Distorsión gravitacional del diámetro de un objeto, a distancia,

Question

Distorsión gravitacional del diámetro de un objeto, a distancia,

steve ruiz

¿La curvatura del espacio-tiempo hace que los objetos parezcan más pequeños de lo que realmente son? ¿Cuál es la relación entre la distorsión óptica y la masa de los objetos?

qmecanico

Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/56334/2451 y physics.stackexchange.com/q/56430/2451

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Distorsión gravitacional del diámetro de un objeto, a distancia,

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Eduardo Guerras Valera · Answer 1

Si, según tengo entendido, su pregunta es "¿La masa de un objeto hace que el objeto en sí parezca más pequeño?" , entonces ¡guau! es muy bueno

Creo que la respuesta es la contraria: su propio potencial gravitacional hace que un objeto parezca más grande de lo que es. Vemos el Sol un poco más grande de lo que realmente es. Es esencialmente el mismo efecto que hace que una aceituna dentro de una copa de Martini parezca más grande. En lugar de un martini y un vaso que reducen la velocidad de la luz alrededor de la aceituna, hay una curvatura del espacio-tiempo que reduce la velocidad de la luz alrededor del Sol. Puedes pensarlo de esa manera, aunque la forma del vaso juega un papel importante en la analogía.

Considere un rayo de luz que parte de un punto bastante cercano al polo norte del Sol (A) y llega después a la Tierra (B). Si el Sol no tuviera masa, AB sería una línea recta.

¿Cómo encontramos matemáticamente que AB es una línea recta? por el Principio de Fermat, que nos dice que el tiempo de viaje de la luz a lo largo de la trayectoria seguida por un rayo de luz es una cantidad estacionaria:

d \int_{t_{A}}^{t_{B}} d t = 0

$\delta \int_{t_A}^{t_B}dt=0$

Estacionario aquí significa que no puede modificar la forma de la trayectoria ni siquiera un poco sin obtener un aumento en el tiempo total de viaje, por lo tanto, es una ruta de tiempo de viaje mínimo. En ausencia de gravedad, y bajo la suposición de que el espacio entre A y B es un vacío perfecto, la velocidad de la luz es constante y ese tiempo mínimo se logra mediante la línea recta. Como [velocidad]=[espacio]/[tiempo], la última integral se traduce en

d \int_{A}^{B} \frac{d yo}{C} = 0

$\delta\int_{A}^{B} \frac{dl}{c} = 0$

Ahora, dado que el Sol tiene una masa, deforma el espacio-tiempo. Cuanto más se acerca un reloj a una masa, más lento va, lo sabes. La velocidad de la luz, siendo un cociente del espacio y el tiempo como cualquier otra velocidad, va por tanto más lenta cerca del Sol. Por lo tanto, $c$ no es una cantidad constante entre A y B, y el resultado de la integral en el principio de Fermat ya no es una línea recta.

Para una respuesta cualitativa , puede imaginar el potencial gravitacional del Sol como una disposición de capas concéntricas. En las capas internas, la velocidad de la luz es menor. Para llegar de A a B en el menor tiempo de viaje, los fotones intentan minimizar el camino a través de las capas internas más lentas, doblando así la trayectoria. En este dibujo, el segmento $AI^1$ a través de la región interna es claramente más corto que $AI'^1$ , por lo tanto la luz elige el camino $A I^1 I^2 B$ . Los observadores en la Tierra (B) creen que la luz viaja en línea recta, y por lo tanto perciben que el diámetro del Sol es mayor (ver el pequeño dibujo en la esquina superior derecha)

ingrese la descripción de la imagen aquí

(Quizás suba un dibujo mejor cuando regrese del fin de semana)

Más formalmente, podemos obtener una expresión dependiente de la posición de la velocidad de la luz para conectarla a la integral, considerando que la métrica alrededor del Sol es casi plana, por lo tanto, usando la de la Relatividad Especial más una pequeña perturbación:

{gramo}_{m v} \approx η_{m v} + A d_{m v}

$g_{\mu\nu} \approx \eta_{\mu\nu} + A\delta_{\mu\nu}$

| A | ≪ 1

$|A|\ll 1$ Para obtener asintóticamente la gravedad newtoniana a partir de esto, A resulta ser el potencial gravitatorio newtoniano escalado,

A = \frac{2 ϕ}{C^{2}}

$A=\frac{2\phi}{c^2}$ por lo tanto, el intervalo infinitesimal (con +---) es:

d s^{2} = (1 + \frac{2 ϕ}{C^{2}}) C^{2} d t^{2} - (1 - \frac{2 ϕ}{C^{2}}) (d X^{2} + d y^{2} + d z^{2})

