como un tiempo de referencia, por lo que $\dot{t}$ es la tasa de cambio del tiempo de referencia con respecto al tiempo propio del cuerpo de prueba. Para un lejano ( $r \to \infty$ ), estacionario ( $\dot{r}=0, \dot{\theta}=0$ ) cuerpo de prueba, esto se convierte en $\dot{t} = 1$ , por lo que el tiempo de referencia se puede interpretar como el tiempo medido en un reloj estacionario distante.

En el caso clásico, por supuesto, todos los cuerpos experimentan el mismo tiempo, pero también se puede comparar con el caso relativista especial, donde la ecuación sería:

{\dot{t}}^{2} - \frac{{\dot{r}}^{2}}{C^{2}} - \frac{r^{2} {\dot{θ}}^{2}}{C^{2}} = 1

$\dot{t}^2 - \frac{\dot{r}^2}{c^2} - \frac{r^2\dot{\theta}^2}{c^2} = 1$

Entonces, lo que es nuevo en la relatividad general es el factor $(1 - \frac{r_s}{r})$ . Para tener una idea de la escala, para la Tierra, $\frac{r_s}{r}$ es aproximadamente una parte y media por billón en la superficie de la Tierra. (Tenga en cuenta que la solución de Schwarzschild solo es aplicable fuera del cuerpo gravitante).

Esto es exacto solo para $m_2 \to 0$ , pero sigue siendo una muy buena aproximación mientras $m_2$ es mucho más pequeño que $m_1$ , como para un planeta que orbita alrededor de una estrella.

Gracias: el término "problema de dos cuerpos en relatividad general" es útil para encontrar muchos recursos y documentos en la web que parecen ser sobre lo que me interesa. Todavía me interesaría saber cómo se podría simplificar esto. especializándolo en un problema de juguete: por ejemplo, ¿qué tan complicado sería aproximar la fuerza entre dos masas esféricas homogéneas que no giran y que no se mueven (porque se tocan)? ¿Sería posible dar, por ejemplo, una fórmula en serie para esto? ¿Es apropiado preguntar esto aquí o mejor en una pregunta separada (o en absoluto)?
@Johsm: Creo que estás buscando la expansión posnewtoniana. Pero el problema de los dos cuerpos sigue sin resolverse para dos masas PUNTUALES, y mucho menos para las que tienen estructura.
Dos esferas una encima de la otra: un caso que funcionaría es algo así como una roca en la Tierra. Otra es si ambas masas tienen una gravedad muy débil, como dos asteroides uno encima del otro. La solución de Schwarzschild debería ser adecuada (¡si la respuesta clásica no lo es ya!). No se me ocurren otros casos. Por ejemplo, si intentaras colocar la luna sobre la Tierra, no se quedarían quietas, ¡colapsarían!
Mi curiosidad está motivada esencialmente porque traté de calcular cómo los efectos relativistas (y otros) influyen en algunos de los resultados que se obtendrían con los "problemas escolares" ordinarios. Por ejemplo, sumando velocidades usando $\frac{v_1+v_2}{1 + \frac{v_1 v_2}{c^2}}$ en lugar de solo $v_1 + v_2$ . Eso es divertido y puede proporcionar algunas ideas a los legos como yo. Además: cualquier escolar puede calcularlo. Así que me preguntaba si hacer esencialmente lo mismo con la gravitación y las respuestas que obtuve aquí ya proporcionaron muchas ideas interesantes. Desafortunadamente, no habrá muchos escolares que puedan calcular esto...
Bueno, si usamos el tiempo propio del cuerpo y las coordenadas de Schwarzschild para la distancia y el ángulo, como he hecho, entonces la fórmula de aceleración es casi la clásica, con un pequeño término de corrección. $(3GM/c^2)\dot{\theta}^2$ si hay movimiento no radial. Pero el tiempo propio es diferente del tiempo del "observador distante estacionario". Esto también es cierto en la relatividad especial, pero la relatividad general agrega el factor de corrección $(1 - \frac{r_s}{r})$ . He actualizado mi respuesta en consecuencia. ¡Espero que esto proporcione más información!

Juanrga · Answer 2

Sí, la ecuación de movimiento no relativista.

\frac{d pags}{d t} = F = - \frac{GRAMO {metro}_{1} {metro}_{2}}{r^{2}}

$\frac{dp}{dt} = F = -\frac{G m_1 m_2}{r^2}$

para una sola partícula que interactúa gravitatoriamente con otra solo es válida para velocidades mucho más pequeñas que la velocidad de la luz y para masas suficientemente pequeñas. Fíjate en el signo menos en la expresión de la fuerza no relativista F --la gravitación es atractiva--.

