¿Por qué la presión actúa como fuente del campo gravitatorio?

Las ecuaciones de la relatividad general de Einstein dicen que

El lado izquierdo es el tensor de Einstein y el lado derecho es proporcional al tensor de energía de tensión. Para velocidades bajas, el componente dominante de la ecuación es el$\mu\nu=00$componente (tiempo-tiempo), y efectivamente se reduce a$\Delta \phi_{grav}=4\pi G\rho$, la ecuación de Poisson para la gravedad de Newton, que implica toda la ley de la inversa del cuadrado de la distancia, y así sucesivamente.

Sin embargo, en relatividad, la energía es solo 1 componente de un vector de 4, el vector de energía-momento, y la densidad de cualquier cosa es solo uno (el tiempo) de 4 componentes de un vector que también incluye el flujo como el 3 componentes espaciales.

En particular, la densidad de masa o energía$\rho$se convierte en el componente$T_{00}$de un tensor simétrico completo que tiene$4\times 3/2\times 1$componentes (en cuatro dimensiones). La relatividad implica que todos ellos son igualmente importantes porque pueden transformarse entre sí mediante las transformaciones de Lorentz.

En particular, la presión aparece como los componentes doblemente espaciales del tensor tensión-energía. Típicamente,$T_{xx}=T_{yy}=T_{zz}=p$, la presión. Para los sólidos, esta presión es la razón por la cual el tensor contiene la palabra "esfuerzo": el estrés es un tipo de presión. Para todos los materiales, puede imaginar que la presión es el flujo del$p_x$componente de la cantidad de movimiento en el$x$-dirección - es por eso que un gas o líquido empujará una pared detrás de él. En relatividad, todos estos componentes del tensor tensión-energía tienen que contribuir a los componentes correspondientes del tensor de Einstein (la curvatura).

Ahora puedo volver al término constante cosmológica. Es efectivamente lo mismo que un tensor de energía de estrés con$p=-\rho$, una presión negativa: podrías ponerlo en el lado derecho. Tal forma de densidad de materia uniforme con una presión negativa deforma el espacio de Minkowski en un espacio de De Sitter que aún es "máximamente simétrico": el polvo sin presión no podría hacerlo.

Estoy convencido de que cualquier explicación válida, por cualitativa que sea, de por qué la presión curva el espacio-tiempo en la relatividad general tiene que reducirse a las ecuaciones de Einstein de un modo u otro.

Saludos LM

Parte del argumento se puede razonar sin usar ninguna relatividad general de "mano dura", pero es un largo camino.

Parte 1: Los objetos relativistas son "jalados hacia" las fuentes gravitacionales más de lo predicho por la mecánica newtoniana . La luz se tira el doble . Esto necesita relatividad general, ver aquí .

Parte 2 La presión resulta del intercambio de partículas en movimiento . En un gas ideal, las partículas en movimiento generan presión. En un sólido de líquido, es más complejo. Hay presión de degeneración y fuerzas atractivas que permiten que el objeto exista en tensión. Esto se debe al intercambio de fotones virtuales de energía negativa .

Un sistema bajo presión (como un gas caliente) contiene partículas en movimiento que tienen atracción gravitatoria "extra" a nuestra masa de prueba. Por el contrario, nuestra masa de prueba siente una atracción adicional por estas partículas. Aunque la energía cinética de las partículas contribuye a la masa total y, por lo tanto, a la gravedad, la presión crea una gravedad adicional más allá de la masa y la energía cinética solas .

Un ejemplo : considere un espejo esférico hueco delgado lleno de fotones (nuevamente, estamos trabajando con una fuente de gravedad débil). Colocamos una masa de prueba (que no interactúa con la luz) justo dentro del espejo. Debido al teorema de la capa , solo necesitamos considerar la pequeña cantidad de masa/energía que está más cerca del centro de la esfera que nuestra masa de prueba. El cálculo newtoniano sería G(nuestra_masa)(energía_de_fotones)/r^2, pero la fuerza real es el doble de la debida a la presión. Si estamos fuera del espejo, se aplica de nuevo la fórmula newtoniana. Aunque hay presión adentro, hay tensión en las paredes del espejo, ¡en efecto es un globo inflado con fotones! Los términos de presión y tensión se anulan.Cuando estás fuera de un objeto esféricamente simétrico, solo importa la masa total y las presiones internas siempre se cancelarán .

Cuando la presión se debe a la compactación gravitacional, no puede escapar de la relatividad del núcleo duro si quiere tenerla en cuenta : en la Tierra, la contribución de la presión a la gravedad en el núcleo es solo 1e-9 de la contribución de la densidad (masa). Esta "diminuta" cantidad de presión no se anula con la tensión como en el caso de nuestro globo de espejo. Sin embargo, para entender por qué se cancela, necesitaríamos invocar la relatividad general en modo bestia completa porque los efectos relativistas también son 1e-9 tan fuertes como la gravedad newtoniana para la Tierra (no, no es una coincidencia que ambos sean 1e-9 ). La presión solo es importante, en comparación con la densidad, cuando P ~ (densidad) c ^ 2, y ese c ^ 2 hace que incluso las presiones del núcleo de la Tierra parezcan pequeñas.

La presión tiene la capacidad de realizar trabajo y cambiar la energía de un sistema. De la termodinámica:

Voy a dar un argumento en gran parte físico.

La contribución de la presión a la curvatura ocurre si el movimiento de las moléculas es relativista. Si tienes un gas con cierta presión, significa que las moléculas del gas se mueven rápidamente. El impulso de una molécula$p~=~\gamma mv$chocará contra una pared e impartirá algo de impulso a la pared. Dada un área$A~=~x^2$de una pared en una caja, si es lo suficientemente masiva, las moléculas rebotan con impulso$p’~=~-\gamma mv$. Para$N$moléculas impactando la pared en un tiempo$\delta t$esta es una transferencia de cantidad de movimiento neta$\delta p~=~2N\gamma mv$. Asumimos el$\delta t$es el tiempo que tarda cada átomo en viajar entre las paredes de la caja$\delta t~=~x/v$. De esta manera, dentro de ese intervalo de tiempo, casi todas las moléculas impactan contra las paredes. entonces hay una fuerza

Para cosmologías donde las galaxias se tratan como partículas, la presión generalmente se establece en cero. Para el interior de una estrella que colapsa, la presión se vuelve bastante grande y contribuye a la fuente del campo de gravedad.

En su libro 'Gravitación', los autores MTW proporcionan un ejercicio (5.4) titulado MASA INERCIAL POR UNIDAD DE VOLUMEN. Parece que la presión es una fuente de inercia (y por tanto de gravedad) debido a la transformación de Lorentz.