Diferencia matemática entre notas blancas y negras en un piano

Lo primero que debe comprender es que las notas no están definidas de manera única. Todo depende de la afinación que uses. Asumiré que estamos hablando de temperamento igual aquí. En temperamento igual, un medio paso es lo mismo que una relación de frecuencia de$\sqrt[12]{2}$; de esa manera, doce semitonos forman una octava. ¿Por qué doce?

Al final del día, lo que queremos de nuestras frecuencias musicales son buenas proporciones de pequeños números enteros. Por ejemplo, se supone que una quinta perfecta corresponde a una relación de frecuencia de$3 : 2$, o$1.5 : 1$, pero en temperamento igual no lo hace; en cambio, corresponde a una proporción de$2^{ \frac{7}{12} } : 1 \approx 1.498 : 1$. Como puede ver, esto no es un quinto; sin embargo, está bastante cerca.

De manera similar, se supone que un cuarto perfecto corresponde a una relación de frecuencia de$4 : 3$, o$1.333... : 1$, pero en igual temperamento corresponde a una proporción de$2^{ \frac{5}{12} } : 1 \approx 1.335 : 1$. Nuevamente, este no es un cuarto perfecto, pero está bastante cerca.

Etcétera. Lo que está pasando aquí es una coincidencia matemática enormemente conveniente: varias de las potencias de$\sqrt[12]{2}$resultan ser buenas aproximaciones a proporciones de números enteros pequeños, y hay suficientes para reproducir música occidental.

Así es como funciona esta coincidencia. Obtienes las teclas blancas de$C$utilizando (parte de) el círculo de quintas. Empezar con$C$y sube un quinto para conseguir$G$, entonces$D$, entonces$A$, entonces$E$, entonces$B$. Luego baja un quinto para obtener$F$. Estos son los "vecinos" de$C$en el círculo de quintas. Obtienes las teclas negras de aquí usando el resto del círculo de quintas. Después de haber subido una quinta perfecta "perfecta" doce veces, obtienes una relación de frecuencia de$3^{12} : 2^{12} \approx 129.7 : 1$. Esto pasa a estar bastante cerca de$2^7 : 1$, o siete octavas! Y si reemplazamos$3 : 2$por$2^{ \frac{7}{12} } : 1$, entonces obtenemos exactamente siete octavas. En otras palabras, la razón por la que puede darse el lujo de identificar estos intervalos es porque$3^{12}$resulta estar bastante cerca de$2^{19}$. Dicho de otra manera,

pasa a ser una buena aproximación racional, y esta es la base principal del temperamento igual. (La otra coincidencia principal aquí es que$\log_2 \frac{5}{4} \approx \frac{4}{12}$; esto es lo que nos permite exprimir las terceras mayores en temperamento igual también.)

Es un hecho fundamental de las matemáticas que$\log_2 3$es irracional, por lo que es imposible que cualquier tipo de temperamento igual tenga quintas perfectas "perfectas", independientemente de cuántas notas use. Sin embargo, puedes escribir buenas aproximaciones racionales observando la fracción continua de$\log_2 3$y escribir convergentes, y estos corresponderán a escalas de igual temperamento con más notas.

Por supuesto, puedes usar otros tipos de temperamento, como el temperamento bueno ; si te apegas a$12$notas (¡algo que no todo el mundo hace!), se verá obligado a hacer que algunos intervalos suenen mejor y algunos intervalos suenen peor. En particular, si no usa el mismo temperamento, las diferentes teclas suenan diferentes. Esta es una de las principales razones por las que muchos compositores occidentales compusieron en diferentes tonalidades; durante su tiempo, esto realmente marcó la diferencia. Como resultado, cuando está tocando ciertas piezas suficientemente antiguas, en realidad no las está tocando como deberían ser escuchadas: está usando la afinación incorrecta.

Editar: supongo que también es bueno decir algo sobre por qué nos preocupamos por las proporciones de frecuencia, que son proporciones de números enteros pequeños. Esto tiene que ver con la física del sonido, y no estoy particularmente bien informado aquí, pero esta es mi comprensión de la situación.

Probablemente sepas que el sonido es una onda. Más precisamente, el sonido es una onda longitudinal transportada por moléculas de aire. Podría pensar que existe una ecuación simple para el sonido creado por una sola nota, tal vez$\sin 2\pi f t$si el tono correspondiente tiene frecuencia$f$. En realidad, esto solo ocurre con los tonos que se producen electrónicamente; cualquier tono que produzcas en la naturaleza lleva consigo matices y tiene una serie de Fourier

donde los coeficientes$a_n, b_n$determinar el timbre del sonido; es por eso que diferentes instrumentos suenan diferentes incluso cuando tocan las mismas notas, y tiene que ver con la física de la vibración, que no entiendo muy bien. Así que cualquier tono que escuches en frecuencia$f$casi seguro que también tiene componentes en frecuencia$2f, 3f, 4f, ...$.