Primero , la relatividad general es una teoría (geo)métrica. No hay fuerzas gravitatorias en la relatividad general . En la relatividad general, los cuerpos afectados solo por la gravitación se mueven libremente , pero en un espacio-tiempo curvo

_{(fuente: twimg.com )}

La ecuación relativista general de movimiento para un solo cuerpo es la ecuación geodésica

\frac{D {PAGS}^{m}}{D τ} = 0

$\frac{DP^\mu}{D\tau} = 0$

Nótese el cero a la derecha, que es consecuencia de la ausencia de fuerzas gravitatorias en la relatividad general. Los índices griegos se ejecutan sobre 0,1,2,3 --las coordenadas del espacio-tiempo-- y se utiliza la convención de suma. $P^\mu$ es el cuatro impulso, $\tau$ el tiempo adecuado y $D$ denota la derivada covariante, que incluye los efectos debido a la curvatura del espacio-tiempo

\frac{D {PAGS}^{m}}{D τ} = \frac{d {PAGS}^{m}}{d τ} + Γ_{v λ}^{m} {tu}^{v} {PAGS}^{λ},

$\frac{DP^\mu}{D\tau} = \frac{dP^\mu}{d\tau} + \Gamma_{\nu\lambda}^\mu U^\nu P^\lambda ,$

dónde $\Gamma_{\nu\lambda}^\mu$ son los símbolos de Christoffel y $U^\nu$ la de cuatro velocidades.

En segundo lugar , la teoría de campo de la gravedad proporciona una descripción no geométrica de la gravedad. Hay fuerzas gravitatorias en la teoría del campo . En esta teoría, los cuerpos afectados solo por la gravitación se mueven en un espacio-tiempo plano --a veces esto se llama el enfoque de la gravitación en el espacio-tiempo plano-- pero sienten una fuerza gravitacional asociada a los gravitones.

_{(fuente: twimg.com )}

La ecuación de movimiento de teoría de campo para un solo cuerpo en un campo gravitatorio es la ecuación de Kalman

A_{m}^{v} \frac{d {PAGS}^{m}}{d τ} = F^{v} = - B_{m λ}^{v} {tu}^{m} {PAGS}^{λ}

$A_\mu^\nu \frac{dP^\mu}{d\tau} = F^\nu = - B_{\mu\lambda}^\nu U^\mu P^\lambda$

dónde $F^\nu$ es la fuerza gravitacional exacta con

A_{m}^{v} = (1 - \frac{1}{C^{2}} ψ_{λ γ} {tu}^{λ} {tu}^{γ}) η_{m}^{v} - \frac{2}{C^{2}} ψ_{m γ} {tu}^{γ} {tu}^{v} + \frac{2}{C^{2}} ψ_{m}^{v}

$A_\mu^\nu = \left( 1 - \frac{1}{c^2} \psi_{\lambda\gamma} U^\lambda U^\gamma \right) \eta_\mu^\nu - \frac{2}{c^2} \psi_{\mu\gamma} U^\gamma U^\nu + \frac{2}{c^2} \psi_\mu^\nu$

y

B_{m λ}^{v} = \frac{2}{C^{2}} ψ_{m, λ}^{v} - \frac{1}{C^{2}} ψ_{m λ}^{, v} - \frac{1}{C^{2}} ψ_{m λ, γ} {tu}^{γ} {tu}^{v}

$B_{\mu\lambda}^\nu = \frac{2}{c^2} \psi_{\mu,\lambda}^\nu - \frac{1}{c^2} \psi_{\mu\lambda}^{,\nu} - \frac{1}{c^2} \psi_{\mu\lambda,\gamma} U^\gamma U^\nu$

Aquí $\psi_{\alpha\beta}$ es el potencial del campo gravitacional y la coma denota la derivada parcial plana ordinaria del espacio-tiempo.

