Derivación de la fuerza centrífuga y de coriolis.

Bien, aquí está mi demostración (con suerte rigurosa) del origen de estas fuerzas aquí, desde los primeros principios. He tratado de ser bastante claro sobre lo que está pasando con las matemáticas. Ten paciencia conmigo, ¡es un poco largo!

Vector de velocidad angular

Comencemos con la ecuación principal que define la velocidad angular en tres dimensiones,

$$\dot{\mathbf{r}} = \mathbf{\omega} \times \mathbf{r}\; .$$

(Esto se puede derivar aproximadamente considerando una fuerza centrípeta que actúa sobre una partícula. Tenga en cuenta que esta ecuación se aplica simétricamente en marcos de referencia inerciales y giratorios).

Note que de hecho podemos generalizar esta afirmación en términos de$r$para un vector arbitrario$a$que se sabe que está fijo en el cuerpo giratorio.

Transformación entre marcos inerciales y giratorios

Ahora considere un vector$a$, que podemos escribir en coordenadas cartesianas (fijas dentro del cuerpo) como

$$\mathbf{a} = a_x \mathbf{\hat i} + a_y \mathbf{\hat j} + a_z \mathbf{\hat k}\; .$$

En la mecánica newtoniana, las cantidades escalares deben ser invariantes para cualquier elección de marco, por lo que podemos decir

$$\left.\frac{\mathrm da_x}{\mathrm dt}\right|_I = \left.\frac{\mathrm da_x}{\mathrm dt}\right|_R$$

dónde$I$indica que el valor es para el marco inercial, y$R$que el valor es para el marco giratorio. Se aplican declaraciones equivalentes para$a_y$y$a_z$, por supuesto. Por lo tanto, cualquier transformación de$a$entre tramas debe deberse a cambios en los vectores unitarios de la base.

Ahora por la regla del producto,

$$\begin{align}\left.\frac{\mathrm d\mathbf{a}}{\mathrm dt}\right|_I &= \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \left( a_x \mathbf{\hat i} + a_y \mathbf{\hat j} + a_z \mathbf{\hat k} \right) \\& = \left( \frac{\mathrm da_x}{\mathrm dt} \mathbf{\hat i} + \frac{\mathrm da_y}{\mathrm dt} \mathbf{\hat j} + \frac{\mathrm da_z}{\mathrm dt} \mathbf{\hat k} \right) + \left( a_x \frac{\mathrm d\mathbf{\hat i}}{\mathrm dt} + a_y \frac{\mathrm d\mathbf{\hat j}}{\mathrm dt} + a_z \frac{\mathrm d\mathbf{\hat k}}{\mathrm dt} \right) .\end{align}$$

Usando la ecuación anterior para la velocidad angular, entonces tenemos

$$\begin{align}\left.\frac{\mathrm d\mathbf{a}}{\mathrm dt}\right|_I &= \left( \frac{\mathrm da_x}{\mathrm dt} \mathbf{\hat i} + \frac{\mathrm da_y}{\mathrm dt} \mathbf{\hat j} + \frac{\mathrm da_z}{\mathrm dt} \mathbf{\hat k} \right) + \left( a_x \mathbf{\omega} \times \mathbf{\hat i} + a_y \mathbf{\omega} \times \mathbf{\hat j} + a_z \mathbf{\omega} \times \mathbf{\hat k} \right) \\&= \left.\frac{\mathrm d\mathrm{a}}{\mathrm dt}\right|_R + \mathbf{\omega} \times \mathbf{a} \;.\end{align}$$

Ahora considere un vector de posición en la superficie de un cuerpo giratorio. Podemos escribir

$$\mathbf{v}_I = \left.\frac{\mathrm d\mathbf{r}}{\mathrm dt}\right|_I = \left.\frac{\mathrm d\mathbf{r}}{\mathbf dt}\right|_R + \mathbf{\omega} \times \mathbf{r} ,$$

y de manera similar para$\mathbf{a} = \mathbf{v}_I$,

$$\begin{align}\left.\frac{\mathrm d^2\mathbf{r}}{\mathrm dt^2}\right|_I &= \left( \left.\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\right|_R + \mathrm{\omega} \times \right)^2 \mathbf{r} \\&= \left.\frac{\mathrm d^2\mathbf{r}}{\mathrm dt^2}\right|_R + 2\mathbf{\omega} \times \left.\frac{\mathrm d\mathbf{r}}{\mathrm dt}\right|_R + \mathbf{\omega} \times (\mathbf{\omega} \times \mathbf{r}) \;.\end{align}$$

Fuerzas sobre el cuerpo en el marco giratorio

Ahora considere una fuerza que actúa sobre un objeto en la posición$\mathbf{r}$(por ejemplo, la gravedad). La tercera ley de Newton establece

$$\mathbf{F} = m \left.\frac{\mathrm d^2\mathbf{r}}{\mathrm dt^2}\right|_I .$$

Y así sustituyendo esto en la ecuación anterior por$\left.\frac{\mathrm d^2\mathbf{r}}{\mathrm dt^2}\right|_I$y reordenando obtenemos

$$\begin{align}\mathbf{F}_\textrm{net} &= m \left.\frac{\mathrm d^2\mathbf{r}}{\mathrm dt^2}\right|_R \\&= \mathbf{F} - 2m \mathbf{\omega} \times \mathbf{v}_R - m \mathbf{\omega} \times (\mathbf{\omega} \times \mathbf{r})\\ &= \mathbf{F} - 2m \mathbf{\omega} \times \mathbf{v}_R + m \mathbf{\omega}^2 \mathbf{r}.\end{align}$$

Y aqui lo tenemos. El segundo término a la derecha es la fuerza de Coriolis , y el tercer término es la fuerza centrífuga (claramente apuntando en dirección opuesta al centro de rotación). Cualquier interpretación de las fuerzas centrífugas y de Coriolis se sigue naturalmente de esta única e importante ecuación.