Derivación del tensor de estrés fluido relativista

Question

Derivación del tensor de estrés fluido relativista

Física
dinámica de fluidos
relatividad general
tensión-energía-momentum-tensor

Horus

En Wikipedia, la definición del tensor de tensión de fluido relativista viene dada por:

T_{m v} := ρ {tu}_{m} {tu}_{v} + pag h_{m v} + (q_{m} {tu}_{v} + q_{v} {tu}_{m}) + π_{m v}

$T_{\mu \nu} := \rho u_{\mu} u_{\nu} + p h_{\mu \nu} + (q_{\mu} u_{\nu} + q_{\nu} u_{\mu} ) + \pi_{\mu \nu}$

Dónde $h_{\mu\nu}$ es el tensor de proyección, $\rho$ es la densidad, $p$ es la presión, $q$ es el vector de flujo de calor y $\pi$ es el tensor de corte viscoso. Pero, ¿cómo se deriva esto?

kyle kanos

¿Puedes vincular la página relevante de Wikipedia? Los pocos que veo (por ejemplo, ver este y este ) no incluyen el

π

$\pi$ o el

q

$q$ términos.

usuario154997

¡Este es básicamente el ejercicio 22.7 de MTW!

Horus

@Kyle Kanos aquí está el enlace en.wikipedia.org/wiki/Fluid_solution

Respuestas (1)

Derivación del tensor de estrés fluido relativista

¿Puedes vincular la página relevante de Wikipedia? Los pocos que veo (por ejemplo, ver este y este ) no incluyen el $\pi$ o el $q$ términos.
@Kyle Kanos aquí está el enlace en.wikipedia.org/wiki/Fluid_solution

Erik Jorgenfelt · Answer 1

Esto es realmente solo una descomposición covariante del tensor de tensión-energía, con nombres apropiados. En particular, dado un campo vectorial temporal normalizado $u^\mu$ (con convención $u^\mu u_\mu = 1$ ), cualquier tensor $S_{\mu\nu}$ se puede descomponer como:

S_{m v} = S_{σ τ} {tu}^{σ} {tu}^{τ} {tu}_{m} {tu}_{v} \pm h_{m}^{σ} S_{σ τ} {tu}^{τ} {tu}_{v} \pm h_{v}^{τ} S_{σ τ} {tu}^{σ} {tu}_{m} + \frac{1}{3} T r (S) h_{m v} + Σ (S)_{m v} + Ω (S)_{m v},

$S_{\mu\nu} = S_{\sigma\tau}u^\sigma u^\tau u_\mu u_\nu \pm h_\mu{}^\sigma S_{\sigma\tau}u^\tau u_\nu \pm h_\nu{}^\tau S_{\sigma\tau}u^\sigma u_\mu + \frac{1}{3}\mathrm{Tr}(S)h_{\mu\nu} + \Sigma(S)_{\mu\nu} + \Omega(S)_{\mu\nu},$ donde el signo del segundo y tercer término depende de cómo se defina el tensor de proyección (

h_{μ ν} = g_{μ ν} - u_{μ} u_{ν}

$h_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} - u_\mu u_\nu$ rendimientos

+

$+$ mientras

h_{μ ν} = u_{μ} u_{ν} - g_{μ ν}

$h_{\mu\nu} = u_\mu u_\nu - g_{\mu\nu}$ rendimientos

-

$-$ ), y donde

\begin{aligned} T r (S) & = h^{m v} S_{m v}, \\ Σ (S)_{m v} & = h_{m}^{σ} h_{v}^{τ} S_{(σ τ)} - \frac{1}{3} T r (S) h_{m v}, \\ Ω (S)_{m v} & = h_{m}^{σ} h_{v}^{τ} S_{[σ τ]} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{Tr}(S) &= h^{\mu\nu}S_{\mu\nu}, \\ \Sigma(S)_{\mu\nu} &= h_\mu{}^{\sigma}h_\nu{}^\tau S_{(\sigma\tau)} - \frac{1}{3}\mathrm{Tr}(S)h_{\mu\nu}, \\ \Omega(S)_{\mu\nu} &= h_{\mu}{}^\sigma h_\nu{}^\tau S_{[\sigma\tau]}. \end{align}$ Arriba

S_{(μ ν)} = \frac{1}{2} (S_{μ ν} + S_{ν μ})

