En QM, ¿tratamos con conjuntos básicos u ortonormales?

La mayoría de los libros de texto dicen que dada una base (contable) | ϕ norte ⟩ de un espacio de Hilbert, que todo vector | ψ ⟩ del espacio se puede escribir como:

ψ ⟩ = ∑ norte = 1 ∞ a norte | ϕ norte ⟩

Pero esta es una combinación lineal infinita, y cada vector debe expresarse mediante una combinación lineal finita .

Entonces creo que son un conjunto ortogonal, lo que genera el espacio vectorial como una combinación lineal infinita (la diferencia entre LC infinito y finito significa que los conjuntos ortonormales suelen ser más pequeños que la base).

Pero para el resto de las propiedades, | ϕ norte ⟩ me parece una base.

Asi es | ϕ norte ⟩ una base o simplemente un conjunto ortogonal?

¿Cuál es tu pregunta?
@Niel de Beaudrap Actualizado.
en qm lo que se llama "base" es de hecho un conjunto ortogonal completo. Creo que se llama base porque se parece al concepto de base en álgebra lineal, no al concepto de base de un espacio métrico (o más generalmente, topológico).

Respuestas (2)

es una base El problema es que "base" es en realidad vago si se elimina de un contexto específico, y lo que tenemos aquí es una base de Schauder . La definición que aprendiste en álgebra lineal básica que requiere una combinación lineal finita es una base de Hamel .

Entonces Hermite, Legendre... ¿los polinomios forman una base de Schauder?
Así es: los polinomios de Hermite forman una base ortogonal de Schauder si el producto interno tiene una función de peso adecuada (gaussiana), de manera similar para Legendre con diferentes salvedades, pero sí. Otro ejemplo es la base de Fourier. { 1 , porque ⁡ norte X , pecado ⁡ norte X : norte > 0 } para (clases de equivalencia de) funciones de período 2 π .

Es una cuestión de definición.

Según Hirzebruch/Scharlau, Einführung in die Funktionalanalysis (1971) , Definición 21.10:

Un sistema ortonormal { X i } i ∈ I que cumple con las condiciones [ equivalentes probadas ] de este teorema se denomina base de Hilbert o simplemente base de X .

Wikipedia lo llama una base ortonormal , que es una base de Schauder si su espacio de Hilbert de dimensión infinita es separable.

En QM, ¿tratamos con conjuntos básicos u ortonormales?
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