Conservación de carga y método de imágenes.

La fórmula para$Q_{conductor}$que hace referencia proviene del punto medio de un argumento de superposición:

1) Comience suponiendo que la esfera conductora está conectada a tierra. (es decir, olvídate del cargo$Q$por ahora.)

a) Use el método estándar de imágenes para reemplazar la esfera puesta a tierra con una carga de imagen equivalente$q_{image} = -q (a/r)$en la posición$a^2/r$, donde a es el radio de la esfera conductora y$r$es la distancia de carga$q$del centro de la esfera. Ahora puede encontrar el campo.

b) Volver a la esfera puesta a tierra. El campo (ahora conocido) requiere carga en la superficie de la esfera para terminarlo. Por la ley de Gauss, la carga total en la superficie,$Q_{conductor}=q_{image}$. Esa es su fórmula (que se generaliza al caso de múltiples cargos de imagen).

c) Ahora puede romper la conexión que pone a tierra la esfera. Nada cambia; la superficie de la esfera sigue siendo equipotencial a nivel del suelo.

2) Con la esfera ya no conectada a tierra, ahora puede agregar carga$Q-q_{image}$a la esfera para lograr la especificación del problema original. Dado que las fuerzas electrostáticas se equilibraron en la parte 1), la nueva carga se distribuye uniformemente sobre la esfera y, por lo tanto, actúa como una carga puntual en el centro de la esfera.

Ahora puede sumar los dos campos de las partes 1) y 2) para encontrar la fuerza sobre la carga$q$.

Puede probar que la carga del espejo requerida es la opuesta a la carga externa, y si tiene muchas cargas externas, la solución viene dada por el principio de superposición, por lo que la suma total de las cargas externas "reales" es igual a la suma del espejo. cargas: calculando una integral en "integrando sobre todos los ángulos" en Wikipedia .

En lugar de reproducir la prueba de allí, déjame ofrecerte una prueba más conceptual. La electrodinámica es "conformemente invariante". Realmente se reduce al hecho de que la acción$-(1/4)\int d^4 x\, F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$es invariante de escala y la invariancia de escala junto con la invariancia de Poincaré generalmente implica la simetría conforme completa.

Ahora, la carga del espejo requerida es claramente$-q_{\rm external}$si la superficie conductora es plana, por un$Z_2$simetría (que es la única manera de garantizar que$\vec E$será ortogonal al plano, el límite del conductor, que es requerido por la constancia del potencial en el conductor). Se puede generalizar esta afirmación a una esfera arbitraria haciendo una inversión esférica. Considere un conductor cuya superficie es un plano que no cruza el origen$\vec x=0$. Ahora, realiza una inversión esférica.

$$(r,\theta,\phi)\to (1/r,\theta,\phi)$$ en coordenadas esféricas. Esta transformación, que cambiará el plano fuera del origen (y yendo al infinito) a una esfera (compacta, que no toca el infinito) que toca el origen, puede demostrarse fácilmente que es una transformación conforme que conserva el ángulo (esencialmente porque es cierto en 2D, porque $z\to 1/z$es una función holomorfa de una variable compleja a excepción del polo en $z=0$) por lo que si todos los campos se transforman correctamente y si resolvieron las ecuaciones antes, también lo resolverán después.

Pero la integral$\nabla\cdot \vec E$que es proporcional a la carga en una región dada es invariante bajo las transformaciones conformes porque el integrando es la segunda derivada de los potenciales cuya "dimensión de masa" es uno (al igual que para una derivada, también). Por lo tanto, el integrando es "masa al cubo", lo que se cancela frente a la medida de integración tridimensional. Entonces, si aplicas la inversión esférica en el problema plano, obtienes una esfera con una carga externa y una carga especular y las cargas$+q,-q$será exactamente como antes (como para el problema plano).

Se necesitarían algunas matemáticas más allá de las "dimensiones de masa" para demostrar que la carga es realmente invariante conforme, pero es cierto.

Entonces, aunque la derivación necesita alguna teoría de grupo abstracta (inversión esférica, simetría conforme, etc.) o integrales aburridas, la respuesta es sí, las cargas son las mismas. Por el principio de superposición, puede tomar las cargas externas como cualquier distribución. Estas fuentes pueden verse como la superposición de cargas puntuales y los campos resultantes$\vec E$serán superposiciones con los mismos coeficientes, excitados por la misma combinación de las cargas del espejo. Por lo tanto, la igualdad entre la "carga total" externa y del espejo seguirá siendo válida incluso si toma cualquier configuración de conductores esféricos o planos (los conductores planos son solo los$R\to\infty$límites de las esféricas) y cualquier configuración de cargas.