$ds^2=(1+\frac{2\phi}{c^2})c^2dt^2-(1-\frac{2\phi}{c^2})(dx^2+dy^2+dz^2)$ Pero los fotones evolucionan en el espacio de fase a lo largo de geodesis nulas, por lo tanto

d s^{2} = 0

$ds^2=0$ y puedes obtener una expresión para la velocidad de la luz (al cuadrado) alrededor del Sol como

C^{' 2} = \frac{(d X^{2} + d y^{2} + d z^{2})}{d t^{2}} = C^{2} \frac{1 + \frac{2 ϕ}{C^{2}}}{1 - \frac{2 ϕ}{C^{2}}}

$c'^2=\frac{(dx^2+dy^2+dz^2)}{dt^2} = c^2\frac{1+\frac{2\phi}{c^2}}{1-\frac{2\phi}{c^2}}$ Desde

\frac{2 ϕ}{c^{2}} ≪ 1

$\frac{2\phi}{c^2} \ll 1$ ,

(\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}})^{- 1} \approx 1 - x

$(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}})^{-1} \approx 1-x$ , y luego tienes eso:

\frac{1}{C^{'}} = \frac{1}{C} (1 - \frac{2 ϕ}{C^{2}})

$\frac{1}{c'}=\frac{1}{c}(1-\frac{2\phi}{c^2})$ Por tanto, el principio de Fermat entre el Sol y nosotros se traduce en:

d \int_{A}^{B} (1 - \frac{2 ϕ}{C^{2}}) d yo = 0

$\delta\int_{A}^{B} (1-\frac{2\phi}{c^2}) dl = 0$ dónde

ϕ = - \frac{M_{S u n}}{\sqrt{x (l)^{2} + y (l)^{2} + z (l)^{2}}}

$\phi = -\frac{M_{Sun}}{\sqrt{x(l)^2+y(l)^2+z(l)^2}}$ es el potencial newtoniano. Resolviendo para el camino

x (l), y (l), z (l)

$x(l), y(l), z(l)$ es otra cuestión, que implica las ecuaciones de Euler-Lagrange y un choque más o menos interesante con la realidad, en el que probablemente tendrás que hacer tal o cual suposición para llegar a una solución analítica...

En el caso estándar de fotones de estrellas de fondo que llegan desde el infinito y apenas rozan la superficie del Sol, Einstein hizo los cálculos en 1916 y encontró que el ángulo de desviación era de 1,8 segundos de arco. Dado que estamos interesados aquí en los fotones que se originan en el Sol, entonces el potencial los ha estado desviando a la mitad, por lo que el ángulo debe ser de aproximadamente 0,9 segundos de arco.

Es decir, vemos el Sol casi 1,8 segundos de arco más grande de lo que "deberíamos". Con un diámetro aparente de 32 minutos de arco , ¿a quién le importa?, pero te alegrará saber que los astrofísicos extragalácticos cuentan con un sesgo de amplificación aún no bien cuantificado en el universo, lo que más o menos significa que probablemente debemos estar sobreestimando el tamaño y la luz a distancia. fuentes debido a la amplificación causada por las masas en el medio (no es exactamente su reclamo, pero está estrechamente relacionado).

También relacionado con su pregunta, está el hecho bien conocido (predicho por el propio Einstein) de que las frecuencias en las líneas espectrales de la fotosfera del Sol son ligeramente más rojas que las medidas en los laboratorios de la Tierra, otra consecuencia de la velocidad más lenta de los relojes cerca de objetos masivos.

El resto de los cálculos, similares a los que hizo Einstein para el Sol, involucran las ecuaciones de Euler-Lagrange y luego se integran a lo largo de un camino tangente, sin perturbaciones, de -inf a +inf (similar a la aproximación de Born a la dispersión) para encontrar el ángulo de desviación. Soy flojo y eso está en la literatura. El punto es que los objetos masivos curvan el camino de su propia luz hacia adentro como se ve desde un observador distante, por lo que parecen más grandes de lo que son, para ese observador distante.

jonathan dunn · Answer 2

"Los diámetros reales del Sol y la Tierra son 4,1 km y 4,4 mm mayores, respectivamente, de lo que cabría esperar al aplicar la geometría euclidiana (C = pi * d) a la superficie observada de estos cuerpos". - http://www.johnstonsarchive.net/relativity/stcurve.pdf

Distorsión gravitacional del diámetro de un objeto, a distancia,

steve ruiz

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Eduardo Guerras Valera

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jonathan dunn

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