¿Por qué la manzana caería debajo del árbol?

Aquí hay una pregunta extremadamente ingenua: ¿Por qué la manzana caería debajo del árbol?

Esto me desconcierta, porque la respuesta convencional de que la gravedad entre la manzana y la tierra tirando de la manzana hacia abajo no me satisface. Mi proceso de pensamiento es el siguiente:

  1. Sabemos que en un marco de referencia apropiado, podemos ver la caída de la manzana del árbol como caída libre. Por lo tanto sabemos F = metro gramo , a = gramo y la manzana debe caer al suelo en 2 h gramo período de tiempo desde h = 1 2 gramo t 2 .

  2. Sin embargo, la imagen no es tan clara cuando consideramos la rotación de la Tierra. Por conveniencia, ignoro el movimiento de la tierra alrededor del sol. Sabemos que la fuerza centrípeta y la gravedad están dadas por

    F 1 = metro ω 2 R , F 2 = C metro METRO R 2
    dónde C es una constante. Por lo tanto, la razón por la que la manzana cae al árbol debe ser que la gravedad es mucho más fuerte que la fuerza centrífuga requerida cuando la manzana gira con el árbol. Si la fuerza centrífuga es igual a la gravedad, entonces la manzana debería permanecer en el mismo lugar en el árbol. Si la fuerza centrífuga necesaria es mayor que la gravedad, entonces la manzana no se quedaría en el aire libre y saldría volando de la tierra.

  3. Ahora imagine una pera cayendo desde el medio del árbol. Según nuestra experiencia cotidiana, la pera caería en el mismo lugar que la manzana. Sin embargo, dado que la pera está más cerca de la tierra, la fuerza centrípeta que experimenta es menor y la gravedad que experimenta también es mayor (aquí denotamos R ′ por la distancia de la pera al centro de la tierra, metro 1 por su masa):

    PAG 1 = metro 1 ω 2 R ′ , PAG 2 = C METRO metro 1 R ′ 2
    Por lo tanto, no es difícil ver que la aceleración que experimentan la manzana y la pera debe ser diferente debido a la altura. La pera debe caer más rápido. Sin embargo, dado que la manzana y la pera se mueven desde el mismo árbol, deben tener la misma velocidad angular. en particular cuando R va muy grande, la gravedad sería demasiado pequeña y el objeto saldría volando de la tierra.

  4. Pero siento que esta explicación no está clara. Ahora en lugar de usar una constante gramo denotando la aceleración que experimenta la manzana, tenemos:
    gramo ( R ) = C METRO R 2 − ω 2 R
    Por lo tanto, la manzana debería de alguna manera desviarse del árbol. Intuitivamente, dado que en la parte inferior del árbol la manzana no se movería en absoluto, y a mucha altura la manzana saldría volando, a una altura media la manzana debería tener una desviación moderada pero medible.
  5. Mi pregunta es, ¿cómo podemos calcular exactamente la desviación de la altura del árbol? El cálculo anterior asumió que la velocidad angular de la tierra es constante; en realidad, si el árbol es lo suficientemente alto, la velocidad angular también podría estar cambiando sutilmente. Pero dejemos esto de lado por el momento. Si asumimos que la tierra es una esfera y sabemos h , C , ω , METRO , etc, ¿podemos calcularlo? ¿Debo esperar que una manzana que cae del edificio Empire State se mueva a un lugar diferente que una manzana que cae de mi mano?
  6. El problema me resulta difícil porque supongamos que conocemos la posición, la velocidad y la fuerza exterior ejercida sobre la manzana en algún momento:
    F 1 − F 2 = F ( t 0 ) , V = V ( t 0 ) , r = r ( t 0 )
    (al menos sabemos cuando t = 0 ), no sabríamos dónde está la manzana en el momento siguiente a menos que hagamos algún cálculo. En el momento t 0 sabemos cuál es la velocidad angular; pero cuando las manzanas caen, su velocidad cambia. y su velocidad angular ω = V R también cambiaría. Por lo tanto, tendríamos que resolver una ecuación diferencial (una EDO de segundo orden no lineal) para calcular la respuesta. Y la cantidad de desviación simplemente no está clara para mí.

Debido a la naturaleza extremadamente ingenua de la pregunta, todas las respuestas son bienvenidas. Si cometí algún error estúpido en la derivación, no dude en señalarlo. Tal vez este extraño fenómeno que pensé que sucedería nunca sucede en la vida real porque cometí algún error.

Respuestas (4)

Tu lógica es correcta, es solo tu aritmética la que necesita trabajo.

Primero, por supuesto, debe asumir que todo sucede en el vacío. La resistencia del aire dominará cualquier otro efecto para el tipo de distancias que haya indicado. Además, supongamos (solo para facilitar los cálculos) que esto tiene lugar en el ecuador, al nivel del mar. El radio ecuatorial de la Tierra es de 6378 km y la velocidad tangencial es de ~ 464 m/s (pero llamémoslo exactamente 464 m/s). Ahora, tomemos una manzana a una altura de 3 metros y una pera a una altura de 10 metros.

A una altitud de 6378,003 km, la velocidad tangencial es de 464,000218 m/seg, ya 6378,01 km la velocidad es de 464,000728 m/seg. Para una altura de 3 metros, el tiempo de caída a tierra es de 0,782 segundos, y desde 10 metros es de 1,429 segundos. Ignorando el hecho de que la base del árbol no se mueve en línea recta, sino en un círculo, debería ser obvio que la manzana caerá a 0,00017 metros de la vertical y la pera a 0,00104 metros de la vertical. Suerte con las medidas.

