¿Cómo probamos que el jμjμj ^ \ mu de 4 corrientes se transforma como xμxμx ^ \ mu bajo la transformación de Lorentz?

$\color{blue}{\textbf{ANSWER B}}\:$ (basado en la covarianza de las ecuaciones de Mawxell bajo transformaciones de Lorentz)

Sean las cantidades

$$\begin{equation} \mathbf{E}=\left(E_x,E_y,E_z\right), \quad \mathbf{B}=\left(B_x,B_y,B_z\right), \quad \mathbf{j}=\left(j_x,j_y,j_z\right), \quad \rho \nonumber \end{equation}$$ Satisfacer las ecuaciones de Maxwell en el espacio vacío en un sistema inercial. $\:\mathrm S$: $$\begin{align} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{E} & = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \tag{01a}\\ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{B} & = \mu_{0}\mathbf{j}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \tag{01b}\\ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} & = \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \tag{01c}\\ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B} & = 0 \tag{01d} \end{align}$$ Si aplicamos la transformación de Lorentz 1 + 1 dimensional: $$\begin{align} x' & = \gamma\left(x\boldsymbol{-}\upsilon t\right) \tag{02a}\\ y' & = y \vphantom{\left(t\boldsymbol{-}\frac{\upsilon x}{c^{2}} \right)} \tag{02b}\\ z' & = z \vphantom{\left(t\boldsymbol{-}\frac{\upsilon x}{c^{2}} \right)} \tag{02c}\\ t' & = \gamma\left(t\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon x}{c^{2}} \right) \tag{02d} \end{align}$$ para la configuración de los sistemas $\:\mathrm S\:$ y $\:\mathrm S'\:$como en la Figura-01, entonces las siguientes cantidades primarias definidas $$\begin{align} E'_{x} & = E_{x} \tag{16a}\\ E'_{y} & = \gamma \left(E_{y} \boldsymbol{-}\upsilon B_{z}\right) \tag{16b}\\ E'_{z} & = \gamma \left(E_{z} \boldsymbol{+}\upsilon B_{y}\right) \tag{16c}\\ B'_{x} & = B_{x} \tag{17a}\\ B'_{y} & = \gamma\Bigl(B_{y}+\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E_{z}\Bigr) \tag{17b}\\ B'_{z} & = \gamma\Bigl(B_{z}-\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E_{y}\Bigr) \tag{17c}\\ j'_{x} & = \gamma\left(j_{x}\boldsymbol{-}\upsilon \rho \right) \tag{24a}\\ j'_{y} & = j_{y} \tag{24b}\\ j'_{z} & = j_{z} \tag{24c}\\ \rho' & = \gamma\Bigl(\rho \boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon j_{x}}{c^{2}}\Bigr) \tag{18} \end{align}$$ satisfacen las ecuaciones de Maxwell preparadas en el sistema $\:\mathrm S'\:$ $$\begin{align} \boldsymbol{\nabla'} \boldsymbol{\times} \mathbf{E'} & = -\frac{\partial \mathbf{B'}}{\partial t'} \tag{22}\\ \boldsymbol{\nabla'} \boldsymbol{\times} \mathbf{B'} & = \mu_{0}\mathbf{j'}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \mathbf{E'}}{\partial t'} \tag{25}\\ \boldsymbol{\nabla'} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E'} & = \frac{\rho'}{\epsilon_{0}} \tag{10}\\ \boldsymbol{\nabla'} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B'} & = 0 \tag{13} \end{align}$$ Comparando el conjunto de ecuaciones (24), (18) con (02) llegamos a la conclusión de que el vector de densidad de corriente de carga $\:\mathbf{J}=\left(c\rho,\mathbf{j}\right)\:$ se transforma como el vector de posición del espacio-tiempo $\:\mathbf{X}=\left(ct,\mathbf{x}\right)$.

Entonces $\:\mathbf{J}\:$ es un 4-vector.

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Entonces, bajo el supuesto de covarianza de las ecuaciones de Maxwell, podemos probar que la densidad de corriente de carga 4 es un vector de Lorentz 4 y, en base a esto, probamos la invariancia de carga, vea una respuesta mía relacionada aquí: ¿Por qué la carga es invariante de Lorentz pero relativista? masa no es?

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Está disponible en $\LaTeX$ la versión 3 + 1-dimensional de esta respuesta.

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^{Prueba :}

^{Las ecuaciones diferenciales de Maxwell del campo electromagnético en el espacio vacío son}

$$\begin{align} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{E} & = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \tag{01a}\\ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{B} & = \mu_{0}\mathbf{j}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \tag{01b}\\ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} & = \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \tag{01c}\\ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B} & = 0 \tag{01d} \end{align}$$ dónde $\: \mathbf{E} =$ vector de intensidad de campo eléctrico, $\:\mathbf{B}=$ vector de densidad de flujo magnético, $\:\rho=$ densidad de carga eléctrica, $\:\mathbf{j} =$vector de densidad de corriente eléctrica. Todas las cantidades son funciones de las tres coordenadas espaciales. $\:\left( x,y,z\right)\:$ y tiempo $\:t$.

