Encontrar información sobre los conceptos combinatorios (procedentes de la Teoría de la Música)

Question

Encontrar información sobre los conceptos combinatorios (procedentes de la Teoría de la Música)

Matemáticas
teoría musical
combinatoria
grupos cíclicos
Teoría de la información

Michael Seltenreich

En mi trabajo de doctorado en teoría musical sobre escalas, me he encontrado con ciertas clases de escalas musicales, que creo que podrían tener paralelos dentro de las matemáticas y espero que puedan ayudarme a aprender más sobre estas clases desde un punto de vista matemático (soy bastante ignorante en Matemáticas).

En mi obra represento balanzas como conjuntos en un collar de cardinalidad $12$ . Por lo tanto, los nudos del collar están marcados $0$ a través de $11$ .

A continuación se muestra el conjunto[0 2 5 7 10]

La estructura puede manifestarse en cualquiera de $12$ manifestaciones:

Descubrí (musicalmente) que ciertas porciones de una estructura pueden revelar las diferentes cantidades de información sobre su rotación.

Como puede ver arriba, la combinación [0 2]puede aparecer en 3 de las 12 rotaciones posibles de la escala, mientras que la combinación [0 4]solo puede aparecer en una rotación. Por lo tanto, con respecto al conjunto [0 2 5 7 10], [0 4]es un:

Combinación de diagnóstico

La escala en cuestión [0 2 5 7 10]tiene $7$ tales combinaciones diagnósticas:

[0 4]
[0 2 4]
[0 4 7] 
[0 4 9] 
[0 2 4 7]
[0 2 4 9] 
[0 4 7 9]

Como todas estas combinaciones contienen [0 4], digo que [0 4]es el:

Fragmento de identidad para ese conjunto.

Sin embargo, hay algunos conjuntos que, si bien tienen combinaciones de diagnóstico, no tienen un fragmento de identidad. Por ejemplo, el conjunto [0 1 2 3 5]tiene muchas combinaciones de diagnóstico (por ejemplo [0 1 5]y [0 2 3]), pero ningún fragmento es común a todos ellos. Entonces esto no tiene un fragmento de identidad.

Y, sin embargo, hay otra clase de conjuntos, conjuntos que tienen un Fragmento de Identidad (un fragmento que aparece en todas las combinaciones de diagnóstico), pero donde el Fragmento de Identidad en sí mismo no es un diagnóstico. Tal ejemplo es el conjunto [0 1 3 5 6 8 10]donde todas las combinaciones de diagnóstico contienen [0 6], pero [0 6]por sí mismo no es diagnóstico (tiene $2$ posibles manifestaciones).

Me pregunto si hay un trabajo bien establecido sobre conceptos similares dentro de las matemáticas:

una llamada combinación de diagnóstico
un llamado Fragmento de Identidad
Y los casos en los que el fragmento de identidad es y no es también una combinación de diagnóstico.

Mi instinto me dice que la combinatoria y/o la teoría de la información pueden ayudarme a profundizar en mi exploración de esas estructuras musicales. ¿Tengo razón?

José Arnaldo Bebita Dris

Además de la respuesta de Vezen, es posible que desee consultar la página de Wikipedia en Root of unity - The

n^{th}

$n^{\text{th}}$ las raíces de la unidad forman un grupo cíclico. y una prueba de este hecho de la página Wiki correspondiente .

Michael Seltenreich

Tanto la entrada de la wiki como la prueba están muy por encima de mi nivel de pago, pero pasaré algún tiempo con ellos. ¿Puedes decir en lenguaje sencillo cuál es el principio general de una "raíz enésima de la unidad"? mucha jerga, no lo sé, ¡pero súper curioso!

José Arnaldo Bebita Dris

¿Conoces el Teorema de De Moivre , @MichaelSeltenreich?

Michael Seltenreich

Ahora lo hago. Esto lo puedo seguir, pero esto es tan sofisticado como mi pobre comprensión matemática puede hacerlo.

José Arnaldo Bebita Dris

Entonces deja

z = x + y i

$z = x + yi$ ser un número complejo. (Es decir, deja

z \in C

$z \in \mathbb{C}$ .) Entonces

z

$z$ es un

n^{th}

$n^{\text{th}}$ raíz de la unidad si

z^{n} = 1

$z^n = 1$ . ¿Sigues?

Michael Seltenreich

¡ah! ¡Sí! Ok, esto ayuda, gracias

José Arnaldo Bebita Dris

Por ejemplo, ¿cuáles son las soluciones de

z^{2} = 1

$z^2 = 1$ ? Tenemos

z_{1} = x_{1} + y_{1} i = 1 = 1 + 0 \cdot i

$z_1 = x_1 + {y_1}i = 1 = 1 + 0\cdot{i}$ o

z_{2} = x_{2} + y_{2} i = - 1 = - 1 + 0 \cdot i

$z_2 = x_2 + {y_2}i = -1 = -1 + 0\cdot{i}$ . Al igualar las partes real e imaginaria, ¿puedes graficar los puntos

z_{1} = (x_{1}, y_{1})

$z_1 = (x_1, y_1)$ y

z_{2} = (x_{2}, y_{2})

$z_2 = (x_2, y_2)$ en el complejo (es decir

x

$x$ -

y

$y$ ) ¿avión? Además, ¿qué notas sobre la ubicación de los puntos

z_{1} = (x_{1}, y_{1})

$z_1 = (x_1, y_1)$ y

z_{2} = (x_{2}, y_{2})

$z_2 = (x_2, y_2)$ en relación con los demás? Por último, los puntos

z_{1} = (x_{1}, y_{1})

$z_1 = (x_1, y_1)$ y

z_{2} = (x_{2}, y_{2})

$z_2 = (x_2, y_2)$ satisfacer

z^{2} = 1

$z^2 = 1$ . Pero el módulo del número complejo

z = x + y i

$z = x + yi$ es

| z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ . Por eso...?

José Arnaldo Bebita Dris

Me alegro de haber podido ayudarte, @MichaelSeltenreich. =)

ricardo1941

Al consultarnos, corre el riesgo de alejarse de la comunidad musical. Esa primera escala pentatónica me dio tristeza... y requirió un overblow en el hoyo 6 para jugar.