Para alturas más grandes y tiempos de caída más prolongados, comienzan a aparecer varios otros aspectos de la rotación de la Tierra, como los efectos de Coriolis, pero no es necesario entrar en eso aquí.

Observe que en latitudes más altas el efecto disminuye, ya que el radio de movimiento efectivo es proporcional al coseno de la latitud. En los polos norte y sur, la desviación es cero. Espero que sea bastante obvio para ti que tratar de medir el efecto de la precesión del eje de la tierra sería, ejem, un desafío.

Y finalmente, aunque lo mencionaste de pasada, es posible dejar caer una piña desde unas 22,400 millas, pero la desviación no es medible.

0,00104 m es un poco más de 1 mm. Deberías poder medir eso.
Sí, pero hay algunos problemas. En primer lugar, los efectos aerodinámicos. En segundo lugar, ¿cómo saber dónde debe golpear? Es decir, ¿cómo se mide la vertical? 1 mm a 10 metros son 100 uradianes, o alrededor de 0,006 grados. Como digo, buena suerte.
Una plomada te dará la dirección de la gravedad. Sí, una manzana es una mala elección debido a la aerodinámica.
Sí. Una plomada servirá, suponiendo que el árbol no se balancee. Que, en cualquier viento lo hará, por supuesto. Y el mecanismo de liberación tiene que estar perfectamente alineado con la plomada, y no puede impartir movimiento lateral o de rotación a la "manzana".

Ok, a ver si lo entiendo bien.

La circunferencia del ecuador es 24902 millas. La Tierra gira 360° en 86.164,098 segundos . Esto significa que la superficie de la Tierra se mueve 1525.96 ft/seg en el ecuador.

Agregar 1000 pies a la altura da una circunferencia de 24903 millas. Esto significa que la velocidad lateral es de 1526,03 ft/seg; una diferencia de aproximadamente 0,87 pulgadas/seg. La caída tardaría unos 7,9 segundos, por lo que la distancia lateral sería de 6,91 pulgadas.

Entonces, sí, si dejaste caer un objeto desde 1000 pies, estaría ligeramente desviado directamente hacia abajo. El Empire State Building tiene una altura de 1250 pies, por lo que la distancia desde una plomada sería un poco más de 7 pulgadas.

@pbhj - No. Como se indica en esta respuesta y la aceptada, la velocidad lateral es diferente a nivel del suelo y en el árbol. Esa diferencia es la que hace que la manzana no caiga donde está la plomada.

Su razonamiento es esencialmente correcto, pero tendría que ser un árbol muy alto para ver una desviación significativa.

Considere que la órbita geosíncrona está a una altitud de 36 000 km. Así, una manzana que cayera desde la copa de un árbol de 36.000 km de altura permanecería en órbita y no ganaría ni perdería altura. Una manzana que cayera desde una altura mayor volaría al espacio, y una manzana que cayera desde una altura menor entraría en una órbita elíptica o chocaría contra la tierra en algún punto lejos del árbol.

La altura de un árbol real, o incluso del Empire State Building, no es lo suficientemente alta como para ver una desviación significativa de las trayectorias de los objetos que caen desde "hacia abajo".

Te estás enfocando en la fuerza centrífuga. Te olvidaste del efecto coriolis. Ninguno tiene mucho efecto para un objeto que se deja caer desde la copa de un árbol, incluso un árbol muy, muy alto.

Lo primero que debe tener en cuenta es que "abajo" (la dirección en la que apunta una plomada) generalmente no es hacia el centro de la Tierra. Eso solo es cierto en el ecuador y los polos. En otros lugares, "abajo" está en la dirección de la fuerza gravitatoria percibida. Esa fuerza gravitatoria percibida es la suma vectorial de la fuerza más o menos hacia adentro debida a la gravedad más la fuerza más o menos hacia afuera debida a la fuerza centrífuga. La gravedad no está del todo dirigida hacia el centro de la Tierra, gracias a dos efectos, la fuerza centrífuga y la forma no del todo esférica de la Tierra.

Un árbol óptimo crecerá verticalmente, donde "vertical" significa la dirección en la que cuelga una plomada. Este árbol óptimo tendrá una curvatura inmensamente pequeña porque la aceleración gravitatoria disminuye ligeramente y la aceleración centrífuga aumenta ligeramente con la altura. Supongamos que este árbol óptimo es muy frondoso de abajo hacia arriba. Una manzana que cae nunca tendrá la oportunidad de aumentar la velocidad y, por lo tanto, no estará sujeta al efecto Coriolis. La manzana caerá hacia abajo.

Supongamos, en cambio, que el árbol óptimo es mayormente libre de hojas y arroja balas sin arrastre en lugar de manzanas. Las balas que caen estarán sujetas al efecto coriolis. Un objeto sin arrastre será desviado hacia el este por 8 h 3 gramo Ω porque ⁡ λ 3 dónde h es la altura de la caída, Ω es la velocidad angular de rotación de la Tierra, y λ es la latitud. Si el árbol tiene 100 metros de altura y está en el ecuador, una bala sin arrastre llegará al suelo con una desviación de 2,2 cm hacia el este desde la vertical. El arrastre reducirá esta desviación.

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