Es fascinante ver lo poco que uno puede saber sobre esto. Como un profano en física, no estoy familiarizado ni con las convenciones de notación ni con las herramientas matemáticas utilizadas aquí. Una cosa que me desconcierta como profano: ¿no es el efecto de la gravitación, al menos sobre la masa, siempre una fuerza? Es decir, algo que tiene dirección y puede medirse con las unidades habituales de fuerza y que hace lo que suelen hacer las fuerzas. ¿Incluso si prefiero modelarlo matemáticamente de una manera totalmente diferente? (Creo que estoy transformando mi pregunta en "explicar la gravitación en relatividad general para tontos" aquí ...)
@Johsm La relatividad general es una teoría geométrica en la que el efecto de la gravitación no se interpreta como una fuerza real sino como una curvatura del espacio-tiempo. He añadido una imagen. Solo los enfoques no geométricos, como la gravedad newtoniana o la teoría del campo, introducen fuerzas gravitatorias. En el libro de texto de Wald sobre la gravitación se da una excelente discusión de la imagen newtoniana vs GR, ¡pero no es para profanos! De hecho
Intentaría comprender que las fuerzas nunca se miden directamente , sino que se deducen de los datos brutos del aparato: por ejemplo, aceleraciones de una partícula de prueba, elongación de un gancho...
Tratar la gravedad como una fuerza está bien cuando se pueden despreciar los efectos relativistas. Sin embargo, la idea de la gravedad como fuerza se desmorona cuando incluyes la relatividad (especial). La gente trató de hacer tales teorías durante años, pero todas fracasaron. El hecho de que la gravedad se acople universalmente a todos los objetos en proporción directa a su inercia la hace muy diferente de cualquier otra fuerza. De hecho, una vez que incluyes la acción de la gravedad sobre la luz, el espacio-tiempo plano ya no puede funcionar. Necesitas curvatura. Lea sobre el principio de equivalencia para obtener más información. Desafortunadamente, no conozco una buena cuenta lay de la mano.
@MichaelBrown No hay problema con las fuerzas gravitatorias relativistas. El principio de equivalencia es la base de la imagen geométrica de GR, pero este principio se puede derivar del enfoque de campo cuando se ignoran las correcciones gravitónicas de orden superior. El enfoque de campo predice la flexión de la luz observable. Como afirma Feynman en sus conferencias sobre la gravitación: " Es uno de los aspectos peculiares de la teoría de la gravitación, que tiene tanto una interpretación de campo como una interpretación geométrica. [...] La interpretación geométrica no es realmente necesaria o esencial a la física ".
@juanrga ¿No es el enfoque de la teoría de campo (cuántica) que menciona una teoría de perturbación sobre una métrica plana? Cuando suma todas las funciones de gravitón de un punto con cualquier materia no trivial (como un planeta), obtendrá una métrica curva, la métrica de Schwarschild, por ejemplo. Tengo entendido que la imagen geométrica surge naturalmente del qft de un bosón de espín-2 sin masa. El punto de vista que tomes como más fundamental o natural depende de si crees que un fondo de espacio plano fijo es sagrado o no.
Una analogía de lo que estoy tratando de decir: es como hacer una expansión semiclásica en torno a alguna solución de las ecuaciones de Maxwell en lugar de hacer la primera aproximación de Born. En la analogía, un geómetra estaría diciendo que la geometría U(1) de Maxwell es fundamental, y el teórico de campos estaría diciendo que simplemente surge de la invariancia de Lorentz de las amplitudes de los fotones. En cualquier caso, en mi comentario anterior estaba hablando de forma clásica. Compare GR con cualquiera de las teorías en competencia de la época.
@MichaelBrown No. Estoy mencionando una teoría de campo clásica. Todo en las ecuaciones de Kalman es clásico. Como dije en mi respuesta $\psi_{\alpha\beta}$ es " el potencial del campo gravitatorio ". Lo confundes con lo geométrico $h_{\alpha\beta}$ : la desviación de la planitud. Hay más problemas con tus comentarios...
@juanrga Usted mencionó las correcciones de gravitón de orden superior y las conferencias de Feynman sobre la gravitación. Ambos son completamente cuánticos. Leeré más sobre la ecuación de Kalman cuando esté menos ocupado, aunque por mi parte no sé cómo se divide por un tensor (su $A^\nu_\mu$ ). ¿Tiene una referencia de artículo de revisión? Tengo más preguntas: ¿Es la teoría de Kalman equivalente a GR? ¿Cuál es la justificación de la estructura de fondo?
Si todo tiene lugar sobre un fondo plano, ¿cómo se explica el experimento de Pound-Rebka? La luz ya no debe seguir geodésicas nulas, por lo que debe modificar E&M y romper su invariancia conforme. ¿Qué le hace esto a la invariancia de calibre de E&M y cómo se ve cuando intenta cuantificarlo? Si mi analogía anterior de E&M era problemática, ignórala, no estoy apegado a ella. No he dicho nada que no sea un dogma estándar tal como lo entiendo. Por favor, no tomes esto como una agresión. Sé cómo a veces me encuentro en línea. Soy genuinamente curioso. Me gustaría saber dónde me estoy equivocando.
@MichaelBrown mencionar "gravitón" o "giro" es un abuso ordinario del lenguaje en este tema. Por ejemplo, cuando Wald dice, en su libro de texto, que GR puede interpretarse como una teoría de campo de espín 2, no está diciendo que GR sea una teoría cuántica de campo. Repito: he presentado la teoría clásica de campo de la gravedad. Tu punto sobre el tensor. $A_\mu^\nu$ es bueno! He corregido el error. ¡Gracias!
@MichaelBrown No es la " teoría de Kalman ", sino la teoría de campo de la gravedad (FTG). Tradicionalmente se creía que FTG era totalmente equivalente a GR, pero en los últimos años se ha demostrado que GR es solo una aproximación a este. Ver mi artículo de revisión y las referencias citadas en él. La justificación de la estructura de fondo es la misma que en SR, CED, QFT... Sí CED (E&M) se modifica en FTG, pero lo mismo ocurre en GR. ¿Verdadero?

