¿Por qué la masa inercial y la masa gravitacional deben ser iguales, no solo proporcionales?

Diría que tienes una gran aprensión por el principio de equivalencia: lo has pensado a fondo. Y lo que dices es absolutamente cierto: la independencia del movimiento de una masa puntual libre de interacción en el espacio-tiempo es independiente de su masa (en el límite de masa pequeña[1]) es la esencia del principio de equivalencia y, para su cumplimiento, solo requiere la masa inercial$m_i$debe ser proporcional al "acoplamiento gravitacional"$m_g$. Con una constante de escala no unitaria, aún obtendrá las mismas clases de equivalencia de estados de movimiento inercial que no pueden diferenciarse entre sí mediante ningún experimento completamente dentro de uno de los marcos inerciales, como se describe en la alegoría de Galileo de la Nave de Salviati : relatividad general simplemente describe para nosotros las clases de equivalencia de los movimientos de "Nave Saliviati" y sus cosets relativamente acelerados (en el sentido de tener ciertas lecturas del acelerómetro) dada una distribución de energía de tensión y condiciones límite. Ninguna de estas conclusiones cambia si agrega una constante de escala entre$m_i$y$m_g$. Es simplemente que, dado que encontramos que el principio de equivalencia es cierto, elegimos hacer que nuestro sistema de unidades sea lo más simple posible al establecer la constante de escala en la unidad.

[1]: es decir , de modo que su propia contribución al tensor de tensión-energía pueda tomarse como insignificante para que su presencia no cambie la geometría del espacio-tiempo.

Pregunta de OP

Entonces, ¿por qué escucho tantas veces a la gente inferir que debido a que toda la materia responde a la curvatura del espacio-tiempo de la misma manera (es decir, igual aceleración),$m_i=m_g$?

Porque es una hipótesis;$m_i=m_g$es una condición suficiente, pero es más fuerte de lo necesario para explicar que "el efecto de la gravedad es independiente de la composición". A menudo, se hacen hipótesis en física que son más fuertes de lo que realmente se necesita para explicar los resultados experimentales, generalmente por motivos de simplicidad o la llamada "navaja de Occam". La Relatividad General es el ejemplo clásico: explica perfectamente el experimento de Galileo y se deshace de la extraña "conspiración" de una fuerza de gravedad que es lo suficientemente complicada o "inteligente" para averiguar cuál es la masa inercial.$m_i$de un cuerpo es y acelera con una fuerza proporcional a$m_i$. Pero solo hay una explicación posible : nosotros (o Einstein) lo elegimos por su asombrosa simplicidad, no por su singularidad. Reduce la teoría de la gravitación a un pequeño grupo de axiomas: (1) el espacio-tiempo es una variedad métrica, (2) un cuerpo que no siente interacción sigue las geodésicas en esta variedad y (3) las ecuaciones de campo de Einstein y las condiciones de contorno relevantes definen la métrica. que surge de las distribuciones de materia. Misner, Thorne y Wheeler en su libro "Gravitation" hacen lo mismo (o más bien, replican el tratamiento de Élie Cartan) para la gravedad newtoniana, es decir , muestran cómo describir la gravedad newtoniana como una teoría geométrica local y se vuelve monstruosamente complicada en comparación con GTR en esta forma.

Sin embargo , una vez que elige la hipótesis geométrica (que la gravedad no es una fuerza y ​​el movimiento de caída libre es un movimiento inercial), la constante unitaria se fija de la siguiente manera. Por un lado, no hay interacción entre un observador en caída libre y cualquier otra cosa; no siente fuerza alguna. Por lo tanto, la noción de una "constante de acoplamiento" al campo gravitatorio no tiene sentido y no existe tal cosa como$m_g$. Pero supongamos que tenemos un grupo de objetos "descansando" en la superficie de un planeta, digamos que la Tierra es concreta. Luego, cada uno, a través de la física de estado sólido relevante (ciertos tipos de cosas no pueden pasar a través de otros tipos de cosas), están obligados a acelerar a la misma velocidad en relación con el marco de caída libre local. Así que ahora pregunte, "¿qué fuerza sobre cada uno de estos objetos se necesita desde el suelo para que aceleren así?". Por la segunda ley de Newton, es$m_i\,g$. Observe cómo la noción de$m_g$ni siquiera entra en la discusión. La situación es totalmente análoga a la situación en la que pones un montón de cajas de cosas de diferente masa en el asiento trasero de tu coche y luego aceleras al acelerar.$g$. Usted concluye, a partir de la segunda ley de Newton, que cada objeto debe estar siendo empujado por el asiento trasero hacia adelante con una fuerza$m_i\,g$.