^{Sobre ellos aplicaremos la siguiente transformación de Lorentz y debemos definir las nuevas variables $\:\mathbf{E'},\mathbf{B'},\mathbf{j'},\rho'\:$de modo que la forma de las ecuaciones (01) permanezca sin cambios (covariante) en el nuevo marco de referencia. A partir de la definición del nuevo 4-vector actual, demostraremos que es un 4-vector de Lorentz. Entonces, dejemos que la configuración habitual de dos sistemas$\:\mathrm S,\mathrm S'\:$ el último moviéndose relativamente al primero con velocidad $\:\upsilon \in (-c,c)\:$ a lo largo del eje común $\:x$, vea la Figura-01.
Las ecuaciones de transformación de Lorentz son}

$$\begin{align} x' & = \gamma\left(x\boldsymbol{-}\upsilon t\right) \tag{02a}\\ y' & = y \vphantom{\left(t\boldsymbol{-}\frac{\upsilon x}{c^{2}} \right)} \tag{02b}\\ z' & = z \vphantom{\left(t\boldsymbol{-}\frac{\upsilon x}{c^{2}} \right)} \tag{02c}\\ t' & = \gamma\left(t\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon x}{c^{2}} \right) \tag{02d} \end{align}$$ ^{Ahora, debemos expresar las derivadas parciales con respecto a las variables espacio-temporales $\:(x,y,z,t)\:$ en términos de las derivadas parciales con respecto a las variables espacio-temporales $\:(x',y',z',t')$. De (02) tenemos $$\begin{align} \dfrac{\partial \hphantom{x}}{\partial x} & = \dfrac{\partial \hphantom{x'}}{\partial x'}\dfrac{\partial x'}{\partial x\hphantom{'}}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial \hphantom{t'}}{\partial t'}\dfrac{\partial t'}{\partial x\hphantom{'}}=\gamma\dfrac{\partial \hphantom{x'}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial \hphantom{t'}}{\partial t'} \tag{03a}\\ \dfrac{\partial \hphantom{y}}{\partial y} & = \dfrac{\partial \hphantom{y'}}{\partial y'} \tag{03b}\\ \dfrac{\partial \hphantom{z}}{\partial z} & = \dfrac{\partial \hphantom{z'}}{\partial z'} \tag{03c}\\ \dfrac{\partial \hphantom{t}}{\partial t} & = \dfrac{\partial \hphantom{x'}}{\partial x'}\dfrac{\partial x'}{\partial t\hphantom{'}}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial \hphantom{t'}}{\partial t'}\dfrac{\partial t'}{\partial t\hphantom{'}}=\boldsymbol{-}\gamma\upsilon\dfrac{\partial \hphantom{x'}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\gamma\dfrac{\partial \hphantom{t'}}{\partial t'} \tag{03d} \end{align}$$ Comenzando con la ecuación de Maxwell (01a) tenemos $$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \Longrightarrow \begin{cases} \dfrac{\partial E_{z}}{\partial y}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial z}=\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B_{x}}{\partial t}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \\ \dfrac{\partial E_{x}}{\partial z}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial x}=\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B_{y}}{\partial t}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \\ \dfrac{\partial E_{y}}{\partial x}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial y}=\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B_{x}}{\partial t}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \end{cases} \tag{04} \end{equation}$$ y usando las relaciones derivadas parciales (03) $$\begin{align} \dfrac{\partial E_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial z'} &=\gamma \upsilon\dfrac{\partial B_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial B_{x}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \tag{05a}\\ \dfrac{\partial E_{x}}{\partial z'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial E_{z}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial t'}&=\gamma \upsilon\dfrac{\partial B_{y}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial B_{y}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \tag{05b}\\ \gamma\dfrac{\partial E_{y}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial t'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial y'}&=\gamma \upsilon\dfrac{\partial B_{z}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial B_{z}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \tag{05c} \end{align}$$ Con la ecuación de Maxwell (01b) $$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{B} = \mu_{0}\mathbf{j}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \Longrightarrow \begin{cases} \dfrac{\partial B_{z}}{\partial y}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B_{y}}{\partial z}=\mu_{0}j_{x} \boldsymbol{+}\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial t}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \\ \dfrac{\partial B_{x}}{\partial z}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B_{z}}{\partial x}=\mu_{0}j_{y} \boldsymbol{+}\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial t}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \\ \dfrac{\partial B_{y}}{\partial x}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B_{x}}{\partial y}=\mu_{0}j_{z} \boldsymbol{+}\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial t}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \end{cases} \tag{06} \end{equation}$$ y entonces $$\begin{align} \dfrac{\partial B_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B_{y}}{\partial z'} &=\mu_{0}j_{x}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma \upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \tag{07a}\\ \dfrac{\partial B_{x}}{\partial z'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial B_{z}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial B_{z}}{\partial t'} & = \mu_{0}j_{y}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma \upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \tag{07b}\\ \gamma\dfrac{\partial B_{y}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial B_{y}}{\partial t'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B_{x}}{\partial y'}&=\mu_{0}j_{z}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma \upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \tag{07c} \end{align}$$ Continuando con (01c) $$\begin{align} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \Longrightarrow \dfrac{\partial E_{x}}{\partial x}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial y}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial z} & =\frac{\rho}{\epsilon_{0}} \Longrightarrow \nonumber\\ \gamma\dfrac{\partial E_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial t'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial y}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial z} & = \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \nonumber \end{align}$$ entonces $$\begin{equation} \dfrac{\partial \gamma E_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial y'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial z'} = \frac{\rho}{\epsilon_{0}}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial t'} \tag{08} \end{equation}$$ y finalmente con (01d) $$\begin{align} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B} =0 \Longrightarrow \dfrac{\partial B_{x}}{\partial x}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B_{y}}{\partial y}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B_{z}}{\partial z}&=0\Longrightarrow \nonumber\\ \gamma\dfrac{\partial B_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial B_{x}}{\partial t'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B_{y}}{\partial y}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B_{z}}{\partial z} & =0 \Longrightarrow \nonumber \end{align}$$ eso es $$\begin{equation} \dfrac{\partial \gamma B_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B_{y}}{\partial y'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B_{z}}{\partial z'} = \dfrac{\gamma\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial B_{x}}{\partial t'} \tag{09} \end{equation}$$ Ahora, usando las ocho (8) ecuaciones escalares (05), (07), (08) y (09) debemos intentar definir las 10 cantidades escalares primarias - los componentes de $\:\mathbf{E'},\mathbf{B'},\mathbf{j'}\:$ y el escalar $\:\rho'\:$- en términos de los sin cebar de tal manera que se obtengan las ecuaciones de Maxwell con cebado. Comencemos con la ecuación (08). Este es candidato para la ecuación de Maxwell $$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla'} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E'} = \frac{\rho'}{\epsilon_{0}} \tag{10} \end{equation}$$ El problema es que la ecuación (10) tiene derivadas parciales con respecto a $\:(x',y',z')\:$ pero no con respecto a $\:t'\:$como lo hace (08). Pero podemos ver que esta derivada parcial con respecto a$\:t'\:$ en el rhs de (08) podría expresarse en términos de derivadas parciales con respecto a $\:(x',y',z')\:$de la ecuación (07a). Más exactamente de (07a) $$\begin{equation} \dfrac{\gamma\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial t'} =\dfrac{\partial (\upsilon B_{z})}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial (\upsilon B_{y})}{\partial z'} \boldsymbol{-}\mu_{0}\upsilon j_{x}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma \upsilon^{2}}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial x'} \tag{11} \end{equation}$$ Insertando esta expresión en (08) tenemos $$\begin{equation} \dfrac{\partial \gamma E_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial y'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial z'} = \frac{\rho}{\epsilon_{0}}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial (\upsilon B_{z})}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial (\upsilon B_{y})}{\partial z'} \boldsymbol{-}\mu_{0}\upsilon j_{x}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma \upsilon^{2}}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{x}}{\partial x'} \nonumber \end{equation}$$ entonces $$\begin{equation} \dfrac{\partial E_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial \left[\gamma (E_{y} \boldsymbol{-}\upsilon B_{z})\right]}{\partial y'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial \left[\gamma (E_{z} \boldsymbol{-}\upsilon B_{y})\right]}{\partial z'} = \frac{\gamma\Bigl(\rho \boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon j_{x}}{c^{2}}\Bigr)}{\epsilon_{0}} \tag{12} \end{equation}$$ Continuemos con (09). Este es candidato para la ecuación de Maxwell $$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla'} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B'} =0 \tag{13} \end{equation}$$ Desde (05a) $$\begin{equation} \dfrac{\gamma\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial B_{x}}{\partial t'} = \dfrac{\gamma \upsilon^{2}}{c^{2}}\dfrac{\partial B_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{+}\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial z'} \tag{14} \end{equation}$$ Insertando esta expresión en (09) tenemos $$\begin{equation} \dfrac{\partial \gamma B_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B_{y}}{\partial y'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B_{z}}{\partial z'} = \dfrac{\gamma \upsilon^{2}}{c^{2}}\dfrac{\partial B_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{+}\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial E_{y}}{\partial z'} \nonumber \end{equation}$$ entonces $$\begin{equation} \dfrac{\partial B_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial \left[\gamma\Bigl(B_{y}+\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E_{z}\Bigr)\right]}{\partial y'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial \left[\gamma\Bigl(B_{z}-\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E_{y}\Bigr)\right]}{\partial z'} = 0 \tag{15} \end{equation}$$ De las ecuaciones (12) y (15) parece que hasta ahora sería una buena opción definir siete (7) cantidades primarias escalares - los componentes de $\:\mathbf{E'},\mathbf{B'}\:$ y el escalar $\:\rho'\:$- en términos de los no cebados como sigue $$\begin{align} E'_{x} & = E_{x} \tag{16a}\\ E'_{y} & = \gamma \left(E_{y} \boldsymbol{-}\upsilon B_{z}\right) \tag{16b}\\ E'_{z} & = \gamma \left(E_{z} \boldsymbol{+}\upsilon B_{y}\right) \tag{16c} \end{align}$$ $$\begin{align} B'_{x} & = B_{x} \tag{17a}\\ B'_{y} & = \gamma\Bigl(B_{y}+\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E_{z}\Bigr) \tag{17b}\\ B'_{z} & = \gamma\Bigl(B_{z}-\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E_{y}\Bigr) \tag{17c} \end{align}$$ y $$\begin{equation} \rho' = \gamma\Bigl(\rho \boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon j_{x}}{c^{2}}\Bigr) \tag{18} \end{equation}$$ Queda por definir las tres (3) cantidades escalares primarias restantes: los componentes de $\:\mathbf{j'}$- y comprobar si todas estas cantidades primarias definidas son consistentes para transformar las ecuaciones (05) y (07) en las versiones primarias de las ecuaciones de Maxwell (01a) y (01b) respectivamente. Si pensamos las seis (6) ecuaciones escalares (16), (17) como un sistema lineal con 6 "incógnitas" las cantidades no primarias$\:E_{x},E_{y},E_{z},B_{x},B_{y},B_{z}\:$entonces, resolviendo con respecto a ellos, tenemos $$\begin{align} E_{x} & = E'_{x} \tag{19a}\\ E_{y} & = \gamma \left(E'_{y} \boldsymbol{+}\upsilon B'_{z}\right) \tag{19b}\\ E_{z} & = \gamma \left(E'_{z} \boldsymbol{-}\upsilon B'_{y}\right) \tag{19c} \end{align}$$ $$\begin{align} B_{x} & = B'_{x} \tag{20a}\\ B_{y} & = \gamma\Bigl(B'_{y}\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{z}\Bigr) \tag{20b}\\ B_{z} & = \gamma\Bigl(B'_{z} \boldsymbol{+}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{y}\Bigr) \tag{20c} \end{align}$$ Reemplazándolos en (05a) tenemos $$\begin{align} & \dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{z} \boldsymbol{-}\upsilon B'_{y}\right)\right]}^{E_{z}}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{y} \boldsymbol{+}\upsilon B'_{z}\right)\right]}^{E_{y}}}{\partial z'} =\gamma \upsilon\dfrac{\partial \overbrace{B'_{x}}^{B_{x}}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial \overbrace{B'_{x}}^{B_{x}}}{\partial t'} \quad \stackrel{(15) ,(17)}{=\!=\!=\!\Longrightarrow} \nonumber\\ &\dfrac{\partial E'_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E'_{y}}{\partial z'} = \upsilon\underbrace{\left(\dfrac{\partial B'_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B'_{y}}{\partial y'}\boldsymbol{+}\dfrac{\partial B'_{z}}{\partial z'}\right)}_{0} \boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{x}}{\partial t'} \nonumber \end{align}$$ entonces $$\begin{equation} \dfrac{\partial E'_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E'_{y}}{\partial z'} = \boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{x}}{\partial t'} \tag{21a} \end{equation}$$ Reemplazándolos en (05b) tenemos $$\begin{align} & \dfrac{\partial \overbrace{E'_{x}}^{E_{x}}}{\partial z'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{z} \boldsymbol{-}\upsilon B'_{y}\right)\right]}^{E_{z}}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{z} \boldsymbol{-}\upsilon B'_{y}\right)\right]}^{E_{z}}}{\partial t'} = \nonumber\\ &\gamma \upsilon\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{y}\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{z}\Bigr)\right]}^{B_{y}}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{y}\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{z}\Bigr)\right]}^{B_{y}}}{\partial t'} \quad =\!=\!=\!\Longrightarrow \nonumber\\ &\dfrac{\partial E'_{x}}{\partial z'}\boldsymbol{-}\gamma^{2}\left(1-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)\dfrac{\partial E'_{z}}{\partial x'}=\boldsymbol{-}\gamma^{2}\left(1-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)\dfrac{\partial B'_{y}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \nonumber \end{align}$$ entonces $$\begin{equation} \dfrac{\partial E'_{x}}{\partial z'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E'_{z}}{\partial x'} = \boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{y}}{\partial t'} \tag{21b} \end{equation}$$ y finalmente reemplazándolos en (05c) $$\begin{align} & \gamma\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{y} \boldsymbol{+}\upsilon B'_{z}\right)\right]}^{E_{y}}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{y} \boldsymbol{+}\upsilon B'_{z}\right)\right]}^{E_{y}}}{\partial t'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial \overbrace{E'_{x}}^{E_{x}}}{\partial y'} = \nonumber\\ &\gamma \upsilon\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{z} \boldsymbol{+}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{y}\Bigr)\right]}^{B_{z}}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{z} \boldsymbol{+}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{y}\Bigr)\right]}^{B_{z}}}{\partial t'}\quad =\!=\!=\!\Longrightarrow \nonumber\\ &\gamma^{2}\left(1-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)\dfrac{\partial E'_{y}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E'_{x}}{\partial y'}=\boldsymbol{-} \gamma^{2}\left(1-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)\dfrac{\partial B'_{z}}{\partial t'} \vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \nonumber \end{align}$$ entonces $$\begin{equation} \dfrac{\partial E'_{y}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial E'_{x}}{\partial y'} = \boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{z}}{\partial t'} \tag{21c} \end{equation}$$ Las ecuaciones (21a), (21b) y (21c) son una prueba de que los vectores primados $\:\mathbf{E'},\mathbf{B'}\:$definido por (16), (17) satisfacen la versión prima de la ecuación de Maxwell (01a) $$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla'} \boldsymbol{\times} \mathbf{E'} = -\frac{\partial \mathbf{B'}}{\partial t'} \tag{22} \end{equation}$$ Continuamos ahora con la ecuación (01b). Reemplazo en (07a) las cantidades no imprimadas$\:E_{x},E_{y},E_{z},B_{x},B_{y},B_{z}\:$ por sus expresiones (19), (20) tenemos $$\begin{align} &\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{z} \boldsymbol{+}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{y}\Bigr)\right]}^{B_{z}}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{y}\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{z}\Bigr)\right]}^{B_{y}}}{\partial z'} = \nonumber\\ &\mu_{0}j_{x}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma \upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{E'_{x}}^{E_{x}}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{E'_{x}}^{E_{x}}}{\partial t'}\quad =\!