Michael Seltenreich

Bastante justo, sin embargo, en realidad hay muchos artículos matemáticos sobre escalas musicales. Jack Douthett escribe mucho sobre este erudito.google.com/…

Respuestas (1)

Encontrar información sobre los conceptos combinatorios (procedentes de la Teoría de la Música)

Además de la respuesta de Vezen, es posible que desee consultar la página de Wikipedia en Root of unity - The $n^{\text{th}}$ las raíces de la unidad forman un grupo cíclico. y una prueba de este hecho de la página Wiki correspondiente .
Tanto la entrada de la wiki como la prueba están muy por encima de mi nivel de pago, pero pasaré algún tiempo con ellos. ¿Puedes decir en lenguaje sencillo cuál es el principio general de una "raíz enésima de la unidad"? mucha jerga, no lo sé, ¡pero súper curioso!
Ahora lo hago. Esto lo puedo seguir, pero esto es tan sofisticado como mi pobre comprensión matemática puede hacerlo.
Entonces deja $z = x + yi$ ser un número complejo. (Es decir, deja $z \in \mathbb{C}$ .) Entonces $z$ es un $n^{\text{th}}$ raíz de la unidad si $z^n = 1$ . ¿Sigues?
Por ejemplo, ¿cuáles son las soluciones de $z^2 = 1$ ? Tenemos $z_1 = x_1 + {y_1}i = 1 = 1 + 0\cdot{i}$ o $z_2 = x_2 + {y_2}i = -1 = -1 + 0\cdot{i}$ . Al igualar las partes real e imaginaria, ¿puedes graficar los puntos $z_1 = (x_1, y_1)$ y $z_2 = (x_2, y_2)$ en el complejo (es decir $x$ - $y$ ) ¿avión? Además, ¿qué notas sobre la ubicación de los puntos $z_1 = (x_1, y_1)$ y $z_2 = (x_2, y_2)$ en relación con los demás? Por último, los puntos $z_1 = (x_1, y_1)$ y $z_2 = (x_2, y_2)$ satisfacer $z^2 = 1$ . Pero el módulo del número complejo $z = x + yi$ es $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ . Por eso...?
Al consultarnos, corre el riesgo de alejarse de la comunidad musical. Esa primera escala pentatónica me dio tristeza... y requirió un overblow en el hoyo 6 para jugar.
Bastante justo, sin embargo, en realidad hay muchos artículos matemáticos sobre escalas musicales. Jack Douthett escribe mucho sobre este erudito.google.com/…

Vezen BU · Answer 1

Gracias por compartir interesante! Según tengo entendido, esto aparentemente está relacionado con el grupo cíclico ( https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_group ) que se enfoca en un solo punto, mientras que lo que le interesa involucra la combinación de puntos.

Me gustaría formular su problema de la siguiente manera: llamamos al conjunto $\Omega = \{0, 1,2,3,...,11\}$ el conjunto completo y cada subconjunto $N \subset \Omega$ representa un patrón . siempre ordenamos $N$ de modo que $N = \{0 \leq N_1 < N_2 < \ldots < N_{|N|} \leq 11\}$ .

Para la combinación de diagnóstico (DC), sea $DC(N)$ denota el conjunto de Combinaciones Diagnósticas de $N$ . Claramente, si $D$ es un CC de $N$ , entonces $(D + x)\mod 12$ es también un DC de $N$ , para cualquier $x$ .

Por lo tanto, WLOG, podemos suponer que cada elemento en $DC(N)$ contiene $0$ . Para el caso más simple, DC de dos elementos, primero calculamos todas las distancias por pares entre los puntos en $N$ cual es $(|N_j - N_i| \mod 12)_{i \neq j}$ . Después de eso, inmediatamente podemos tener CD para cada distancia única . (Debemos tener cuidado aquí, por ejemplo, para las distancias equivalentes $x$ y $12 - x$ . Simplemente tomamos la idea general primero.) Ahora siempre tomamos distancias más cercanas. Vea los ejemplos que ha mencionado primero.

(1) $N = \{0, 2,5,7,10\}$ . Las distancias por pares son

(2, 5, 5, 2, 3, 5, 4, 2, 5, 3),

$(2,5,5,2,3,5,4,2,5,3),$ dónde

4

$4$ es único. Por lo tanto,

{0, 4}

$\{0, 4\}$ es un CC de

N

$N$ .

(2) Generalizamos nuestra idea preliminar y comprobamos el ejemplo $N = \{0,1,2,3,5\}$ . Como mencionaste dos CD de tres elementos , verificaremos todas las distancias en forma de grupos irregulares.

$\{0,1,2\} \rightarrow (0, 1, 2)$
$\{0,1,3\} \rightarrow (0, 1, 3)$
$\{0,1,5\} \rightarrow (0, 1, 5)$
$\{0,2,3\} \rightarrow (0, 2, 3)$
$\{0,2,5\} \rightarrow (0, 2, 5)$
$\{0,3,5\} \rightarrow (0, 3, 5)$
$\{1,2,3\} \rightarrow (0, 1, 2)$
$\{1,2,5\} \rightarrow (0, 1, 4)$
$\{1,3,5\} \rightarrow (0, 2, 4)$
$\{2,3,5\} \rightarrow (0, 1, 3)$

Vemos que ambos $(0,1,5)$ y $(0,2,3)$ (y más) son únicos. Es por eso que ambos son DC.

(3) Para su último ejemplo $N = \{0, 1, 3, 5, 6, 8, 10\}$ , $(0, 6)$ en sí mismo es especial debido a las distancias equivalentes que hemos mencionado anteriormente en que $12 -6 = 6$ .

(4) En cuanto al Fragmento de Identidad (FI), nos gustaría responder primero a la pregunta: ¿qué tipo de $N$ ¿Tienes un SI? Matemáticamente, $N$ tiene un SI si $DC(N)$ tiene un conjunto mínimo que es un subconjunto de cada elemento en $DC(N)$ , es decir, la intersección de todos los DC también es un DC.

