Teoría final en Física: ¿una prueba matemática de existencia?

Este es un cuestionamiento interesante, en lugar de una pregunta, ya que no estoy seguro de cuál es la pregunta formulada, porque se cuestionan o cuestionan demasiados temas.

Creo que es diferente, pero muy relacionado con una pregunta anterior sobre la demostrabilidad física de la tesis de Church-Turing que afirma que cualquier dispositivo informático que se pueda construir no computará más de lo que es computable por una máquina de Turing.

Un problema con la tesis de Church-Turing es que el concepto de prueba en una teoría axiomática es fundamentalmente el mismo que el concepto de un programa de computadora , es decir, una Máquina de Turing. Esto no es en el sentido de que un programa pueda generar teoremas y pruebas, como en la presentación de Ron Maimon de la prueba de Gödel , sino porque un programa puede ser "leído" como una prueba de su especificación (" Dado un valor x tal que P( x) se cumple, hay un resultado y tal que Q(x,y) se cumple. ") y, a la inversa, una demostración puede leerse como un programa que realmente calcula todo lo que establece el teorema. Esta presentación es, por supuesto, una versión muy simplificada de un resultado de Curry y Howard (1980) que aún se investiga.

Por lo tanto, un problema importante con las posibles limitaciones de la calculabilidad, ya sea que existan tales limitaciones físicas o no, y si podemos probar o no la existencia de tales limitaciones, es que las pruebas matemáticas están directamente relacionadas con las mismas limitaciones. Un aspecto crucial de tales limitaciones, que abordaré más adelante, es la naturaleza numerable de los procesos intelectuales.

Podemos asumir, debemos asumir, que nuestra forma de hacer matemáticas, incluidas las teorías físicas, es consistente. Esta es realmente (al menos para mí) una visión física de esto: encontramos inconsistencias, generalmente llamadas paradojas, pero se resuelven (lo han sido hasta ahora) como inconsistencias experimentales en física, mediante refinamientos de las teorías y la evolución de conceptos a superar la dificultad y plantear los problemas apropiadamente.

Asumir que las matemáticas son esencialmente consistentes es esencial, porque cualquier cosa que podamos probar no debería ser cuestionada por extensiones futuras, si es que alguna es físicamente posible, de los conceptos de calculabilidad o demostrabilidad.

Ahora, algunos resultados hacen suposiciones profundas que no siempre son obvias de interpretar. En el caso del resultado de incompletitud de Gödel, un aspecto importante es que las fórmulas lógicas, los teoremas y las demostraciones se pueden codificar como números enteros. Esto significa que nuestros sistemas lógicos de deducción son fundamentalmente entidades numerables (como las máquinas de Turing). Si resultara que un gran avance en la física nos permitiera tratar de manera efectiva con sistemas no numerables, entonces los resultados que se basan en esta numerabilidad estarían en duda. Este es precisamente el caso del resultado de incompletitud de Gödel, como se indicó (posiblemente podría regresar en otra forma).

Abordé este aspecto de numerabilidad en mi respuesta a la pregunta sobre la demostrabilidad física de la tesis de Church-Turing . En ese momento, esta respuesta se basó completamente en mi comprensión informal de estos problemas. Con la intención de mejorar un poco mi respuesta, busqué literatura y el tema se está investigando activamente. Si bien mi conocimiento de esta literatura sigue siendo más que superficial, parece que mi intuición era correcta, que un manejo adecuado del carácter fundamentalmente discreto (o numerable) de la calculabilidad y demostrabilidad, es esencial en el estado actual del arte, para derivar la tesis de Church-Turing de las leyes de la física, y que la continuidad o los números reales son un tema importante.

Un enfoque que he analizado (estoy limitado a artículos en acceso abierto en la web) se basa en asumir una propiedad específica del mundo físico, presentada como dual de la limitación en la velocidad de la luz y la información, que es una limitación en la densidad espacial de la información, ambas limitaciones juntas aseguran la limitación de la densidad en el espacio-tiempo. La traducción de esta nueva ley en términos físicos en realidad puede ser sutil para dar cuenta de varias leyes físicas existentes. Esto aparentemente excluye el uso no regulado de números reales.