=\!=\!\Longrightarrow \nonumber\\ & \gamma\left(\dfrac{\partial B'_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{y}}{\partial z'}\right)=\mu_{0}j_{x}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma \upsilon}{c^{2}} \underbrace{\left(\dfrac{\partial E'_{x}}{\partial x'}\boldsymbol{+} \dfrac{\partial E'_{y}}{\partial y'}\boldsymbol{+} \dfrac{\partial E'_{z}}{\partial z'}\right)}_{(18) :\: \tfrac{\rho'}{\epsilon_{0}} \stackrel{(18)}{=\!=} \tfrac{\gamma}{\epsilon_{0}}\bigl(\rho \boldsymbol{-}\tfrac{\upsilon j_{x}}{c^{2}}\bigr)} \boldsymbol{+}\dfrac{\gamma}{c^{2}}\dfrac{\partial E'_{x}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}}\quad =\!=\!=\!\Longrightarrow \nonumber\\ &\gamma\left(\dfrac{\partial B'_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{y}}{\partial z'}\right)=\mu_{0}j_{x}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma^{2} \upsilon}{\epsilon_{0}c^{2}} \Bigl(\rho \boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon j_{x}}{c^{2}}\Bigr) \boldsymbol{+}\dfrac{\gamma}{c^{2}}\dfrac{\partial E'_{x}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}}\quad \stackrel{\epsilon_{0}c^{2}=\mu_{0}^{-1}}{=\!=\!=\!\Longrightarrow} \nonumber\\ &\gamma\left(\dfrac{\partial B'_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{y}}{\partial z'}\right)=\mu_{0}\left(1\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^{2} \upsilon^{2}}{c^{2}}\right)j_{x}\boldsymbol{-}\mu_{0}\gamma^{2} \upsilon \rho \boldsymbol{+}\dfrac{\gamma}{c^{2}}\dfrac{\partial E'_{x}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\dfrac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \nonumber \end{align}$$ entonces $$\begin{equation} \dfrac{\partial B'_{z}}{\partial y'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{y}}{\partial z'}=\mu_{0}\bigl[\gamma\left(j_{x}\boldsymbol{-}\upsilon \rho \right) \bigr]\boldsymbol{+}\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial E'_{x}}{\partial t'} \tag{23a} \end{equation}$$ Reemplazo en (07b) $$\begin{align} &\dfrac{\partial \overbrace{B'_{x}}^{B_{x}}}{\partial z'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{z} \boldsymbol{+}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{y}\Bigr)\right]}^{B_{z}}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{z} \boldsymbol{+}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{y}\Bigr)\right]}^{B_{z}}}{\partial t'} = \vphantom{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} \nonumber\\ & \mu_{0}j_{y}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma \upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{y} \boldsymbol{+}\upsilon B'_{z}\right)\right]}^{E_{y}}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{y} \boldsymbol{+}\upsilon B'_{z}\right)\right]}^{E_{y}}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} =\!=\!=\!\Longrightarrow \nonumber\\ &\dfrac{\partial B'_{x}}{\partial z'}\boldsymbol{-}\gamma^{2}\left(1\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)\dfrac{\partial B'_{z}}{\partial x'}= \mu_{0}j_{y}\boldsymbol{+}\gamma^{2}\left(1\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial E'_{y}}{\partial t'} \nonumber \end{align}$$ entonces $$\begin{equation} \dfrac{\partial B'_{x}}{\partial z'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B_{z'}}{\partial x'} =\mu_{0}j_{y} \boldsymbol{+}\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial E'_{y}}{\partial t'} \tag{23b} \end{equation}$$ Reemplazo en (07c) $$\begin{align} & \gamma\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{y}\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{z}\Bigr)\right]}^{B_{y}}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\gamma\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma\Bigl(B'_{y}\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E'_{z}\Bigr)\right]}^{B_{y}}}{\partial t'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial \overbrace{B'_{x}}^{B_{x}}}{\partial y'} = \nonumber\\ & \mu_{0}j_{z}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma \upsilon}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{z} \boldsymbol{-}\upsilon B'_{y}\right)\right]}^{E_{z}}}{\partial x'}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma}{c^{2}}\dfrac{\partial \overbrace{\left[\gamma \left(E'_{z} \boldsymbol{-}\upsilon B'_{y}\right)\right]}^{E_{z}}}{\partial t'}\vphantom{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}} =\!=\!=\!\Longrightarrow \nonumber\\ &\gamma^{2}\left(1\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)\dfrac{\partial B'_{y}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{x}}{\partial y'}= \mu_{0}j_{z}\boldsymbol{+}\gamma^{2}\left(1\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial E'_{z}}{\partial t'} \nonumber \end{align}$$ entonces $$\begin{equation} \dfrac{\partial B'_{y}}{\partial x'}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial B'_{x}}{\partial y'} = \mu_{0}j_{z} \boldsymbol{+}\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial E'_{z}}{\partial t'} \tag{23c} \end{equation}$$ Si más allá de las definiciones (16), (17) y (18) definimos también $$\begin{align} j'_{x} & = \gamma\left(j_{x}\boldsymbol{-}\upsilon \rho \right) \tag{24a}\\ j'_{y} & = j_{y} \tag{24b}\\ j'_{z} & = j_{z} \tag{24c} \end{align}$$ entonces las ecuaciones (23a), (23b) y (23c) son una prueba de que los vectores primados $\:\mathbf{E'},\mathbf{B'},\mathbf{j'}\:$definidos por (16), (17) y (24) satisfacen la versión cebada de la ecuación de Maxwell (01b) $$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla'} \boldsymbol{\times} \mathbf{B'} = \mu_{0}\mathbf{j'}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \mathbf{E'}}{\partial t'} \tag{25} \end{equation}$$}