Si tocas dos notas de frecuencias$f, f'$juntos, entonces el sonido resultante corresponde a lo que obtienes cuando agregas su serie de Fourier. Ahora no es difícil ver que si$\frac{f}{f'}$es una proporción de números enteros pequeños, entonces muchos armónicos (pero no todos) coincidirán en frecuencia entre sí; el resultado suena una nota más compleja con ciertos matices. De lo contrario, obtendrá disonancia al escuchar ambos tipos de sobretonos simultáneamente y sus frecuencias serán similares, pero no lo suficientemente similares.

Editar: probablemente debería consultar "Música: una oferta matemática" de David Benson, el libro que Rahul Narain recomendó en los comentarios para conocer la historia completa. ¡Había muchas cosas que no sabía, y solo estoy en la introducción!

La primera respuesta es excelente, así que intentaré abordar la pregunta desde otro ángulo.

Primero, hay varias escalas diferentes, y diferentes culturas usan diferentes. Depende tanto de las matemáticas de los instrumentos como de factores culturales. Nuestra escala tiene una historia muy larga que se remonta a los antiguos griegos y Pitágoras en particular. Notaron (oyendo) que los instrumentos de cuerda podían producir notas diferentes ajustando la longitud de la cuerda, y que algunas combinaciones sonaban mejor.

Los griegos tenían mucho interés en las matemáticas y les parecía "correcto" buscar combinaciones "perfectas", lo que significa que deberían expresarse en términos de fracciones de números enteros pequeños. Se dieron cuenta de que si duplica o reduce a la mitad la longitud de la cuerda, obtiene la misma nota (el concepto de una octava); otras fracciones, como$2/3$,$3/4$, también produjo combinaciones "armónicas". Esa es también la razón por la que algunas combinaciones suenan mejor, como puede explicarse por la física. Cuando combina varias ondas sinusoidales, escucha varias notas diferentes que son el resultado de la interferencia entre las ondas originales. Algunas combinaciones suenan mejor mientras que otras producen lo que llamamos "disonancia".

Entonces, en teoría, puede comenzar desde una frecuencia (o nota) arbitraria y construir una escala de notas "armónicas" usando estas proporciones (estoy usando comillas porque el término armónico tiene un significado muy específico en la música, y estoy hablando en términos amplios e imprecisos). Las escalas mayor y menor de la música occidental se pueden derivar aproximadamente de este esquema. Ambas escalas (mayor y menor) tienen$7$notas Las teclas blancas del piano corresponden a la escala mayor, a partir de la nota Do.

Ahora, si obtienes la nota C y usas las fracciones "perfectas", obtendrás la escala mayor de C "verdadera". Y ahí es donde comienza la diversión.

Si toma cualquier nota en la escala de Do mayor, puede tratar esa nota como el comienzo de otra escala. Tome, por ejemplo, la quinta de C (es G) y construya una nueva escala mayor, ahora comenzando desde G en lugar de C. Obtendrá otras siete notas. Algunos de ellos también están en la escala de C; otros son muy parecidos, pero no exactamente iguales; y algunos caen en el medio de las notas en la escala de C.

Si repites este ejercicio con todas las notas, terminarás construyendo$12$diferentes escalas. El problema es que el intervalo no es regular y hay algunas imprecisiones. Necesitas volver a afinar el instrumento si quieres tener la escala perfecta.

El concepto de escala "cromática" (con$12$notas, igualmente espaciadas) fue inventado para resolver este "problema". La escala cromática es una aproximación matemática, lo suficientemente cercana para la MAYORÍA de las personas (pero no para todas). Las personas con oído "perfecto" pueden escuchar las imperfecciones. En la escala cromática, las notas están espaciadas uniformemente utilizando la raíz doceava de dos. Es una progresión geométrica que combina con buena precisión todas las escalas mayores y menores posibles. La invención de la escala cromática permite a los músicos tocar música en escalas arbitrarias sin volver a afinar el instrumento; solo necesita ajustar la escala "compensando" un número fijo de posiciones, o semitonos, desde la base de la escala original.

Considerándolo todo, eso es solo una convención y un poco de suerte. Las tonalidades blancas son un "accidente histórico", siendo las tonalidades de la escala mayor de Do. Las demás son necesarias para permitir la transposición. También tenga en cuenta que (1) las teclas deben tener un ancho mínimo para permitir un solo dedo, y (2) si no tuviera las teclas negras, la octava sería demasiado ancha para tocar con manos "normales". . Así que el esquema con algunas tonalidades intermedias es necesario de todos modos, y la escala cromática que usamos es al menos tan buena (o mejor) que cualquier otra escala posible.