(*) También tenemos una idea similar Permutation Cycle ( https://mathworld.wolfram.com/PermutationCycle.html ). De manera similar, me gustaría llamar al término que nos interesa Ciclo Cíclico .

(**) En resumen, un DC es un conjunto de puntos que pueden coincidir perfectamente solo una vez cuando giras el collar en un círculo completo ( $12$ pasos). Por lo tanto, creo que los DC revelan simetría cíclica.

(***) También podemos ver el problema al revés. Arreglamos un conjunto de puntos. $D$ y estudiar qué tipo de $N$ 'afeitar $D$ como el DC o el IF.

(****) Desde $2^{12}$ es pequeño, traté de enumerar todos los casos posibles. En primer lugar me gustaría señalar que para $N = \{0, 2, 5, 7, 10\}$ La declaración del OP necesita ser aclarada. Específicamente, $\{0, 4\}$ no es un IF estrictamente ya que, por ejemplo, $\{0,2,5,10\}$ también es un DC de este $N$ , pero $\{0,2,5,10\}$ es cíclicamente equivalente a $\{0,2,4,7\}$ moviendose $10$ a $0$ . Según tengo entendido, la definición de IF del OP es la máxima $\tilde{D}$ tal que para cada CD, existe uno cíclicamente equivalente que contiene $\tilde{D}$ . Siguiendo esta idea, escribí el siguiente código.

from collections import defaultdict, Counter
from itertools import chain, combinations, cycle
from tqdm import tqdm
import numpy as np


def powerset(iterable):
    # https://stackoverflow.com/a/1482316/14709977
    "powerset([1,2,3]) --> () (1,) (2,) (3,) (1,2) (1,3) (2,3) (1,2,3)"
    s = list(iterable)
    return chain.from_iterable(combinations(s, r) for r in range(len(s) + 1))


N2subpatterns = defaultdict(list)
for N in tqdm(powerset(range(1, 12)), total=2 ** 11):  # we assume 0 is always in N
    N = np.append([0], N)
    for n in N:
        N_with_n_at_0 = (N - n) % 12
        for subp in powerset(np.setdiff1d(N_with_n_at_0, 0)):
            N2subpatterns[tuple(sorted(N.astype(int)))].append(tuple(np.append([0], sorted(subp)).astype(int)))

N2representative = dict()
representative2Ns = defaultdict(set)
# representative2Ns[N2representative[A]] is the equivalent class containing A
for N in tqdm(N2subpatterns):
    N_arr = np.array(N)
    repr_N = min([tuple(np.sort((N_arr - n) % 12)) for n in N_arr])
    N2representative[N] = repr_N
    representative2Ns[repr_N].add(N)

N2DCs = {N: [set(s) for s in subps if subps.count(s) == 1] for N, subps in N2subpatterns.items()}
for N, DCs in N2DCs.items():
    if not DCs:
        continue
    subps_of_DCs = []
    for DC in DCs:
        DC = tuple(sorted(DC))
        subps_DC = set.union(*[set(N2subpatterns[tuple(DC_eq)]) for DC_eq in representative2Ns[N2representative[DC]]])
        subps_of_DCs.append(subps_DC)
    IFs = set.intersection(*subps_of_DCs) - {(0,)}
    IFs = set(N2representative[IF] for IF in IFs)
    if len(IFs) == 1:
        IF = min(IFs)
        print(f'N = {N}')
        print(f'IF = {IF}')
        DC_reprs = set(N2representative[tuple(sorted(DC))] for DC in DCs)
        DC_eq_containing_IF = [tuple(sorted(DC)) for DC in DC_reprs if set(IF).issubset(set(DC))]
        print(f'DCs are {DC_eq_containing_IF}')
        print()

A continuación se muestran los resultados completos de todos $N$ con un IF (debido al límite de longitud, consulte https://docs.google.com/document/d/1XjAfKi6_hxUcu5QKdZIA2wi06u0s9z7JtkWk5mWlVPI/edit?usp=sharing ):

N = (0, 1, 2)
IF = (0, 2)
DCs are [{0, 2}, {0, 1, 2}]

N = (0, 1, 11)
IF = (0, 2)
DCs are [{0, 2}, {0, 1, 2}]

N = (0, 2, 4)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 4}, {0, 2, 4}]

N = (0, 2, 7)
IF = (0, 2)
DCs are [{0, 2}, {0, 2, 7}]

N = (0, 2, 10)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 4}, {0, 2, 4}]

N = (0, 5, 7)
IF = (0, 2)
DCs are [{0, 2}, {0, 2, 7}]

N = (0, 5, 10)
IF = (0, 2)
DCs are [{0, 2}, {0, 2, 7}]

N = (0, 8, 10)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 4}, {0, 2, 4}]

N = (0, 10, 11)
IF = (0, 2)
DCs are [{0, 2}, {0, 1, 2}]

N = (0, 1, 2, 3)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 3}, {0, 1, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}]

N = (0, 1, 2, 11)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 3}, {0, 1, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}]

N = (0, 1, 10, 11)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 3}, {0, 1, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}]

N = (0, 2, 5, 7)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 3}, {0, 3, 5}, {0, 10, 3}, {0, 10, 3, 5}]

N = (0, 2, 7, 9)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 3}, {0, 3, 5}, {0, 10, 3}, {0, 10, 3, 5}]

N = (0, 3, 5, 10)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 3}, {0, 3, 5}, {0, 10, 3}, {0, 10, 3, 5}]

N = (0, 5, 7, 10)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 3}, {0, 3, 5}, {0, 10, 3}, {0, 10, 3, 5}]

N = (0, 9, 10, 11)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 3}, {0, 1, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}]

N = (0, 1, 2, 3, 4)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 4}, {0, 1, 4}, {0, 2, 4}, {0, 3, 4}, {0, 1, 2, 4}, {0, 1, 3, 4}, {0, 2, 3, 4}, {0, 1, 2, 3, 4}]

N = (0, 1, 2, 3, 11)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 4}, {0, 1, 4}, {0, 2, 4}, {0, 3, 4}, {0, 1, 2, 4}, {0, 1, 3, 4}, {0, 2, 3, 4}, {0, 1, 2, 3, 4}]