$S_{(\mu\nu)} = \frac{1}{2}(S_{\mu\nu} + S_{\nu\mu})$ y

S_{[μ ν]} = \frac{1}{2} (S_{μ ν} - S_{ν μ})

$S_{[\mu\nu]} = \frac{1}{2}(S_{\mu\nu} - S_{\nu\mu})$ . Como el tensor tensión-energía es simétrico,

T_{μ ν} = T_{(μ ν)}

$T_{\mu\nu} = T_{(\mu\nu)}$ , tenemos

Ω (T) = 0

$\Omega(T) = 0$ , y

h_{m}^{σ} T_{σ τ} {tu}^{τ} = h_{m}^{τ} T_{σ τ} {tu}^{σ} \equiv \pm q_{m} .

$h_\mu{}^\sigma T_{\sigma\tau}u^\tau = h_{\mu}{}^{\tau}T_{\sigma\tau}u^{\sigma} \equiv \pm q_\mu.$ Dejando

π_{μ ν} \equiv Σ (T)_{μ ν}

$\pi_{\mu\nu} \equiv \Sigma(T)_{\mu\nu}$ ,

p \equiv \mp \frac{1}{3} T r (T)

$p \equiv \mp\frac{1}{3}\mathrm{Tr}(T)$ , y

ρ \equiv T_{σ τ} u^{σ} u^{τ}

$\rho \equiv T_{\sigma\tau}u^\sigma u^\tau$ , obtenemos la expresión deseada (debe haber un error en sus términos que involucran

q

$q$ ).

La interpretación de $\rho$ como densidad de energía, $p$ como presión, $q_\mu$ como vector de calor (o equivalentemente como densidad de momento), y $\pi_{\mu\nu}$ como tensor de corte viscoso (tensión anisotrópica) se sigue de la definición del tensor de tensión-energía, es decir, definiendo

\begin{aligned} T^{m v} & = flujo de la {mi}_{m} -componente de 4-momentum a lo largo {mi}_{v} . \end{aligned}

$\begin{align} T^{\mu\nu} &= \text{flux of the $\mathbf{e}_ \mu$-component of 4-momentum along $\mathbf{e}_\nu$}. \end{align}$

Editar: si en su lugar usa la llamada convención de signos espaciales, $u^\mu u_\mu = -1$ , entonces $h_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} + u_\mu u_\nu$ y el signo en los términos segundo y tercero se convierte en $-$ , mientras $p \equiv \frac{1}{3}\mathrm{Tr}(T)$ , y definimos

h_{m}^{σ} T_{σ τ} {tu}^{τ} = h_{m}^{τ} T_{σ τ} {tu}^{σ} \equiv - q_{m} .

$h_\mu{}^\sigma T_{\sigma\tau}u^\tau = h_{\mu}{}^{\tau}T_{\sigma\tau}u^{\sigma} \equiv -q_\mu.$

Si efectivamente hay un error en q gracias. Sin embargo, la página wiki da el tensor de proyección como $h_{\mu \nu} = g_{\mu \nu} + u_{\mu} u_{\nu}$
@Horus Eso sería porque usan una convención de signos diferente, tomando $u^\mu u_\mu = -1$ .
Por cierto, ¿podría proporcionar un enlace para obtener más información sobre esta descomposición? He intentado encontrarlo yo mismo, pero parece que no puedo encontrarlo.
@Horus Me temo que no. Los lugares en los que lo he visto usado no tienden a explicarlo. ¿Hay algo que no te quede claro?
No hay nada que no esté claro excepto que no sé por qué la descomposición se hizo de esa manera. Por ejemplo, algunos harían una descomposición basada en propiedades simétricas y antisimétricas y partes sin rastro como la descomposición de Ricci. Simplemente no entiendo por qué funciona esta descomposición. Tengo entendido que divide el tensor de tensión en componentes ortogonales y perpendiculares a lo largo de los cuatro vectores, pero todavía estoy tratando de encontrar los componentes ortogonales y perpendiculares en la descomposición y por qué es así.
@Horus Me atrevería a aventurar que la descomposición se realiza de esta manera porque separa los diferentes componentes físicos de manera significativa. La descomposición nos da el tensor de tensión-energía en términos de densidad de energía del observador, presión, flujo de calor y tensión anisotrópica. Por lo tanto, es fácil relacionarlo con modelos fluidos. Además, estas cantidades son observables (más o menos).

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