Las respuestas dadas son bastante buenas desde un punto de vista musical, matemático y sociológico/histórico. Pero pasan por alto la razón fundamental por la que hay$12$notas en una escala occidental (o$5$notas en una pentatónica oriental, etc.), y por qué son esos particulares$12$notas (o$5$).

Qiaochu casi lo logra al señalar que nos gustan las notas que son simples proporciones de números enteros. ¿Pero por qué? La razón fundamental se deriva de la física de los primeros instrumentos comunes (flautas (incluida la voz humana) y cuerdas pulsadas) y de la física del tímpano en el oído.

Como señaló Qiaochu, el sonido no se compone de una sola frecuencia de onda sinusoidal, sino de la suma de muchas ondas sinusoidales. La "nota" que escuchamos es la frecuencia de la onda primaria (más fuerte) que proviene de estos instrumentos. Pero también existen frecuencias en esa onda, aunque en gran medida enmascaradas por la primaria. Estos se conocen informalmente como armónicos o sobretonos.

Los primeros armónicos de flautas y cuerdas pulsadas son similares y muy sencillos: si el primario se normaliza a la frecuencia$1$, entonces el segundo armónico más alto es típicamente$1/2$(una octava arriba), la tercera suele ser$1/3$(una octava y una quinta arriba), la cuarta suele ser$1/4$(dos octavas), la quinta suele ser$1/5$(dos octavas y una tercera mayor), y la sexta suele ser$1/6$(dos octavas y una quinta). Si la nota principal es C1, se traducen aproximadamente en C2, G3, C4, E4 y G4. Si los armónicos continúan de esta manera, y no siempre lo hacen, aparecen otras notas.

Esto es importante porque si quieres tocar DOS instrumentos juntos, te gustaría que sus armónicos coincidieran incluso si tocan notas diferentes. De lo contrario el exceso de armónicos suena mal al oído. En el peor de los casos, los armónicos muy cercanos, pero no completamente superpuestos, crean "ritmos", que parecen alternar períodos de tiempo fuertes y suaves, que son irritantes para escuchar y duros para el oído.

Para que los armónicos coincidan en varios instrumentos o incluso en notas sucesivas, debe elegir notas para que se reproduzcan donde sus armónicos se superponen fuertemente. Por ejemplo, esta es también la razón por la que la cuarta mayor es útil, aunque no suele aparecer al principio. Es porque si un instrumento está tocando C, si el otro instrumento está tocando una cuarta mayor pero una octava más baja , se superpondrán muy bien.

Creo que estas selecciones de notas (garantizando armónicos en armonía, por así decirlo) influyeron en la evolución de las elecciones de escala, especialmente la pentatónica, es decir, las notas negras, y la división de la octava en$12$piezas.

Uno de los primeros instrumentos que está totalmente fuera de control es la campana. Las campanas y los gongs se pueden afinar para tener una variedad de armónicos, pero los más comunes, las campanas de fundición, tienen un tercer armónico muy fuerte e inusual: tercero menor o mi bemol. Es tan fuerte e incongruente que suenan terribles, incluso perturbadores, cuando se tocan junto con cuerdas, flautas, voces, etc. De hecho, las piezas musicales enteras deben escribirse especialmente para carillones (instrumentos de campanas grandes) para garantizar una superposición adecuada. de armónicos. En general, esto significa que toda la pieza debe escribirse en acordes completamente disminuidos. Los acordes mayores suenan entre los peores debido al choque entre la tercera mayor en el acorde y la tercera menor proveniente del tercer armónico fuerte de la raíz.

La matemática de las relaciones de frecuencia aquí es el sonido (juego de palabras intencionado), pero no ayudan a explicar el diseño del piano con teclas blancas y negras.

Aquí está el imperativo histórico que condujo a este diseño para "Western Music".

Primero considere la tríada mayor: raíz + tercera + quinta notas de la "escala diatónica". Siguen la serie armónica: 1 - fundamental 2 - octava (duplicación de la frecuencia fundamental) 3 - quinta (triple de la fundamental - relación 3:2 con la octava) 4 - doble octava (4x) 5 - 10ª (doble octava de una tercera) 6 - octava quinta

Estas son notas que una longitud estática de tubería puede producir al soplar en ella: la corneta.

Las combinaciones de estas notas crean frecuencias que hacen que los coros suenen celestiales. Las frecuencias se alinean y se mezclan en vibraciones complejas puras que son la suma y las diferencias (sobretonos armónicos) de estas relaciones.