N = (0, 1, 2, 10, 11)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 4}, {0, 1, 4}, {0, 2, 4}, {0, 3, 4}, {0, 1, 2, 4}, {0, 1, 3, 4}, {0, 2, 3, 4}, {0, 1, 2, 3, 4}]

N = (0, 1, 4, 5, 8)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 1, 4, 5}, {0, 1, 4, 5, 8}, {0, 3, 4}, {0, 4, 7}, {0, 11, 4}, {0, 3, 4, 7}, {0, 11, 4, 7}]

N = (0, 1, 4, 5, 9)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 1, 4}, {0, 4, 5}, {0, 9, 4}, {0, 1, 4, 5}, {0, 1, 4, 9}, {0, 9, 4, 5}, {0, 1, 4, 5, 9}]

N = (0, 1, 4, 8, 9)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 1, 4, 9}, {0, 1, 4, 8, 9}, {0, 9, 4, 5}, {0, 1, 4, 5}, {0, 3, 4}, {0, 4, 7}, {0, 11, 4}]

N = (0, 1, 5, 8, 9)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 11, 4, 7}, {0, 4, 7, 8, 11}, {0, 3, 4, 7}, {0, 1, 4}, {0, 4, 5}, {0, 9, 4}, {0, 1, 4, 5}]

N = (0, 1, 9, 10, 11)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 4}, {0, 1, 4}, {0, 2, 4}, {0, 3, 4}, {0, 1, 2, 4}, {0, 1, 3, 4}, {0, 2, 3, 4}, {0, 1, 2, 3, 4}]

N = (0, 2, 4, 7, 9)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 4}, {0, 2, 4}, {0, 4, 7}, {0, 9, 4}, {0, 2, 4, 7}, {0, 9, 2, 4}, {0, 9, 4, 7}, {0, 2, 4, 7, 9}]

N = (0, 2, 5, 7, 9)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 4}, {0, 2, 4}, {0, 4, 7}, {0, 9, 4}, {0, 2, 4, 7}, {0, 9, 2, 4}, {0, 9, 4, 7}, {0, 2, 4, 7, 9}]

N = (0, 2, 5, 7, 10)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 4}, {0, 2, 4}, {0, 4, 7}, {0, 9, 4}, {0, 2, 4, 7}, {0, 9, 2, 4}, {0, 9, 4, 7}, {0, 2, 4, 7, 9}]

N = (0, 3, 4, 7, 8)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 3, 4, 7}, {0, 3, 4, 7, 8}, {0, 1, 4}, {0, 4, 5}, {0, 9, 4}, {0, 1, 4, 5}, {0, 9, 4, 5}]

N = (0, 3, 4, 7, 11)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 3, 4}, {0, 4, 7}, {0, 11, 4}, {0, 3, 4, 7}, {0, 11, 3, 4}, {0, 11, 4, 7}, {0, 3, 4, 7, 11}]

N = (0, 3, 4, 8, 11)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 11, 3, 4}, {0, 3, 4, 8, 11}, {0, 11, 4, 7}, {0, 3, 4, 7}, {0, 1, 4}, {0, 4, 5}, {0, 9, 4}]

N = (0, 3, 5, 7, 10)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 4}, {0, 2, 4}, {0, 4, 7}, {0, 9, 4}, {0, 2, 4, 7}, {0, 9, 2, 4}, {0, 9, 4, 7}, {0, 2, 4, 7, 9}]

N = (0, 3, 5, 8, 10)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 4}, {0, 2, 4}, {0, 4, 7}, {0, 9, 4}, {0, 2, 4, 7}, {0, 9, 2, 4}, {0, 9, 4, 7}, {0, 2, 4, 7, 9}]

N = (0, 3, 7, 8, 11)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 9, 4, 5}, {0, 4, 5, 8, 9}, {0, 1, 4, 5}, {0, 3, 4}, {0, 4, 7}, {0, 11, 4}, {0, 3, 4, 7}]

N = (0, 4, 5, 8, 9)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 9, 4, 5}, {0, 4, 5, 8, 9}, {0, 1, 4, 5}, {0, 3, 4}, {0, 4, 7}, {0, 11, 4}, {0, 3, 4, 7}]

N = (0, 4, 7, 8, 11)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 11, 4, 7}, {0, 4, 7, 8, 11}, {0, 3, 4, 7}, {0, 1, 4}, {0, 4, 5}, {0, 9, 4}, {0, 1, 4, 5}]

N = (0, 8, 9, 10, 11)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 4}, {0, 1, 4}, {0, 2, 4}, {0, 3, 4}, {0, 1, 2, 4}, {0, 1, 3, 4}, {0, 2, 3, 4}, {0, 1, 2, 3, 4}]

N = (0, 1, 2, 3, 4, 5)
IF = (0, 5)
DCs are [{0, 5}, {0, 1, 5}, {0, 2, 5}, {0, 3, 5}, {0, 4, 5}, {0, 1, 2, 5}, {0, 1, 3, 5}, {0, 1, 4, 5}, {0, 2, 3, 5}, {0, 2, 4, 5}, {0, 3, 4, 5}, {0, 1, 2, 3, 5}, {0, 1, 2, 4, 5}, {0, 1, 3, 4, 5}, {0, 2, 3, 4, 5}, {0, 1, 2, 3, 4, 5}]

N = (0, 1, 2, 3, 4, 11)
IF = (0, 5)
DCs are [{0, 5}, {0, 1, 5}, {0, 2, 5}, {0, 3, 5}, {0, 4, 5}, {0, 1, 2, 5}, {0, 1, 3, 5}, {0, 1, 4, 5}, {0, 2, 3, 5}, {0, 2, 4, 5}, {0, 3, 4, 5}, {0, 1, 2, 3, 5}, {0, 1, 2, 4, 5}, {0, 1, 3, 4, 5}, {0, 2, 3, 4, 5}, {0, 1, 2, 3, 4, 5}]