Si esta ley de densidad limitada se verifica realmente, creo que también significaría que el teorema de Gödel también es una consecuencia de las leyes físicas.

Si una ley de densidad de información tan limitada se verifica realmente es otra cuestión. Si no lo es, quedan puertas abiertas para una extensión de los conceptos de calculabilidad y demostrabilidad.

En tal caso, suponiendo que nuestras matemáticas sean por lo demás consistentes, todos los resultados demostrables seguirían siendo demostrables, pero podríamos ser capaces de demostrar nuevos teoremas que fueran verdaderos pero no demostrables en el escenario enumerable clásico.

Entonces, la respuesta a la pregunta de si una teoría de Todo evadiría el teorema de incompletitud de Gödel depende en gran medida de qué es Todo , ya que en realidad determina el contexto en el que deben definirse la calculabilidad o la demostrabilidad. ¿Incluiría una teoría del Todo una ley que limitara la densidad de información?

Tenga en cuenta que incluso si el resultado de Gödel es válido, podría haber una posibilidad de una teoría del Todo, en la que todos los hechos verdaderos con respecto al universo serían verdaderos. Es que no serías capaz de probarlo (para que el universo guardara algún misterio para que nos maravillemos en las noches estrelladas).

Por otro lado, no podría haber tal teoría del todo. Pero, ¿cuál sería la definición última de una teoría si la física nos permitiera cuestionar la naturaleza discreta del lenguaje en el que se expresan?

Por lo demás, además de tomar 42 como respuesta final, solo puedo sugerir dejar la matriz para obtener la Verdad sobre nuestro mundo, o leer Simulacron-3.

Existe la visión platónica/pitagórica de que las matemáticas existen en un espacio de ideas que la naturaleza cumple. En este caso, las pruebas matemáticas también tienen un significado para las observaciones.

Por otro lado, existe la opinión de que las teorías matemáticas que modelan la naturaleza nunca pueden probarse correctas, solo pueden ser validadas por datos o falsificadas incluso por un dato.

La respuesta a su resumen depende de la orientación filosófica del que responde.

RESUMEN:

1') ¿Existe una teoría final de la física? El tema de la existencia debería estar ligado a algunas de sus notables propiedades (probables).

En algún momento, cuando estaba aprendiendo mecánica cuántica, era de la escuela platónica: que las matemáticas son una matriz que la naturaleza va a cumplir. Después de años haciendo experimentos, soy del segundo punto de vista, cuanto más investigamos, más encontramos que no puede ser modelado por la última teoría; es una tarea de nunca acabar.

2') ¿Cómo podríamos probar su existencia o refutarla y por lo tanto probar que el único camino en Física es una secuencia infinita de teorías cada vez más precisas o que el Poliverso es aleatorio y/o caótico en el nivel más fundamental?

En mi opinión, una teoría nunca puede probarse, solo validarse con datos, por lo que esta pregunta no tiene respuesta.

3') ¿Cómo afectan 1') y 2') a los teoremas de Gödel?

En mi opinión, dado que es una búsqueda abierta de teorías matemáticas para describir datos, el teorema se cumple.

Mi idea de una teoría final es que todas las posibles situaciones factibles experimentalmente tendrán una respuesta calculable a partir de principios básicos de manera lógica. No creo que esto viole el teorema de Godel de ninguna manera. Por ejemplo en cualquier situación en geometría plana tendrá una respuesta calculable con precisión en ese sentido es completa.