Los coros pueden sintonizarse dinámicamente para crear estas alineaciones de frecuencia que se perciben como perfectamente consonantes. La música occidental optimista se centra en los 3 acordes principales que se encuentran en la escala diatónica: 1+3+5 acorde principal fundamental - teclas blancas C - E - G 4+6+1 Cuarta cuerda - teclas blancas F - A - C 5+7+ 2 5to acorde - teclas enteras G - B - D

Los fundamentos de la música popular occidental son las secuencias de acordes 1 - 4 - 5. Aprende C, F y G en una guitarra y podrás tocar la mayor parte del clásico cancionero Country.

Ponga las notas de estos acordes en una escala y obtendrá esa fila de 7 teclas blancas: C - D - E - F - G - A - B (repita hasta que no pueda escucharlo).

Entonces, la escala occidental se basa en relaciones de frecuencia que hacen que las combinaciones de notas "suenen" en consonancia en su forma más pura... como los Cantos Gregorianos de la Iglesia Romana.

Entonces, se podría hacer un "teclado occidental" básico a partir de solo estas 7 notas repetidas en todo el espectro de frecuencia. Mire el diseño de una lira griega (un arpa) y eso es lo que encontrará. Una secuencia siguiendo la escala diatónica que suena agradable si solo rasgueas las cuerdas debido a la afinación de múltiplos pares (ajustados por octavas).

Bien... ahora agregar las teclas negras es un compromiso de afinar notas específicas para que pueda construir estos acordes 1+3+5 desde cualquier punto de inicio y así reproducir una canción ajustada hacia arriba o hacia abajo en cualquier punto de inicio. El piano nunca logrará esa visión sónica matemática de la "música de las esferas" que el coro autoajustable puede hacer un acorde matemáticamente perfecto en alineación, pero es el "teclado" para el compositor moderno... el efectivo "qwerty musical". que un compositor o un pianista comienza a visualizar las "formas" de los acordes como posiciones de las manos.

Con mucha práctica, un pianista puede previsualizar el sonido en términos de movimientos de los dedos y las manos, al igual que un mecanógrafo de toque sólido comienza a establecer palabras y oraciones como una secuencia de movimientos.

La adición de las teclas negras se denominó afinación "bien temperada" y Bach fue uno de los primeros compositores en crear cuerpos completos de composiciones que funcionaban a través de las teclas mayores y menores de las 12 escalas que notó inicialmente al inspeccionar el teclado.

Si observa otras culturas musicales, encontrará diferentes enfoques para estandarizar las relaciones de sonido que no se centran en los acordes 1 - 4 - 5. Esta música para un oído occidental culturalmente entrenado es de naturaleza menos predecible y esa falta de previsibilidad puede hacer que la música sea frustrante o emocionante... la música nos "habla" en términos de entradas sensoriales puras que pueden conmovernos, excitarnos, aburrirnos o confundirnos. .

Por lo tanto, el teclado del piano está diseñado para ser el sistema de entrega perfecto para que un individuo produzca el rango de complejidad que ha logrado la música occidental.

Los sintetizadores de teclado modernos ahora pueden producir la gama completa de la orquesta occidental en términos de "instrumentos" y espero que alguien cree uno que microajuste las notas según el contexto circundante... subiendo o bajando una nota ligeramente desde el compromiso "bien temperado" hasta el tono que hace que un acorde "suene" y produzca los sobretonos armónicos superiores que hacen que una gran orquesta sea verdaderamente "celestial".

Tal vez ya se ha hecho.

Las matemáticas en este hilo son asombrosas, pero no estoy seguro de que aborde la pregunta original sobre la "diferencia entre notas blancas y negras".

Las otras respuestas en este hilo proporcionan suficientes matemáticas para comprender que cada octava se puede dividir de forma más o menos natural en doce semitonos. La tradición de la música occidental evolucionó aún más para basarse en lo que se llama la "escala diatónica".

Una escala musical es una secuencia de tonos dentro de una octava; Las escalas se pueden definir por el número de semitonos entre cada nota sucesiva.

Por ejemplo, la escala de tonos enteros consiste enteramente en tonos enteros; tiene seis tonos distintos, cada uno de los cuales es dos semitonos más alto que el anterior. Así que podría representarlo con la cadena '222222', es decir, tome una nota, luego la nota 2 semitonos más alta, luego la nota 2 semitonos más alta, etc., hasta que el último "2" lo lleve a la nota una octava más arriba. donde empezaste.

La escala diatónica en la que se basa la música occidental también podría representarse con la cadena '2212221'.

Si comienza con una C en un teclado y va hacia arriba, verá que las teclas blancas se ajustan a ese patrón de semitonos. Por eso, generalmente, las teclas negras están en ese patrón particular.