N = (0, 1, 2, 3, 10, 11)
IF = (0, 5)
DCs are [{0, 5}, {0, 1, 5}, {0, 2, 5}, {0, 3, 5}, {0, 4, 5}, {0, 1, 2, 5}, {0, 1, 3, 5}, {0, 1, 4, 5}, {0, 2, 3, 5}, {0, 2, 4, 5}, {0, 3, 4, 5}, {0, 1, 2, 3, 5}, {0, 1, 2, 4, 5}, {0, 1, 3, 4, 5}, {0, 2, 3, 4, 5}, {0, 1, 2, 3, 4, 5}]

N = (0, 1, 2, 9, 10, 11)
IF = (0, 5)
DCs are [{0, 5}, {0, 1, 5}, {0, 2, 5}, {0, 3, 5}, {0, 4, 5}, {0, 1, 2, 5}, {0, 1, 3, 5}, {0, 1, 4, 5}, {0, 2, 3, 5}, {0, 2, 4, 5}, {0, 3, 4, 5}, {0, 1, 2, 3, 5}, {0, 1, 2, 4, 5}, {0, 1, 3, 4, 5}, {0, 2, 3, 4, 5}, {0, 1, 2, 3, 4, 5}]

N = (0, 1, 3, 4, 6, 9)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 1, 3, 4}, {0, 1, 3, 4, 6}, {0, 1, 3, 4, 9}, {0, 1, 3, 4, 6, 9}, {0, 2, 3}, {0, 3, 5}, {0, 8, 3}, {0, 11, 3}, {0, 2, 3, 5}, {0, 8, 2, 3}, {0, 8, 3, 5}, {0, 11, 3, 5}, {0, 8, 3, 11}, {0, 2, 3, 5, 8}, {0, 3, 5, 8, 11}]

N = (0, 1, 3, 4, 7, 10)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 1, 3}, {0, 3, 4}, {0, 3, 7}, {0, 10, 3}, {0, 1, 3, 4}, {0, 1, 3, 7}, {0, 1, 10, 3}, {0, 3, 4, 7}, {0, 10, 3, 4}, {0, 10, 3, 7}, {0, 1, 3, 4, 7}, {0, 1, 3, 4, 10}, {0, 1, 3, 7, 10}, {0, 3, 4, 7, 10}, {0, 1, 3, 4, 7, 10}]

N = (0, 1, 3, 5, 8, 10)
IF = (0, 1)
DCs are [{0, 1}, {0, 1, 3}, {0, 1, 5}, {0, 1, 8}, {0, 1, 10}, {0, 1, 3, 5}, {0, 1, 3, 8}, {0, 1, 10, 3}, {0, 1, 5, 8}, {0, 1, 10, 5}, {0, 1, 10, 8}, {0, 1, 3, 5, 8}, {0, 1, 3, 5, 10}, {0, 1, 3, 8, 10}, {0, 1, 5, 8, 10}, {0, 1, 3, 5, 8, 10}]

N = (0, 1, 3, 6, 9, 10)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 1, 10, 3}, {0, 1, 3, 6, 10}, {0, 1, 3, 9, 10}, {0, 1, 3, 6, 9, 10}, {0, 10, 3, 7}, {0, 3, 6, 7, 10}, {0, 3, 4, 7}, {0, 3, 4, 6, 7}, {0, 1, 3, 4}, {0, 2, 3}, {0, 3, 5}, {0, 8, 3}, {0, 11, 3}, {0, 8, 2, 3}, {0, 11, 3, 5}]

N = (0, 1, 4, 7, 9, 10)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 8, 3, 11}, {0, 3, 6, 8, 11}, {0, 3, 8, 9, 11}, {0, 3, 6, 8, 9, 11}, {0, 8, 3, 5}, {0, 3, 5, 6, 8}, {0, 2, 3, 5}, {0, 2, 3, 5, 6}, {0, 1, 3}, {0, 3, 4}, {0, 3, 7}, {0, 10, 3}, {0, 1, 3, 4}, {0, 1, 3, 7}, {0, 10, 3, 4}]

N = (0, 1, 8, 9, 10, 11)
IF = (0, 5)
DCs are [{0, 5}, {0, 1, 5}, {0, 2, 5}, {0, 3, 5}, {0, 4, 5}, {0, 1, 2, 5}, {0, 1, 3, 5}, {0, 1, 4, 5}, {0, 2, 3, 5}, {0, 2, 4, 5}, {0, 3, 4, 5}, {0, 1, 2, 3, 5}, {0, 1, 2, 4, 5}, {0, 1, 3, 4, 5}, {0, 2, 3, 4, 5}, {0, 1, 2, 3, 4, 5}]

N = (0, 2, 3, 5, 6, 9)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 2, 3, 5}, {0, 2, 3, 5, 6}, {0, 2, 3, 5, 9}, {0, 2, 3, 5, 6, 9}, {0, 1, 3}, {0, 3, 4}, {0, 3, 7}, {0, 10, 3}, {0, 1, 3, 4}, {0, 1, 3, 7}, {0, 3, 4, 7}, {0, 10, 3, 4}, {0, 10, 3, 7}, {0, 1, 3, 4, 7}, {0, 3, 4, 7, 10}]

N = (0, 2, 3, 5, 7, 10)
IF = (0, 1)
DCs are [{0, 1}, {0, 1, 3}, {0, 1, 5}, {0, 1, 8}, {0, 1, 10}, {0, 1, 3, 5}, {0, 1, 3, 8}, {0, 1, 10, 3}, {0, 1, 5, 8}, {0, 1, 10, 5}, {0, 1, 10, 8}, {0, 1, 3, 5, 8}, {0, 1, 3, 5, 10}, {0, 1, 3, 8, 10}, {0, 1, 5, 8, 10}, {0, 1, 3, 5, 8, 10}]

N = (0, 2, 3, 5, 8, 11)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 2, 3}, {0, 3, 5}, {0, 8, 3}, {0, 11, 3}, {0, 2, 3, 5}, {0, 8, 2, 3}, {0, 11, 2, 3}, {0, 8, 3, 5}, {0, 11, 3, 5}, {0, 8, 3, 11}, {0, 2, 3, 5, 8}, {0, 2, 3, 5, 11}, {0, 2, 3, 8, 11}, {0, 3, 5, 8, 11}, {0, 2, 3, 5, 8, 11}]