$\color{blue}{\textbf{ANSWER A}}\:$ (basado en la invariancia de carga, párrafo extraído de Landau)

La respuesta se da en el comentario de ACuriousMind como también lo señaló WetSavannaAnimal, también conocido como Rod Vance. Simplemente doy los detalles copiando de "The Classical Theory of Fields" , LDLandau y EMLifshitz, cuarta edición revisada en inglés:

$\boldsymbol{\S}\: \textbf{28. The four-dimensional current vector}$

En lugar de tratar las cargas como puntos, por conveniencia matemática con frecuencia consideramos que están distribuidas continuamente en el espacio. Entonces podemos introducir la "densidad de carga"$\:\varrho\:$ tal que $\:\varrho dV\:$ es la carga contenida en el volumen $\: dV$. La densidad$\:\varrho\:$es en general una función de las coordenadas y el tiempo. La integral de$\:\varrho\:$ sobre un cierto volumen está la carga contenida en ese volumen .......

....... La carga de una partícula es, por su propia definición, una cantidad invariante, es decir, no depende de la elección del sistema de referencia. Por otro lado, la densidad$\:\varrho\:$ generalmente no es invariante, solo el producto $\:\varrho dV\:$ es invariante.

Multiplicando la igualdad $\:de=\varrho dV\:$ en ambos lados con $\:dx^{i}\:$:

$$\begin{equation} de\,dx^{i}=\varrho dVdx^{i}=\varrho dVdt\dfrac{dx^{i}}{dt} \nonumber \end{equation}$$ A la izquierda se encuentra un cuatro vector (desde $\:de\:$ es un escalar y $\:dx^{i}\:$es un cuatro-vector). Esto significa que el lado derecho debe ser un cuatro vector. Pero $\: dVdt\:$es un escalar ⁽¹⁾ , por lo que $\:\varrho dx^{i}/dt\:$ es un cuatro-vector Este vector (lo denotamos por $\:j^{i}$) se llama el cuatro-vector actual : $$\begin{equation} j^{i}=\varrho \dfrac{dx^{i}}{dt}. \tag{28.2} \end{equation}$$

Los componentes espaciales de este vector forman el vector de densidad de corriente ,

$$\begin{equation} \mathbf{j}=\varrho \mathbf{v}, \tag{28.3} \end{equation}$$
dónde $\:\mathbf{v}\:$es la velocidad de la carga en el punto dado. El componente de tiempo del cuatro vector (28.2) es $\:c\varrho$. Así $$\begin{equation} j^{i}=\left(c\varrho ,\mathbf{j}\right) \tag{28.4} \end{equation}$$