Por supuesto, puede comenzar una escala en cualquier tono, no solo C. Es por eso que la "misma" escala diatónica en una clave diferente implicará un conjunto único de sostenidos y bemoles.

Ahora, la escala diatónica también se puede representar con '2212221' desplazado hacia la izquierda o hacia la derecha cualquier número de veces. Por ejemplo, '2122212', '1222122', etc. también son diatónicos; estos se llaman los "modos" de la escala diatónica. Cada modo diatónico se puede tocar solo con las teclas blancas del piano comenzando en un tono diferente.

2212221 se denomina modo jónico (esto también se denomina genéricamente escala mayor) y se puede tocar en las teclas blancas comenzando con C.

2122212 es el modo Dorian y se puede tocar en las teclas blancas comenzando con D.

1222122 es el modo frigio, comenzando en E.

2221221 es el modo Lydian, comenzando en F.

2212212 es el modo Mixolidio, comenzando en G.

2122122 es el modo eólico (la escala menor), que comienza en A.

1221222 es el (impresionante) modo Locrio, comenzando en B.

Cada modo tiene su propio "sonido" único, que (al menos en mi opinión) se deriva precisamente de la diferente ubicación de los semitonos dentro de cada escala.

Y, por supuesto, hay miles de escalas no diatónicas que no tienen nada que ver con la forma en que surgió el teclado moderno.

EDITAR para agregar una respuesta más corta y menos implícita: las teclas blancas solas se pueden usar para tocar el conjunto de escalas diatónicas enumeradas anteriormente; las teclas negras son "diferentes" porque son los tonos cromáticos restantes que no se usan en ese conjunto de escalas diatónicas.

Matemáticamente, ¿hay alguna diferencia entre las notas blancas y las negras, o hacemos la distinción solo por razones históricas?

No hay diferencia matemática entre las notas blancas y negras. Las notas adyacentes en los teclados de piano modernos suelen estar afinadas con una separación de 1/12 de octava. Quiaochu explica esto de la manera más completa, pero se reduce a que no hay diferencia.

No siempre hemos usado y no siempre usamos el mismo temperamento en los instrumentos de teclado, pero incluso entonces la diferencia entre las notas blancas y negras sería arbitraria.

La distinción es por razones históricas y culturales. Aquí hay una imagen genial que muestra el órgano de Nicholas Farber (1361), que usaba un diseño de 8 + 4 en lugar del diseño moderno de 7 + 5 que vemos hoy. http://en.wikipedia.org/wiki/Musical_keyboard#Size_and_historical_variation

Hay ejemplos de instrumentos en uso hoy en día que usan un teclado cromático sin diferenciación entre las notas "blancas" y "negras". Ver los instrumentos tipo acordeón Bayan y Bandoneón.

En el Conservatorio de Nueva Inglaterra, en el salón de clases donde dan una clase sobre cuartos de tono, mantienen dos pianos afinados con un cuarto de tono entre sí. En ese caso, se debe tocar un cuarto de tono cromático completo de 24 notas alternando notas en los dos pianos.

Este es solo el comienzo de este particular agujero de conejo.

Tenga en cuenta también que muchas culturas utilizan una escala pentatónica . Esto correspondería a tocar sólo las notas CDEGA. Como se explica en la respuesta de Qiaochu, queremos notas que estén en pequeños intervalos racionales y, en particular, notas que estén en pequeños intervalos racionales de la tónica. Exactamente qué conjunto de notas se elige varía de una cultura a otra, con música occidental que usa las 7 teclas blancas, pero muchas otras culturas solo usan las 5 pentatónicas.

Comience en F y suba una quinta (hasta C).

(En un teclado con octavas de 12 teclas, son 7 pasos). Repita ese proceso (a través del círculo de quintas). Presionarás todas las teclas blancas y luego todas las negras: F, C, G, D, A, E, B, F#, C#, G#, D#, A#. Ten en cuenta que estas teclas generalmente se representan con bemoles. ). Entonces resulta que si estás dividiendo tonos en 3 : 2 (quinto) o 4 : 3 (cuarto), el mínimo común múltiplo es doce. En la práctica, el 3 : 2 es lo suficientemente similar como para dar una especie de sensación de 'seguridad' o contenido. El 4 : 3 da una sensación un poco más afilada pero que se contrapone perfectamente a esta sensación de seguridad. Entonces, un cuarto + un quinto te dará una octava. Entonces, la razón por la que queremos las doce claves es porque estamos diciendo que queremos que la quinta (dominante) y la cuarta (subdominante) se unan y formen un todo.