N = (0, 2, 3, 6, 9, 11)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 11, 2, 3}, {0, 2, 3, 6, 11}, {0, 2, 3, 9, 11}, {0, 2, 3, 6, 9, 11}, {0, 8, 3, 11}, {0, 3, 6, 8, 11}, {0, 8, 3, 5}, {0, 3, 5, 6, 8}, {0, 2, 3, 5}, {0, 1, 3}, {0, 3, 4}, {0, 3, 7}, {0, 10, 3}, {0, 1, 3, 7}, {0, 10, 3, 4}]

N = (0, 2, 4, 5, 7, 9)
IF = (0, 1)
DCs are [{0, 1}, {0, 1, 3}, {0, 1, 5}, {0, 1, 8}, {0, 1, 10}, {0, 1, 3, 5}, {0, 1, 3, 8}, {0, 1, 10, 3}, {0, 1, 5, 8}, {0, 1, 10, 5}, {0, 1, 10, 8}, {0, 1, 3, 5, 8}, {0, 1, 3, 5, 10}, {0, 1, 3, 8, 10}, {0, 1, 5, 8, 10}, {0, 1, 3, 5, 8, 10}]

N = (0, 2, 4, 7, 9, 11)
IF = (0, 1)
DCs are [{0, 1}, {0, 1, 3}, {0, 1, 5}, {0, 1, 8}, {0, 1, 10}, {0, 1, 3, 5}, {0, 1, 3, 8}, {0, 1, 10, 3}, {0, 1, 5, 8}, {0, 1, 10, 5}, {0, 1, 10, 8}, {0, 1, 3, 5, 8}, {0, 1, 3, 5, 10}, {0, 1, 3, 8, 10}, {0, 1, 5, 8, 10}, {0, 1, 3, 5, 8, 10}]

N = (0, 2, 5, 7, 9, 10)
IF = (0, 1)
DCs are [{0, 1}, {0, 1, 3}, {0, 1, 5}, {0, 1, 8}, {0, 1, 10}, {0, 1, 3, 5}, {0, 1, 3, 8}, {0, 1, 10, 3}, {0, 1, 5, 8}, {0, 1, 10, 5}, {0, 1, 10, 8}, {0, 1, 3, 5, 8}, {0, 1, 3, 5, 10}, {0, 1, 3, 8, 10}, {0, 1, 5, 8, 10}, {0, 1, 3, 5, 8, 10}]

N = (0, 2, 5, 8, 9, 11)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 10, 3, 7}, {0, 3, 6, 7, 10}, {0, 3, 7, 9, 10}, {0, 3, 6, 7, 9, 10}, {0, 3, 4, 7}, {0, 3, 4, 6, 7}, {0, 1, 3, 4}, {0, 1, 3, 4, 6}, {0, 2, 3}, {0, 3, 5}, {0, 8, 3}, {0, 11, 3}, {0, 2, 3, 5}, {0, 8, 2, 3}, {0, 11, 3, 5}]

N = (0, 3, 4, 6, 7, 9)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 3, 4, 7}, {0, 3, 4, 6, 7}, {0, 3, 4, 7, 9}, {0, 3, 4, 6, 7, 9}, {0, 1, 3, 4}, {0, 1, 3, 4, 6}, {0, 2, 3}, {0, 3, 5}, {0, 8, 3}, {0, 11, 3}, {0, 2, 3, 5}, {0, 8, 2, 3}, {0, 8, 3, 5}, {0, 11, 3, 5}, {0, 2, 3, 5, 8}]

N = (0, 3, 5, 6, 8, 9)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 8, 3, 5}, {0, 3, 5, 6, 8}, {0, 3, 5, 8, 9}, {0, 3, 5, 6, 8, 9}, {0, 2, 3, 5}, {0, 2, 3, 5, 6}, {0, 1, 3}, {0, 3, 4}, {0, 3, 7}, {0, 10, 3}, {0, 1, 3, 4}, {0, 1, 3, 7}, {0, 3, 4, 7}, {0, 10, 3, 4}, {0, 1, 3, 4, 7}]

N = (0, 3, 5, 7, 8, 10)
IF = (0, 1)
DCs are [{0, 1}, {0, 1, 3}, {0, 1, 5}, {0, 1, 8}, {0, 1, 10}, {0, 1, 3, 5}, {0, 1, 3, 8}, {0, 1, 10, 3}, {0, 1, 5, 8}, {0, 1, 10, 5}, {0, 1, 10, 8}, {0, 1, 3, 5, 8}, {0, 1, 3, 5, 10}, {0, 1, 3, 8, 10}, {0, 1, 5, 8, 10}, {0, 1, 3, 5, 8, 10}]

N = (0, 3, 6, 7, 9, 10)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 10, 3, 7}, {0, 3, 6, 7, 10}, {0, 3, 7, 9, 10}, {0, 3, 6, 7, 9, 10}, {0, 3, 4, 7}, {0, 3, 4, 6, 7}, {0, 1, 3, 4}, {0, 1, 3, 4, 6}, {0, 2, 3}, {0, 3, 5}, {0, 8, 3}, {0, 11, 3}, {0, 2, 3, 5}, {0, 8, 2, 3}, {0, 11, 3, 5}]

N = (0, 3, 6, 8, 9, 11)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 8, 3, 11}, {0, 3, 6, 8, 11}, {0, 3, 8, 9, 11}, {0, 3, 6, 8, 9, 11}, {0, 8, 3, 5}, {0, 3, 5, 6, 8}, {0, 2, 3, 5}, {0, 2, 3, 5, 6}, {0, 1, 3}, {0, 3, 4}, {0, 3, 7}, {0, 10, 3}, {0, 1, 3, 4}, {0, 1, 3, 7}, {0, 10, 3, 4}]

N = (0, 7, 8, 9, 10, 11)
IF = (0, 5)
DCs are [{0, 5}, {0, 1, 5}, {0, 2, 5}, {0, 3, 5}, {0, 4, 5}, {0, 1, 2, 5}, {0, 1, 3, 5}, {0, 1, 4, 5}, {0, 2, 3, 5}, {0, 2, 4, 5}, {0, 3, 4, 5}, {0, 1, 2, 3, 5}, {0, 1, 2, 4, 5}, {0, 1, 3, 4, 5}, {0, 2, 3, 4, 5}, {0, 1, 2, 3, 4, 5}]

N = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)
IF = (0, 6)
DCs are [{0, 1, 6}, {0, 2, 6}, {0, 3, 6}, {0, 4, 6}, {0, 5, 6}, {0, 1, 2, 6}, {0, 1, 3, 6}, {0, 1, 4, 6}, {0, 1, 5, 6}, {0, 2, 3, 6}, {0, 2, 4, 6}, {0, 2, 5, 6}, {0, 3, 4, 6}, {0, 3, 5, 6}, {0, 4, 5, 6}, {0, 1, 2, 3, 6}, {0, 1, 2, 4, 6}, {0, 1, 2, 5, 6}, {0, 1, 3, 4, 6}, {0, 1, 3, 5, 6}, {0, 1, 4, 5, 6}, {0, 2, 3, 4, 6}, {0, 2, 3, 5, 6}, {0, 2, 4, 5, 6}, {0, 3, 4, 5, 6}, {0, 1, 2, 3, 4, 6}, {0, 1, 2, 3, 5, 6}, {0, 1, 2, 4, 5, 6}, {0, 1, 3, 4, 5, 6}, {0, 2, 3, 4, 5, 6}, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}]

N = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 11)
IF = (0, 6)
DCs are [{0, 6, 7}, {0, 8, 6}, {0, 9, 6}, {0, 10, 6}, {0, 11, 6}, {0, 8, 6, 7}, {0, 9, 6, 7}, {0, 10, 6, 7}, {0, 11, 6, 7}, {0, 8, 6, 9}, {0, 8, 10, 6}, {0, 8, 11, 6}, {0, 9, 10, 6}, {0, 9, 11, 6}, {0, 10, 11, 6}, {0, 6, 7, 8, 9}, {0, 6, 7, 8, 10}, {0, 6, 7, 8, 11}, {0, 6, 7, 9, 10}, {0, 6, 7, 9, 11}, {0, 6, 7, 10, 11}, {0, 6, 8, 9, 10}, {0, 6, 8, 9, 11}, {0, 6, 8, 10, 11}, {0, 6, 9, 10, 11}, {0, 6, 7, 8, 9, 10}, {0, 6, 7, 8, 9, 11}, {0, 6, 7, 8, 10, 11}, {0, 6, 7, 9, 10, 11}, {0, 6, 8, 9, 10, 11}, {0, 6, 7, 8, 9, 10, 11}]

N = (0, 1, 2, 3, 4, 10, 11)
IF = (0, 6)
DCs are [{0, 6, 7}, {0, 8, 6}, {0, 9, 6}, {0, 10, 6}, {0, 11, 6}, {0, 8, 6, 7}, {0, 9, 6, 7}, {0, 10, 6, 7}, {0, 11, 6, 7}, {0, 8, 6, 9}, {0, 8, 10, 6}, {0, 8, 11, 6}, {0, 9, 10, 6}, {0, 9, 11, 6}, {0, 10, 11, 6}, {0, 6, 7, 8, 9}, {0, 6, 7, 8, 10}, {0, 6, 7, 8, 11}, {0, 6, 7, 9, 10}, {0, 6, 7, 9, 11}, {0, 6, 7, 10, 11}, {0, 6, 8, 9, 10}, {0, 6, 8, 9, 11}, {0, 6, 8, 10, 11}, {0, 6, 9, 10, 11}, {0, 6, 7, 8, 9, 10}, {0, 6, 7, 8, 9, 11}, {0, 6, 7, 8, 10, 11}, {0, 6, 7, 9, 10, 11}, {0, 6, 8, 9, 10, 11}, {0, 6, 7, 8, 9, 10, 11}]

N = (0, 1, 2, 3, 6, 7, 8)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 1, 3}, {0, 2, 3}, {0, 3, 6}, {0, 3, 7}, {0, 8, 3}, {0, 1, 2, 3}, {0, 1, 3, 6}, {0, 1, 3, 7}, {0, 1, 3, 8}, {0, 2, 3, 6}, {0, 2, 3, 7}, {0, 8, 2, 3}, {0, 3, 6, 7}, {0, 8, 3, 6}, {0, 8, 3, 7}, {0, 1, 2, 3, 6}, {0, 1, 2, 3, 7}, {0, 1, 2, 3, 8}, {0, 1, 3, 6, 7}, {0, 1, 3, 6, 8}, {0, 1, 3, 7, 8}, {0, 2, 3, 6, 7}, {0, 2, 3, 6, 8}, {0, 2, 3, 7, 8}, {0, 3, 6, 7, 8}, {0, 1, 2, 3, 6, 7}, {0, 1, 2, 3, 6, 8}, {0, 1, 2, 3, 7, 8}, {0, 1, 3, 6, 7, 8}, {0, 2, 3, 6, 7, 8}, {0, 1, 2, 3, 6, 7, 8}, {0, 3, 4}, {0, 3, 5}, {0, 10, 3}, {0, 11, 3}, {0, 3, 4, 5}, {0, 10, 3, 4}, {0, 11, 3, 4}, {0, 10, 3, 5}, {0, 11, 3, 5}, {0, 11, 10, 3}, {0, 3, 4, 5, 10}, {0, 3, 4, 5, 11}, {0, 3, 4, 10, 11}, {0, 3, 5, 10, 11}, {0, 3, 4, 5, 10, 11}]