---

^{(1) Nota de Frobenius: Tenemos}

$$\begin{equation} dVd(ct)=dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4} \tag{01} \end{equation}$$ Ahora, para la relación entre los 4 volúmenes infinitesimales en el espacio de Minkowski $$\begin{equation} dx'^{1}dx'^{2}dx'^{3}dx'^{4} =\begin{vmatrix} \dfrac{\partial x'_{1}}{\partial x_{1}}& \dfrac{\partial x'_{1}}{\partial x_{2}}&\dfrac{\partial x'_{1}}{\partial x_{3}}&\dfrac{\partial x'_{1}}{\partial x_{4}}\\ \dfrac{\partial x'_{2}}{\partial x_{1}}& \dfrac{\partial x'_{2}}{\partial x_{2}}&\dfrac{\partial x'_{2}}{\partial x_{3}}&\dfrac{\partial x'_{2}}{\partial x_{4}}\\ \dfrac{\partial x'_{3}}{\partial x_{1}}& \dfrac{\partial x'_{3}}{\partial x_{2}}&\dfrac{\partial x'_{3}}{\partial x_{3}}&\dfrac{\partial x'_{3}}{\partial x_{4}}\\ \dfrac{\partial x'_{4}}{\partial x_{1}}& \dfrac{\partial x'_{4}}{\partial x_{2}}&\dfrac{\partial x'_{4}}{\partial x_{3}}&\dfrac{\partial x'_{4}}{\partial x_{4}} \end{vmatrix} dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4}=\left\vert\dfrac{\partial\left(x'^{1},x'^{2},x'^{3},x'^{4}\right)}{\partial\left(x^{1},x^{2},x^{3},x^{4}\right)}\right\vert dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4} \tag{02} \end{equation}$$ dónde $\:\left\vert\partial\left(x'^{1},x'^{2},x'^{3},x'^{4}\right)/\partial\left(x^{1},x^{2},x^{3},x^{4}\right)\right\vert\:$el jacobiano, que es determinante de la matriz de Jacobi. Pero la matriz de Jacobi es la matriz de Lorentz $\:\Lambda\:$ con $\:\det(\Lambda)=+1$, es decir $$\begin{equation} \left\vert\dfrac{\partial\left(x'^{1},x'^{2},x'^{3},x'^{4}\right)}{\partial\left(x^{1},x^{2},x^{3},x^{4}\right)}\right\vert=\det(\Lambda)=+1 \tag{03} \end{equation}$$ entonces $$\begin{equation} dx'^{1}dx'^{2}dx'^{3}dx'^{4} =dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4}=\text{scalar invariant} \tag{04} \end{equation}$$

Creo que el punto de partida de esto es ver cómo $j^\mu$se define. En ausencia de cargas, la acción EM viene dada por

$$S= \int d^4 x F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}$$

donde $F_{\mu \nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$que proviene de la invariancia de calibre. La ecuación de movimiento es

$$\partial_\mu F^{\mu \nu} =0$$

e introducir cargas significa que por la covarianza de Lorentz la única posibilidad es

$$\partial_\mu F^{\mu \nu} = j^\nu$$

Entonces, escribir todo explícitamente en términos de campos electromagnéticos, cargas y corrientes daría la relación deseada. Creo que una ambigüedad estaría en $A_\mu = ( \pm \Phi,\vec A)$y se tendría que hacer una elección y como el Lagrangiano tiene $A_\mu j^\mu$. Aquí uno tendría que invocar alguna idea física como Prahar mencionada anteriormente.

Densidad de carga $\rho$y densidad de corriente $\mathbf j$obedecer las ecuaciones de Maxwell en todos los marcos inerciales. Esto significa que en cada cuadro inercial, la densidad de corriente 4-tupla obedece a la misma relación; en el marco original, tenemos

$$(c\rho,\mathbf j) = (c\epsilon_0\nabla\cdot \mathbf E,\nabla\times\mathbf B/\mu_0 - \epsilon_0\partial_t \mathbf E).$$ y en la trama cebada que se mueve con respecto a la primera trama, tenemos $$(c\rho',\mathbf j') = (c\epsilon_0\nabla'\cdot \mathbf E',\nabla'\times\mathbf B'/\mu_0 - \epsilon_0\partial_t' \mathbf E').$$

Podemos expresar los campos $\mathbf E',\mathbf B'$operaciones $\partial_t',\nabla'$en el lado derecho con f $\mathbf E,\mathbf B$y operaciones $\partial_t,\nabla$, usando las fórmulas de transformación para los campos $\mathbf E,\mathbf B$ en la teoría relativista$^*$. Una vez hecho esto, se puede inferir que la tupla de 4 se transforma en un vector de cuatro. Este método de prueba es tedioso pero bastante convincente.

$^*$Los que se siguen de la transformación relativista general de la fuerza 3 en la mecánica relativista; vea la respuesta de Frobenius, fórmula 11, aquí:

https://physics.stackexchange.com/a/411129/31895

o el artículo https://arxiv.org/abs/physics/0507099 . Cuando se aplica a la fórmula de Lorentz, que define el campo eléctrico y magnético en cada marco de inercia:

$$\mathbf F =q\mathbf E + q\mathbf v\times\mathbf B.$$ podemos derivar fórmulas de transformación para los campos.