Para agregar a este hilo, puede comprender por qué ciertas notas suenan bien/mal juntas mirando las fórmulas de suma trigonométrica/producto, por ejemplo:

cos(a) + cos(b) = 2 * cos(a - b) * cos(a + b)

Lo que esto significa es que cuando agregas dos tonos/frecuencias 'a' y 'b', es equivalente a tomar una onda de frecuencia 'a + b' y modular su amplitud con otra de frecuencia 'a - b'. La frecuencia 'a + b' será una vibración más rápida, y la frecuencia 'a - b' será una vibración más lenta.

Cuando las dos frecuencias originales están cerca (por ejemplo, A = 440 Hz y A# = 466 Hz), el componente 'a - b' se escuchará como un desagradable latido de baja frecuencia (aquí, 26 Hz).

Cuando las dos frecuencias originales son proporciones enteras entre sí (por ejemplo, 3/2, 4/3) como en los acordes, entonces las frecuencias resultantes 'a + b' y 'a - b' también serán proporciones enteras entre sí. La onda resultante será simple y suena armoniosa. Esta es la razón por la que las proporciones de números enteros de las notas son tan importantes en la música.

Es útil trazar sumas de senos gráficamente para ver esto en acción.

No soy músico, pero hasta donde yo sé, las ondas de audio se sienten solo entonces "redondas / sonoras", si se repiten más rápido que una frecuencia específica. Esa frecuencia es probablemente la de nuestras ondas cerebrales: estar despierto y en un estado de no meditación, eso es más rápido que 18 o más Hz; tampoco puedes temblar más rápido ni escuchar frecuencias más bajas que tus ondas cerebrales.

Las ondas de audio tienen una longitud de

(Qiaochu Yuan respondió más rápido que yo, mientras estaba hablando por teléfono. Parece ser más completo de lo que podría haber respondido. No tengo nada que agregar).

Muchas, muchas respuestas a esta ya, pero, en el marco de la afinación pitagórica, en realidad existe una clara distinción matemática entre las teclas negras y las teclas blancas que, creo, aún no se ha declarado explícitamente.

La división de la escala cromática en$7$notas naturales (teclas blancas en un piano) y$5$los accidentales (negro) me parecen un poco arbitrarios.

Aparentemente, las notas adyacentes en un piano (incluidas las blancas o las negras) siempre están separadas por un semitono. ¿Por qué la distinción, entonces?

En temperamento igual, la relación de las frecuencias de dos tonos separados por un semitono es$\sqrt[12]{2}$, no importa cuáles sean los tonos. Pero en otras afinaciones, la proporción no se puede mantener igual. En la afinación pitagórica, que trata de hacer quintas perfectas en la medida de lo posible, hay dos tipos diferentes de semitono, un semitono más ancho cuando el tono más alto es una tecla negra y un semitono más estrecho cuando el tono más alto es una tecla blanca. Por lo tanto, al menos en la afinación pitagórica, existe una clara distinción matemática entre teclas blancas y teclas negras.

Por supuesto, qué notas son teclas blancas y cuáles son teclas negras depende de qué nota se use para comenzar a construir la escala. Empezando desde$F$produce los nombres tradicionales para las claves.

Para ver cómo funciona esto, comience desde$F$y generar quintas ascendentes,

Encuentras que el semitono que termina en$F$, es decir, el intervalo entre$E$y$F$, es un semitono diatónico, mientras que el semitono que termina en$F\sharp$, es decir, el semitono entre$F$y$F\sharp$, es un semitono cromático. Los otros semitonos diatónicos terminan en$G$,$A$,$B$,$C$,$D$, y$E$, mientras que los otros semitonos cromáticos terminan en$G\sharp$,$A\sharp$,$C\sharp$, y$D\sharp$.

Algunas cosas a tener en cuenta:

1. Si comienza con una nota que no sea$F$, los semitonos diatónicos y cromáticos estarán situados de manera diferente, pero siempre terminará con siete diatónicos y cinco semitonos cromáticos, con los semitonos cromáticos apareciendo en un grupo de tres y un grupo de dos como en el diseño de teclado tradicional.
2. Se han ideado muchos sistemas de afinación que juegan con las definiciones de los semitonos o introducen otras nuevas. Sólo en el temperamento igual se borra por completo la distinción entre los dos semitonos.

Un detalle adicional: a partir de la octava, uno puede subdividir progresivamente intervalos más grandes en otros más pequeños agregando notas de la progresión de quintas. En la etapa inicial tienes la octava.