N = (0, 1, 2, 3, 7, 8, 9)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 1, 3}, {0, 2, 3}, {0, 3, 7}, {0, 8, 3}, {0, 9, 3}, {0, 1, 2, 3}, {0, 1, 3, 7}, {0, 1, 3, 8}, {0, 1, 3, 9}, {0, 2, 3, 7}, {0, 8, 2, 3}, {0, 9, 2, 3}, {0, 8, 3, 7}, {0, 9, 3, 7}, {0, 8, 3, 9}, {0, 1, 2, 3, 7}, {0, 1, 2, 3, 8}, {0, 1, 2, 3, 9}, {0, 1, 3, 7, 8}, {0, 1, 3, 7, 9}, {0, 1, 3, 8, 9}, {0, 2, 3, 7, 8}, {0, 2, 3, 7, 9}, {0, 2, 3, 8, 9}, {0, 3, 7, 8, 9}, {0, 1, 2, 3, 7, 8}, {0, 1, 2, 3, 7, 9}, {0, 1, 2, 3, 8, 9}, {0, 1, 3, 7, 8, 9}, {0, 2, 3, 7, 8, 9}, {0, 1, 2, 3, 7, 8, 9}, {0, 3, 4}, {0, 3, 5}, {0, 10, 3}, {0, 11, 3}, {0, 3, 4, 5}, {0, 10, 3, 4}, {0, 11, 3, 4}, {0, 10, 3, 5}, {0, 11, 3, 5}, {0, 11, 10, 3}, {0, 3, 4, 5, 10}, {0, 3, 4, 5, 11}, {0, 3, 4, 10, 11}, {0, 3, 5, 10, 11}, {0, 3, 4, 5, 10, 11}]

N = (0, 1, 2, 3, 9, 10, 11)
IF = (0, 6)
DCs are [{0, 6, 7}, {0, 8, 6}, {0, 9, 6}, {0, 10, 6}, {0, 11, 6}, {0, 8, 6, 7}, {0, 9, 6, 7}, {0, 10, 6, 7}, {0, 11, 6, 7}, {0, 8, 6, 9}, {0, 8, 10, 6}, {0, 8, 11, 6}, {0, 9, 10, 6}, {0, 9, 11, 6}, {0, 10, 11, 6}, {0, 6, 7, 8, 9}, {0, 6, 7, 8, 10}, {0, 6, 7, 8, 11}, {0, 6, 7, 9, 10}, {0, 6, 7, 9, 11}, {0, 6, 7, 10, 11}, {0, 6, 8, 9, 10}, {0, 6, 8, 9, 11}, {0, 6, 8, 10, 11}, {0, 6, 9, 10, 11}, {0, 6, 7, 8, 9, 10}, {0, 6, 7, 8, 9, 11}, {0, 6, 7, 8, 10, 11}, {0, 6, 7, 9, 10, 11}, {0, 6, 8, 9, 10, 11}, {0, 6, 7, 8, 9, 10, 11}]

N = (0, 1, 2, 5, 6, 7, 8)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 3, 4}, {0, 3, 5}, {0, 3, 6}, {0, 10, 3}, {0, 11, 3}, {0, 3, 4, 5}, {0, 3, 4, 6}, {0, 10, 3, 4}, {0, 11, 3, 4}, {0, 3, 5, 6}, {0, 10, 3, 5}, {0, 11, 3, 5}, {0, 10, 3, 6}, {0, 11, 3, 6}, {0, 11, 10, 3}, {0, 3, 4, 5, 6}, {0, 3, 4, 5, 10}, {0, 3, 4, 5, 11}, {0, 3, 4, 6, 10}, {0, 3, 4, 6, 11}, {0, 3, 4, 10, 11}, {0, 3, 5, 6, 10}, {0, 3, 5, 6, 11}, {0, 3, 5, 10, 11}, {0, 3, 6, 10, 11}, {0, 3, 4, 5, 6, 10}, {0, 3, 4, 5, 6, 11}, {0, 3, 4, 5, 10, 11}, {0, 3, 4, 6, 10, 11}, {0, 3, 5, 6, 10, 11}, {0, 3, 4, 5, 6, 10, 11}, {0, 1, 3}, {0, 2, 3}, {0, 3, 7}, {0, 8, 3}, {0, 1, 2, 3}, {0, 1, 3, 7}, {0, 1, 3, 8}, {0, 2, 3, 7}, {0, 8, 2, 3}, {0, 8, 3, 7}, {0, 1, 2, 3, 7}, {0, 1, 2, 3, 8}, {0, 1, 3, 7, 8}, {0, 2, 3, 7, 8}, {0, 1, 2, 3, 7, 8}]

Muchas gracias por formalizar mi pregunta y agregar algo de información. También muchas gracias por mostrar cómo identificar DC. Sin embargo, estoy menos interesado en un algoritmo. Más bien, me gustaría saber si desde un punto de vista matemático puedo soportar aprender algo sobre esos DC que no haya revelado musicalmente. ¿La cantidad de elementos necesarios para un CD revela algo sobre el conjunto? ¿Dice esto algo sobre la compresibilidad del collar o algo proveniente de la Teoría de la Información? ¿Qué puedo aprender matemáticamente sobre esas clases de conjuntos? Espero no estar siendo demasiado vago.
En resumen, un DC es un conjunto de puntos que pueden coincidir perfectamente solo una vez cuando giras el collar en un círculo completo (12 pasos). Por lo tanto, creo que los DC revelan simetría cíclica.
¿Algo interesante sobre los "Fragmentos de identidad" o cuándo el Fragmento de identidad es y no es diagnóstico? Es decir, me parece interesante (pero quizás trivial) que en algunos conjuntos como 0 2 5 7 10 DC deben contener 0 4. Pero otros conjuntos como 0 1 2 3 5 no tienen ningún sentido de autosimilitud entre ellos. No estoy seguro si es una cosa.
Sobre el fragmento de identidad: Considere el conjunto [0 3 4 7 8]. Cada DC de ese conjunto contiene [0 4] (un intervalo de tamaño 4), pero [0 4] en sí mismo no es un diagnóstico. Hay muchos ejemplos que no son [0 6]. [0 4] también sería un IF para [0 1 4 5 8]
Muestro un contraejemplo en (****). Para su afirmación, ¿quiere decir que {0, 2, 5, 10} debe expresarse como {0, 2, 4, 7}?

Encontrar información sobre los conceptos combinatorios (procedentes de la Teoría de la Música)

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Un gráfico máximo conectado GGG sin ciclos de longitud de al menos k+1k+1k+1 tiene |V(G)|≤k|V(G)|≤k|V(G)| \leq k o tiene un vértice cortado cuando k≥2k≥2k \geq 2

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