Vladímir Kalitvianski · Answer 3

Vladímir Kalitvianski

Como en la electrodinámica, las fuerzas se retardan, las ecuaciones correspondientes se complican e incluyen también la radiación.

jpp1

¡Bueno! ¡Eso lo hace aún más interesante para un profano curioso como yo! ¿Radiación? Genial!| ¡Dame las ecuaciones o mejor dicho, las soluciones para las ecuaciones! ¿Por favor?

Shivam Sarodia

No puedo responder a su pregunta, pero podría ayudar a otros que puedan si nos dijera su experiencia en física.

jpp1

Mi experiencia en física es cero, me temo. Solo lo que quedó de la escuela hace unas décadas y lo que leí por curiosidad en el tiempo transcurrido desde entonces. La motivación de mi pregunta es: me sorprendió lo imposible que era (al menos para mí) en todo el gran Internet encontrar una fórmula que diera la fuerza exacta.

f

$f$ entre dos masas

m_{1}

$m_1$ y

m_{2}

$m_2$ de acuerdo con el conocimiento físico actual, en lugar de solo la aproximación newtoniana clásica.

Vladímir Kalitvianski

@Johsm: no hay soluciones exactas y las ecuaciones son demasiado complicadas para ver la fuerza. Físicamente la fuerza que actúa sobre una masa depende de la distancia retardada

R (t^{'})

$R(t')$ y otras variables retardadas. No solo tiene una dirección "radial", sino también "perpendicular" con respecto a la línea que une dos cuerpos.

Agerhell · Answer 4

La expresión que en realidad usa el JPL para calcular/aproximar los efectos relativistas según las promesas dadas proviene de la "expansión post-newtoniana" en el nivel 1PN e, incluida la aceleración newtoniana clásica, parece:

\frac{d \bar{v}}{d t} = - \frac{GRAMO METRO}{r^{2}} (1 - \frac{4 GRAMO METRO}{r C^{2}} + \frac{v^{2}}{C^{2}}) \hat{r} + \frac{4 GRAMO METRO}{r^{2}} (\hat{r} \cdot \hat{v}) \frac{v^{2}}{C^{2}} \hat{v}

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}\left(1-\frac{4GM}{rc^2}+\frac{v^2}{c^2}\right)\hat{r} +\frac{4GM}{r^2}\left(\hat{r}\cdot \hat{v}\right)\frac{v^2}{c^2}\hat{v}$

Básicamente, están introduciendo un componente que es "gravedad cúbica inversa repulsiva" y dos términos dependientes de la velocidad. Esta expresión también está disponible en el nivel 3PN, consulte esta publicación . Tenga en cuenta que esto es solo una aproximación que puede reproducir el "desplazamiento anómalo del perihelio" en el límite del campo débil. El término de cubo inverso extra repulsivo provoca un comportamiento muy extraño si intenta usarlo en el límite de campo fuerte. Aquí hay algunas simulaciones que hice donde el círculo verde denota el radio de Schwarzschild y el círculo rojo denota la distancia radial a la "órbita circular estable más interna". Es fácil ver el rebote causado por el término del cubo inverso repulsivo:

Nota: Esta es la expresión para el caso de relación de masa infinita. Si no puede usar la aproximación de la relación de masa infinita, creo que la expresión sería más complicada.

Cretino2 · Answer 5

Creo que si consideramos una masa mucho mayor, entonces la fuerza se vuelve relativista:

F = - \frac{GRAMO METRO metro}{r^{2}} + \frac{4 {GRAMO}^{2} {METRO}^{2} metro}{r^{3} C^{2}}

$F=-\frac{GMm}{r^2}+\frac{4G^2M^2m}{r^3c^2}$

¿Cuál es la fuerza gravitacional exacta entre dos masas, incluidos los efectos relativistas?

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