Área bajo un diagrama pVpVpV

El área bajo la curva en el diagrama pV es la integral

$$\int p \;\mathrm dV = \int \frac FA A\;\mathrm ds=\int F \;\mathrm ds \equiv W$$ por definición de presión como fuerza por área y volumen (infinitesimal) como área por distancia.

Es el trabajo mecánico realizado por el sistema sobre el medio ambiente en caso de expansión o por el medio ambiente sobre el sistema en caso de compresión, que se diferencian por el signo. Se llama externo para enfatizar la interacción con el entorno.

¿Por qué el trabajo se realiza presión por volumen?

Por lo tanto, la magnitud del trabajo realizado cuando un gas se expande es igual al producto de la presión del gas por el cambio en el volumen del gas. Por definición, un joule es el trabajo realizado cuando se usa una fuerza de un newton para mover un objeto un metro.

esta es solo la forma más simple en que podría definir por qué el trabajo realizado es igual a la presión x el volumen para aquellos que solo quieren una respuesta simplista

_{Como señalé en un comentario que eres nuevo en (o aún no te has introducido) en la integración, intentaré proporcionar una respuesta intuitiva sin depender de las integrales.}

Si los ejes de tu gráfico son el volumen a lo largo y la presión a lo largo, entonces imagina un gráfico rectangular. Su área es, según la geometría habitual, longitud por altura.

Esa es una cantidad de presión,$p$, veces una cantidad de cambio de volumen,$\Delta V$:

$$p\cdot \Delta V.$$

El volumen ya es área por desplazamiento, y la presión es fuerza por área, por lo que esto se reescribe fácilmente como fuerza por desplazamiento, que es lo que ya conocemos como trabajo realizado:

$$p\cdot \Delta V=\frac FA\cdot A\cdot \Delta s=F\cdot \Delta s=W.$$

Entonces, si alguna vez aplicas una presión que cambia el volumen de algo, lo que correspondería a una curva horizontal en un gráfico (cuando la presión es constante), entonces el trabajo que realizas es el área bajo esta curva. El área de la parte rectangular.

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Si la presión no es constante, entonces la curva no es horizontal. Entonces el área es más difícil de calcular que simplemente la longitud por la altura. Si no es posible con otros medios, aquí es donde la integración se vuelve útil.

Con la integración imaginamos el área dividida en muchas, muchas columnas que son muy, muy delgadas. De hecho, infinitas columnas infinitamente delgadas . Cuando una columna de este tipo es muy, muy delgada, entonces el cambio de volumen en esta parte del gráfico es muy, muy pequeño. En lugar de$\Delta V$, podríamos más bien indicar un cambio tan infinitamente pequeño como$\mathrm dV$. Cada una de estas columnas está muy cerca de un pequeño rectángulo, por lo que para cada una de ellas podemos calcular el trabajo como longitud por altura:

$$W_\text{column}=p\cdot \mathrm dV.$$

Después de encontrar el área de cada columna, ahora solo tenemos que sumarlas todas:

$$W=W_\text{column1}+W_\text{column2}+W_\text{column3}+\cdots$$ $$W=p_1\cdot \mathrm dV+p_2\cdot \mathrm dV+p_2\cdot \mathrm dV+\cdots$$ $$W=\sum p\cdot \mathrm dV.$$

Aquí usé el símbolo de suma,$\sum$, para indicar que están todos resumidos. En realidad, este símbolo se usa típicamente para tamaños no infinitesimales. Cuando las partes que se suman son básicamente infinitamente pequeñas, entonces el símbolo de suma,$\sum$, normalmente se reemplaza con un símbolo integral,$\int$, en cambio:

$$W=\int p\cdot \mathrm dV.$$

Esta es la versión general de la fórmula de trabajo que explica la idea del área bajo el gráfico. Y esa fue una introducción rápida a la integración.