¿El descuido matemático en la mecánica cuántica produce alguna vez predicciones incorrectas?

No sé si esto responderá completamente a su pregunta, pero existe un gran debate sobre la definición adecuada de un operador de fase cuántica. En

1. Pegg, DT y SM Barnett. "Operador de fase unitaria en mecánica cuántica". EPL (Cartas de Eurofísica) 6.6 (1988): 483,
2. Barnett, Stephen M. y David T. Pegg. "Fase en óptica cuántica". Revista de Física A: Matemática y General 19.18 (1986): 3849.
3. Barnett, SM y DT Pegg. "Sobre el operador de fase óptica hermítica". Revista de óptica moderna 36.1 (1989): 7-19,
4. Pegg, DT y SM Barnett. "Propiedades de fase del campo electromagnético monomodo cuantificado". Revisión física A 39.4 (1989): 1665

David Pegg y Steve Barnett propusieron precisamente tal definición. Su sugerencia sigue siendo tema de debate. Puedes leer una crítica en

1. Bergou, János y Berthold-Georg Englert. "Operadores de la fase. Fundamentos". Anales de física 209.2 (1991): 479-505.

Una parte relevante dice:

La insistencia de que el$N\to\infty$límite se toma después de todo lo dicho y hecho no es de ayuda en nuestra opinión. Porque, ¿hace el mandato, recoger$N$suficientemente grande, dependiendo del estado del sistema físico, ¿no significa que los propios operadores son dependientes del estado? Para aquellos que, como nosotros, responden que sí, ¿no hace estragos esto en la linealidad de los “operadores”?

Básicamente, Bergou y Englert argumentan que Pegg y Barnett han hecho matemáticas descuidadas en alguna parte, tomando un resultado verdadero en algún límite y usándolo en el finito$N$régimen. Desafortunadamente, el jurado todavía está deliberando sobre quién tiene razón ya que no hay una decisión experimental disponible.

Un descuido del que muchos maestros son culpables es enseñar esta cosa engañosa:

El operador de posición$\hat{x}$tiene vectores propios$|x_0\rangle$que obedecen

$$\hat{x} |x_0\rangle = x_0|x_0\rangle$$ y están representados por distribuciones en el dominio de$x$:$\delta(x-x_0)$para diferentes$x_0$. (EQUIVOCADO)

Las predicciones incorrectas surgen cuando el estudiante usa esta "función de representación" como una condición inicial simple para averiguar cómo una función psi localizada se extiende en el tiempo, o para calcular el promedio esperado de la posición.

Permítanme demostrar el último caso: calcular el promedio esperado de posición en tal estado$|x_0\rangle$usando el algoritmo estándar, obtenemos

$$\langle x \rangle = \langle x_0|\hat{x}|x_0\rangle = x_0 \langle x_0|x_0\rangle$$ Es tentador poner$\langle x_0|x_0\rangle = 1$ahora, pero esto no es correcto, porque ya dijimos que$|x_0\rangle$está representado por la distribución delta. La expresión simplemente no está definida, ya que la integral $$\int \delta(x-x_0)\delta(x-x_0)dx$$ no está definido (o, a veces se dice que es infinito). Entonces, aquí el descuido de asumir que el operador de posición tiene vectores propios nos lleva a una predicción incorrecta de que no hay un promedio esperado de posición. Tal resultado sería correcto para, digamos, la distribución de Cauchy, pero es incorrecto para una distribución localizada que implícitamente asumimos describir aquí. Para cualquier función psi bien localizada alrededor$x_0$, la respuesta correcta está cerca de$x_0$.

La forma correcta de manejar esto es enseñar que el operador de posición no tiene funciones propias, pero podemos asignarle vectores propios impropios$|x_0\rangle$que sin embargo no son funciones psi realizables. Entonces, el hecho de que el mismo operador de posición utilizado para definir tales kets no tenga un promedio esperado para tales kets no es un problema, porque los kets físicos nunca pueden ser iguales a tales kets.