La Física presupone las Matemáticas. Entonces, cualquier "Teoría Final de la Física" también necesitaría presuponer las Matemáticas para que tenga eficacia. Por lo tanto, debido a que esta 'Teoría Final debe presuponer las Matemáticas, no puede probar (o refutar) la validez de las Matemáticas. Asimismo, las Matemáticas presuponen la validez de la Lógica, por lo que las Matemáticas no pueden probar (o refutar) la validez de la Lógica. Por lo tanto, la Física no puede probar (o refutar) la validez de la Lógica o las Matemáticas. Dado que la Física no puede probar (o refutar) todas las leyes metafísicas (como la Lógica o las Matemáticas), la Física es incompleta.

Ahora podrías decir, bah, eso es simplemente matemática y lógica: metafísica, no física, lo cual es cierto, excepto que cualquier cosa física es necesariamente también metafísica, ya que se puede pensar que cualquier cosa que realmente existe existe. La física es un subconjunto de la metafísica. Podemos imaginar muchas cosas, incluso cosas imposibles, que en realidad no existen, pero nada de lo que realmente existe no puede ser 'no imaginado', ya sea que lo experimentemos directamente o no. El dominio de todas las cosas físicas debe ser un subconjunto del dominio de todas las cosas metafísicas. Entonces, si la física es metafísicamente incompleta, también debe ser incompleta físicamente, ya que la física es un subconjunto de la metafísica. Por lo tanto, tenemos buenas razones para creer que una 'Teoría Final de Física' debe estar incompleta.

A pesar de estas muy buenas razones para creer que 'La Teoría Final de la Física' debe ser incompleta, supongamos, por el bien del argumento, que tal teoría existió, y fue tanto consistente como completa, contradiciendo ambos Teoremas de Incompletitud de Gödel; tal teorema podría entonces probar su propia consistencia, la pregunta sería '¿Qué tan complejas serían las pruebas que involucran este teorema?' ¿Sería un problema NP-completo probar la consistencia o la integridad de esta 'La teoría final de la física'? ¿Qué hay de probar tanto la consistencia como la integridad?

Los siguientes son posibles:

Opción 1. Existe una 'Teoría Final de la Física' que es consistente y completa.

Aunque ya hemos demostrado que no podía estar completo, hemos supuesto lo contrario. Sabemos que hay problemas físicos en Mecánica Cuántica que son NP-Completos difíciles, por lo que si fuera una Teoría Final y completa, probar esto también sería un problema NP-Completo difícil ya que probar algunas de sus partes lo son. Un razonamiento similar muestra que probar su consistencia también sería NP-Completo, por lo que probar que esta teoría es completa y consistente llevará más allá de la edad del universo.

Opción 2. Existe una 'Teoría Final de la Física' que es consistente, pero no está completa, con las siguientes posibilidades:

2.1. Demostrar la consistencia de esta teoría es un problema NP-completo, por lo que efectivamente no es demostrable (al menos no en la edad del universo)

2.2. Probar la consistencia de esta teoría no es un problema NP-completo y se puede probar en una cantidad de tiempo finita.

Mirando 2.2, ya hemos demostrado que debido a que existen problemas NP-Completos en Mecánica Cuántica, que serían partes de la Teoría Final, probar la consistencia de la teoría es un problema NP-completo, lo que contradice nuestra presuposición en 2.2. Entonces la Opción 2.2 es imposible.

Opción 3. Existe una 'Teoría Final de la Física', que es completa, pero no consistente.

Debido a que la teoría en esta opción no es consistente, podemos probar y refutar que es completa, una contradicción. Cualquier teoría que se contradiga a sí misma es inútil como teoría. La 'Teoría Final' de esta opción es inútil.

Opción 4. No existe una 'Teoría final de la física' completa, pero existen aproximaciones agregadas cada vez mejores que son consistentes, pero no completas, que nos brindan una mejor comprensión de las leyes de la física a lo largo del tiempo (supongo que las leyes de la física son universales ya que la no universalidad de las leyes físicas es otro tema completamente diferente).

¿Qué podemos concluir de esto? Podemos concluir que incluso si existe tal Teoría Final que sea consistente, será imposible probar que es la 'Teoría Final', esté o no completa. Entonces, realmente no hay forma de saberlo una vez que hayamos descubierto la 'Teoría final'.