¿Cuánto trabajo se necesita para comprimir cierto volumen de gas?

El trabajo es igual a la fuerza por la distancia. Esto se aplica a todo, no solo al comportamiento de los gases.

Supongamos que tenemos algo de gas en un recipiente con volumen$V$y superficie$A$. Aplicamos alguna fuerza normal a esta área y comprimimos el gas una pequeña distancia$dx$. mantenemos la distancia$dx$lo suficientemente pequeño como para que podamos hacer la aproximación de que el área$A$no cambia

Dibujé el gas como una esfera, pero el argumento se aplica sea cual sea la forma. Debido a que el trabajo es fuerza por distancia, el trabajo realizado al comprimir el gas es simplemente:

$$W = F \space dx$$

Para poner esto en una forma más familiar, tenga en cuenta que si estamos aplicando una presión$P$sobre toda la superficie de la esfera, entonces la fuerza es solo la presión por el área, es decir

$$W = P \space A \space dx$$

Ahora observe que el área$A$veces la distancia recorrida$dx$es el cambio de volumen, es decir$Adx = dV$entonces:

$$W = P \space dV$$

y esta es la ecuación que usamos para calcular la cantidad de trabajo realizado al comprimir el gas. El cálculo puede ser un poco complicado porque a medida que comprimimos el gas, la presión cambiará, es decir, la presión es una función del volumen.$P(V)$. Además, a menos que dejemos que el gas se enfríe mientras lo comprimimos, su temperatura aumentará y eso también aumentará la presión. Si dejamos que el gas se enfríe, obtenemos una compresión isotérmica y si no dejamos que se enfríe, obtenemos una compresión adiabática . Si tomamos la expansión isotérmica (porque las matemáticas son más fáciles), la presión está relacionada con el volumen por:

$$P = \frac{nRT}{V}$$

dónde$R$es la constante de los gases y$n$es el número de moles del gas. El trabajo de comprimir a partir de volumen$V_1$a$V_2$es entonces simplemente:

$$W = \int_{V_1}^{V_2} P(V)dV = \int_{V_1}^{V_2} \frac{nRT}{V}dV$$

y haciendo la integral da:

$$W = nRT \ln \left( \frac{V_2}{V_1} \right)$$

La fórmula con la que hemos terminado se aplica tanto a la expansión como a la compresión. Con una compresión$V_2 < V_1$, y para calcular el trabajo realizado por el gas cuando se expande simplemente ponemos$V_2 > V_1$. La única diferencia es que en un caso el trabajo que calculamos es el trabajo que hacemos sobre el gas, mientras que en el otro es el trabajo realizado por el gas.