Manera más fácil (pero menos convincente) de demostrar $j$es un cuatro-vector: las ecuaciones de Maxwell implican que

$$j^\mu = \partial_\nu F^{\nu\mu}.$$ Porque $F^{\nu\mu}$ es un tensor de cuatro $^{**}$, la expresión $\partial_\nu F^{\nu\mu}$ define un tensor de cuatro.

$^{**}$Esto se sigue de la definición de $F$- tensor antisimétrico cuyos componentes se forman a partir de componentes del campo eléctrico y magnético - y las fórmulas de transformación para esos campos mencionados anteriormente. Alternativamente, si aceptamos que existe una ecuación universal de movimiento de una partícula de prueba en el campo EM para cada cuadro y cada cuatro velocidades

$$qF^{\nu\mu}u_\mu = m\,du^\nu/d\tau$$ parece que $F$debe ser un tensor de cuatro. Todo lo que no sea $F$las cantidades se transforman como cuatro tensores ( $q,m,\tau$son invariantes, $u$es un 4-vector por definición), entonces $F^{\nu\mu}u_\mu$es un tensor de cuatro. Entonces, es plausible que $F$ en esta expresión también hay un tensor de cuatro (esta es la parte problemática: ¿cómo asegurarse de que F debe ser tensor aquí?).

En lugar de acercarse desde los campos ( $F^{\mu\nu}$, $A^\mu$, etc.), se puede sugerir un enfoque más directo, partiendo de la materia.

De hecho, la densidad de carga $\rho (t, x^i )$y la densidad de corriente $J^i (t, x^i )$para una carga puntual $q$una carga que se mueve con velocidad $V^i (t) = \frac{d}{dt} w^i (t)$ es

$$\rho (t, x^i) = q \delta^{(3)}(x^i - w^i(t))$$ $$J^i (t,x^i) = q V^i (t) \delta^{(3)}(x^i - w^i(t))$$

y podemos combinar estos y escribir como

$$J^\mu (t, x^i) = q \left( 1, V^i (t) \right) \delta^{(3)}(x^i - w^i(t)),$$

donde $\mu = 0, \ 1, \ 2, \ 3$y $i = 1, \ 2,\ 3$.

Ahora, observe que, si reparametrizamos la posición espacio-temporal de la partícula en el tiempo adecuado ( $t = t(\tau) := w^0 (\tau)$y $w^i = w^i(\tau)$),

$$J^\mu (x^\mu) = q \int d \tau \ u^\mu (\tau) \delta^{(4)}(x^\mu - w^\mu(\tau)) \cdots (\ast)$$

$$\left( \delta^{(4)}(x^\mu - w^\mu(\tau)) = \delta(t - w^0(\tau) ) \delta^{(3)}(x^i - w^i(\tau)) \right),$$

donde $\tau$y $u^\mu = \frac{d}{d\tau} w^\mu = \frac{dt}{d\tau} ( 1, V^i )$ son el tiempo apropiado y la velocidad 4 de la carga puntual, respectivamente.

(Esta ecuación se introduce no solo en los textos de relatividad, sino también en los libros sobre electromagnetismo (Jackson, capítulo 12, por ejemplo)).

Tenga en cuenta que a partir de esta expresión, obviamente podemos ver que $J^\mu$se transforma como $u^\mu$que es una cantidad contravariante ( $u^\mu = dx^\mu/d\tau$y $dx^\mu$es por definición contravariante y $d\tau$es invariante de Lorentz). Esta puede ser la respuesta a tu pregunta. Físicamente (o geométricamente), ecuación $(\ast)$proporciona una imagen de "la distribución de carga y corriente para una partícula cargada como una superposición de cargas que momentáneamente aparecen y luego desaparecen". (Misner, Thorne, Wheeler: 120-121) 4-corriente es solo un flujo de "existencia electromagnética", por lo que es plausible que $J^\mu$sigue las propiedades de transformación de $u^\mu$.

Para distribuciones continuas, simplemente descartamos la integral y la función delta en la ecuación $(\ast)$ y "continuar-izar":

$$J^\mu = \varrho u^\mu ,$$

donde $\varrho$es la densidad de carga invariante de Lorentz (" q continuo$q$") -la densidad de carga vista como en el marco de reposo (momentáneamente en movimiento).

Entonces, evidentemente, $J^\mu$es solo un múltiplo de $u^\mu$, que es una cantidad contravariante. Por lo tanto, $J^\mu$es contravariante, es decir, "se transforma como $dx^\mu$ bajo la transformación de Lorentz ".

Puedes hacerte cargo de la conservación como punto de partida. Esto se puede escribir como:

$$\frac{\partial\rho}{\partial t} = \partial_{i} j^i = \nabla\cdot \vec{J}$$

Dado que este es un hecho experimental, es un buen punto de partida. La ecuación anterior ahora se puede reescribir en una formulación "más" covariante como:

$$\partial_\mu j^\mu = 0$$

De esta ecuación se puede deducir claramente que $j^\mu$debe transformarse como $x^\mu$.