• $12$se agregan quintas, eliminando una coma pitagórica de cada semitono diatónico, produciendo así un$29$-escala de notas con$17$Comas pitagóricas ($23.5$centavos) y$12$intervalos de$66.8$centavos;
• $12$se agregan más quintas, eliminando una coma pitagórica de cada$66.8$intervalo de ciento, produciendo así un$41$-escala de notas con$29$Comas pitagóricas ($23.5$centavos) y$12$intervalos de$43.3$centavos;
• $12$se agregan quintos adicionales, eliminando una coma pitagórica de cada uno$43.3$intervalo de ciento, produciendo así un$53$-escala de notas con$41$Comas pitagóricas ($23.5$centavos) y$12$intervalos de$19.8$centavos

Obsérvese que en algunos pasos de este proceso los dos intervalos obtenidos son más iguales que en otros, y que aquellas escalas cuyos intervalos son casi iguales se aproximan muy bien a una escala de temperamento igual. Las longitudes de las escalas donde esto sucede coinciden con los denominadores de los convergentes de la expansión en fracción continua de$\log_2 3$, es decir, en$2$,$5$,$12$,$41$,$53$,$306$,$665$, etc. Se aprecia una mejora espectacular en la$665$-escala de notas, donde los dos intervalos son$1.85$centavos y$1.77$centavos En cambio, los intervalos en el$306$-la escala de notas está relativamente separada:$5.38$centavos y$3.62$centavos Desde esta perspectiva, la$12$-La escala de notas es notablemente buena.

Debo enfatizar que este es solo el comienzo mínimo de una discusión sobre los sistemas de sintonización. Es deseable acomodar proporciones de números enteros pequeños que no sean$\frac{3}{2}$como$\frac{5}{4}$(la tercera mayor) y$\frac{6}{5}$(la tercera menor), lo que requiere varios ajustes. También es deseable poder reproducir música en diferentes tonalidades, lo que obliga a otros compromisos. Muchos de estos problemas se discuten en las otras respuestas.

Solo para que vea que son posibles otras afinaciones y, por lo tanto, otros teclados:

http://www.kylegann.com/tuning.html

Otras respuestas hacen un buen trabajo al explicar la escala cromática de 12 notas. A partir de esos 12 tonos, si uno comienza a construir una serie de tonos comenzando en una sola nota y subiendo por el círculo de quintas, hay dos puntos de parada naturales donde tiene una escala de sonido completo que abarca las octavas y tiene un espacio relativamente igual. entre las notas sin espacios: cinco notas, lo que da intervalos de paso completo y de tercera menor; y siete notas, lo que da intervalos de paso completo y medio paso. Estas dos escalas (pentatónica y heptatónica) corresponden al espaciado de las teclas negras y blancas del teclado. Son imágenes especulares entre sí alrededor del círculo de quintas. Entonces, los dos colores de las notas no son "diferentes", sino más bien una división natural en dos escalas simétricas construidas en direcciones opuestas alrededor del círculo de quintas.

En el sistema de afinación estándar, Do es "privilegiado" porque es (esencialmente) la nota donde comenzamos a construir el círculo de quintas para crear estas dos escalas.

El "círculo de quintas" es un subproducto de la preferencia por las escalas diatónicas. Si diseña la escala cromática (12 tonos) sin el arreglo blanco y negro elevado, usaría la misma lógica para describir un "círculo de séptimas" (contando hasta semitonos de C a G).

Entonces, el arreglo tiene mucho sentido cuando se aplica a la mano humana. Necesitamos poder abarcar distancias interesantes con el intervalo de "octava" que sea muy útil para la mayoría de los pianistas como un requisito básico para cualquier persona mayor de 10-12 años. Algunos pianistas pueden abarcar décimas con relativa facilidad, pero son una minoría. La música para piano de Rachmaninoff está plagada de estos intervalos masivos pero musicalmente sonoros. Son la tercera mayor expandida al intervalo natural puro (separación de 10 teclas) de la serie de armónicos "clarín".

Puedo llegar a las décimas en las instancias de blanco a blanco, pero las de negro a blanco (Bb a D, por ejemplo) están más allá de mí. Y hacerlo de forma rápida y precisa es la marca del verdadero dominio del instrumento... es como ser capaz de clavar: la genética ayuda y ningún esfuerzo puede ayudar a un pianista de manos pequeñas.

Creo que en pocas palabras... la razón de la división de 12 se debe a una solución muy práctica para la música occidental, y el diseño de blanco y negro "evolucionó" a esta forma porque carecía de reingeniería.

No hay nada particularmente "matemágico" al respecto. En otras palabras... cuadrado dos: es una elección arbitraria.

Si está buscando algo que use 12 octavas divididas como una solución práctica y que esté diseñado para instalaciones, consulte el diseño del Russian Bayan (acordeón). Es bastante impresionante.

En cuanto a algo que está diseñado para la facilidad pero que no divide la octava en 12 partes, sus instrumentos de cuerda sin trastes comunes son buenos ejemplos.

