¿Puedo usar un campo de tensor de rango superior como campo de métrica?

Lo que necesariamente debe hacer una métrica es proporcionarme una forma de asociar un número invariante de cuadro con un par dado de eventos de espacio-tiempo. Ahora, si uso un campo de tensor de rango superior (digamos, por ejemplo, un campo de tensor de rango 3:$g_{\mu \nu \rho}$) entonces también puedo producir un marco escalar invariante a partir de un desplazamiento dado$\vec{A}$de esta manera trivial:$I := g_{\mu \nu \rho} A^{\mu}A^{\nu}A^{\rho}$. Dado que las componentes del tensor de rango superior y la del vector de desplazamiento se van a transformar de manera covariante y contravariante respectivamente, la cantidad cocinada es ciertamente un escalar.

Otra propiedad crucial, que creo que tiene un contenido físico más directo que la anterior, es que entre dos marcos inerciales debe existir al menos una transformación que deje al menos una métrica invariante. es decir, debe existir al menos una combinación de matriz de transformación$\displaystyle\frac{\partial{x^{\alpha}}}{\partial{x^{\mu '}}}$y métrico$g_{\alpha \beta \gamma}$que satisface la siguiente ecuación:

$\displaystyle\frac{\partial{x^{\alpha}}}{\partial{x^{\mu '}}}\displaystyle\frac{\partial{x^{\beta}}}{\partial{x^{\nu '}}}\displaystyle\frac{\partial{x^{\gamma}}}{\partial{x^{\rho '}}} g_{\alpha \beta \gamma} - \delta_{\mu '}^{\alpha}\delta_{\nu '}^{\beta}\delta_{\rho '}^{\gamma} g_{\alpha \beta \gamma} =0$

Lo último que se me ocurre que puede poner una restricción a la elección de un tensor como métrica es la existencia de una posibilidad de encontrar un campo de conexión simétrica compatible con la métrica. Siguiendo el procedimiento habitual de encontrar la expresión para un campo de conexión simétrico compatible con la métrica, llegué a la siguiente condición (a diferencia del caso de la métrica habitual de dos rangos donde obtenemos una expresión completa) para la conexión en los términos de la métrica:

$g_{\nu \rho k_1} \Gamma^{k_1}_{\mu \lambda} - g_{\lambda \mu k_2} \Gamma^{k_2}_{\rho \nu} = \displaystyle\frac{1}{2} (\partial_{\nu}g_{\rho \lambda \mu} + \partial_{\rho}g_{\lambda \mu \nu} - \partial_{\lambda}g_{\mu \nu \rho} - \partial_{\mu}g_{\nu \rho \lambda})$

Mi pregunta es que si es posible satisfacer las dos condiciones resaltadas, ¿podemos usar campos de tensor de rango 3 (o incluso tensores de rango superior con condiciones producidas de manera similar) como campos métricos?

PD: Esta NO es una propuesta para una nueva teoría de la gravedad de producción doméstica (o de cualquier otra cosa), sino que es solo que estoy tratando de entender por qué se usa un tensor de dos rangos en la Relatividad General como la métrica. Gracias.