Una vez más, todo lo que he dicho ha sido mencionado anteriormente. Solo tenga cuidado con los abiertamente "matemágicos", no dicen mucho sobre la música, sino que la ponen en una elegante camisa de fuerza.

Echa un vistazo a este artículo que trata sobre el 12-gon regular y la teoría musical. Le ayudará a responder esta pregunta, así como muchas otras similares.

Si solo tuviera una serie repetitiva de teclas en su piano, sería un poco difícil obtener visualmente algunos puntos de referencia. Creo que esta es la razón principal por la que

Estoy de acuerdo con la teoría de que la distinción entre las notas se usa como ayuda visual y puntos de referencia. Además de eso, estaba destinado a ser tratado como un instrumento que se eleva verticalmente como si fueras a subir una especie de escalera y esas alteraciones (en el caso de C, las notas negras) son los agarres para llegar al siguiente nivel. . Como nos referiríamos a ellos como notas principales. También hay otra razón por la que hay tantas notas. Casi todas las escalas son una variación de la escala mayor o modo eólico. Esta escala está diseñada para tener un cierto número de tonos y semitonos para darle la sensación de una escala mayor. Si hubiera demasiados tonos o demasiados semitonos no sería lo mismo porque producirá demasiada disonancia o invariablemente consonancia. Es por eso que existe una afinación estándar para pianos, es decir, A440. Si se cambiara el intervalo de vibración, no sería el mismo porque si las vibraciones no están sincronizadas, la resonancia se apagará por completo. Es por eso que solo puede haber un número limitado de notas en un piano y tener sentido para el oído humano. Son posibles otras afinaciones pero se logra el mismo efecto de que los intervalos se mantengan de manera estricta para mantener la armonía. Entonces, volviendo a su pregunta Matemáticamente, sí, hay una razón para ese orden específico de teclas blancas y teclas negras. La mayor parte de su relación trata con la teoría del modo de 12 notas y el círculo de quintas donde si fueras a expandir las notas en el piano formará un círculo perfecto en acordes disminuidos de Do como los puntos cardinales.

¡Un día haré un estudio serio de esto! hay verdad en todas estas respuestas, las notas blancas nos dan nuestro do-re-mi (escala mayor) comenzando en C, esta escala tiene una mezcla de tonos y semitonos, y dicta donde deben ir las notas negras y cuantas necesitamos . Volver a afinar el temperamento igual es un truco, y si tuviera que analizar un teclado afinado, no todos los semitonos están espaciados por igual. Otros intervalos también se ven comprometidos, por lo que una tercera mayor en una clave puede tener notas más separadas que una en una clave diferente. Los compositores han sido conscientes de esto durante mucho tiempo y conscientes de que la clave que seleccionan para una composición puede marcar una diferencia significativa en el "estado de ánimo" (es decir, después de haber seleccionado mayor o menor).

La música clásica india utiliza un sistema de escalas (ragas). Hay varios cientos de estos, y se adaptarán a estados de ánimo específicos, momentos del día, tipos de ocasiones, etc. Estas no son variaciones aleatorias de ninguna escala occidental y no tienen nada que ver con los teclados que usamos comúnmente.

Nuestro sistema de teclado es solo para teclados: es posible que un instrumento de cuerda no toque exactamente el mismo tono que un piano para una nota dada (a menos que sea una cuerda al aire), porque tenderá a usar algo más cercano a la escala pitagórica original.

PD ¡Soy un músico que trabaja con una licenciatura en matemáticas!

Si realmente quieres saberlo todo, deberías leer ' Sobre la sensación del tono ' de Helmholtz.

Una representación un tanto gráfica de lo que hablaba Carlos Ribeiro.

"Si toma cualquier nota en la escala de do mayor, puede tratar esa nota como el comienzo de otra escala. Tome, por ejemplo, la quinta de do (es sol) y construya una nueva escala mayor, comenzando desde sol en lugar de do. Obtendrás otras siete notas. Algunas de ellas también están en la escala de C; otras están muy cerca, pero no exactamente iguales; y algunas caen en el medio de las notas en la escala de C".

Tenga en cuenta el intervalo de semitono EF y BC en la escala C. Al intentar reproducir la misma escala empezando por D, nos encontramos con un problema. Alfabéticamente, la tercera nota debería ser un F, pero F es un semitono demasiado bajo para ese lugar. Para mantener la misma escala de sonido, necesitamos introducir una NUEVA nota, llamada F#.

• C - D - EF - G - A - BC (escala C)
• D - E - F#G - A - B - C#D (escala D)
• E - F#-G#A - B - C#- D#E (escala E)
• F - G - AA#- C - D - EF (escala F)
• etc.
  Tenga en cuenta que en la escritura musical real, A–A# se escribiría como A–Bb para que la línea 'A' del pentagrama no sea ambigua.