¿Por qué los cohetes son tan grandes?

El problema es lo que descubrió Konstantin Tsiolkovsky hace 100 años: a medida que aumenta la velocidad, la masa requerida (en combustible) aumenta exponencialmente . Esta relación , en concreto, es

$$\Delta v=v_e\ln\left(\frac{m_i}{m_f}\right)$$ dónde $v_e$es la velocidad de escape, $m_i$la masa inicial y $m_f$la masa final.

Lo anterior se puede reorganizar para obtener

$$m_f=m_ie^{-\Delta v/v_e}\qquad m_i=m_fe^{\Delta v/v_e}$$ o tomando la diferencia entre los dos, $$M_f=1-\frac{m_f}{m_i}=1-e^{-\Delta v/v_e}$$ dónde $M_f$es la fracción de masa de escape.

Si asumimos que partimos del reposo para alcanzar los 11,2 km/s (es decir, la velocidad de escape de la Tierra ) con una constante$v_e=4$km/s (velocidad típica de los cohetes de la NASA), necesitaríamos

$$M_f=1-e^{-11.2/4}=0.939$$ ¡lo que significa que casi el 94% de la masa en el lanzamiento debe ser combustible! Si tenemos una embarcación de 2000 kg (aproximadamente del tamaño de un automóvil), necesitaríamos casi 31 000 kg de combustible en una embarcación de ese tamaño. El propulsor líquido tiene una densidad similar a la del agua (por lo que 1000 kg/m $^3$), entonces necesitarías un objeto con un volumen de 31.0 m $^3$para sostenerlo El interior de nuestro objeto del tamaño de un automóvil sería de alrededor de 3 m. $^3$, un factor de 10 demasiado pequeño!

¡Esto significa que necesitamos una embarcación más grande , lo que significa más combustible! Y explica por qué esta relación masa-velocidad ha sido denominada " la tiranía del problema de los cohetes ".

Esto también explica el hecho de que los cohetes modernos sean de varias etapas . En un intento de aliviar el combustible requerido, una vez que una etapa usa todo su combustible, se libera del cohete y se enciende la siguiente etapa (hacer esto en tierra es peligroso por razones obvias, por lo que la NASA lanza cohetes sobre el agua ), y la masa de la nave se reduce por la masa del escenario (vacío). Se puede encontrar más sobre esto en estas dos publicaciones de Physics.SE:

• ¿Por qué los cohetes tienen múltiples etapas?
• ¿Por qué los cohetes arrojan tanques de combustible?

TL; DR: esta respuesta llega aproximadamente a la misma conclusión que la respuesta de Kyle Kanos , es decir, además de las consideraciones de carga útil, la dificultad radica en llenar un pequeño cohete con una masa de combustible que excede la masa del propio cohete. Esta respuesta, sin embargo, es más rigurosa en cuanto a cómo el$\Delta v$se trata el presupuesto.

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La ecuación del cohete:

Considere la ecuación del cohete de Tsiolkovsky , que describe el movimiento de los vehículos que se impulsan expulsando parte de su masa con cierta velocidad. A continuación se proporciona una versión simplificada que solo tiene en cuenta la gravedad (constante) y el empuje:

$$\Delta v(t) = v_e \cdot \ln \frac{m_0}{m(t)} - g\left(\frac{m_f}{\dot m}\right)$$ dónde $v_e$es la velocidad de escape efectiva, $m_f$es la masa del combustible a bordo, $\dot m$es la tasa de quema de masa (constante con respecto al tiempo), $m_0$es la masa inicial del cohete y $m(t)$es la masa actual del cohete.

Tenga en cuenta que esto es esencialmente una ecuación de intercambio de impulso: tiene una cantidad finita de impulso disponible de la expulsión de combustible, que debe gastar en aumentar la velocidad del cohete + el sistema de combustible restante, así como en vencer la gravedad (es decir, arrastrar el planeta cada vez más). tan levemente). Una forma de la ecuación de Tsiolkovsky que no tenga esto en cuenta (como en la otra respuesta) le dará resultados no físicos.

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Variables restringidas:

Ahora bien, ¿con qué podemos jugar en esta ecuación? Asumiendo$t_{escape}$es el momento en que el cohete escapa de la gravedad de la Tierra:

1. $\Delta v(t_{escape})$es simplemente nuestra velocidad de escape deseada (suponiendo que el cohete parte del reposo), que está dictada por el lugar al que intentamos enviar el cohete
2. $m(t_{escape})$será óptimamente la masa del cohete sin combustible
3. La velocidad de escape efectiva$v_e$y la tasa de flujo másico$\dot m$son una función del tipo de motor/propulsor disponible

Esto significa que ninguna de estas cantidades es negociable; estamos limitados por las demandas de la misión y la tecnología disponible.

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Desarrollando una relación entre el cohete y la masa de combustible:

Todo lo que nos queda para jugar son las masas iniciales del combustible para cohetes.$m_f$y cuerpo de cohete$m_r$. Sustituyamos en los valores de$v$y$m$en el instante en que el cohete escapa de la gravedad, observando que$m_0 = m_f + m_r$:

$$\begin{align} v_{escape} & = v_e \cdot \ln \frac{m_f + m_r}{m_r} - g\left(\frac{m_f}{\dot m}\right)\\ & = v_e \cdot \ln\left(1 + \frac{m_f}{m_r}\right) - g\left(\frac{m_f}{\dot m}\right) \end{align}$$

Reordenando, tenemos:

$$m_r = m_f \cdot \left(\exp\left(\frac{v_{esc} + g\left(\frac{m_f}{\dot m}\right)}{v_e}\right) -1\right)^{-1}$$

Tenga en cuenta que esto proporciona efectivamente$m_r$como una función de$m_f$, ya que todos los demás parámetros están fijados por las limitaciones de la misión y el equipo, así como por las constantes ambientales. Dado que la relación no es inmediatamente obvia, aquí hay una trama de$m_r$contra$m_f$para valores seleccionados de las constantes:

En rojo, tenemos un gráfico de la masa del cohete frente a la masa de combustible inicial, mientras que en azul tenemos un gráfico de la relación entre la masa de combustible inicial y la masa total. ¡ Tenga en cuenta que el eje del gráfico azul comienza en 0,9 ! Esto indica que, independientemente de la masa del cohete que haya elegido, la masa inicial neta de su vehículo debería consistir casi en su totalidad en combustible.

Entonces, ¿qué significa esto?

Llenar un vehículo con una masa de combustible superior a la propia es cada vez más difícil para los cohetes pequeños, pero no tanto para los cohetes mucho más grandes (piense en cómo el volumen encerrado de un cuerpo hueco escala en función de la masa). Es por eso que hacer cohetes cada vez más pequeños se vuelve cada vez más difícil.

Además, un límite mínimo en la masa del cohete que podemos elegir viene impuesto por el peso de la carga útil que debe llevar, que puede ser desde un satélite hasta una sola persona.

Límite superior de carga útil:

Algo muy interesante sucede cerca del punto de inflexión de la curva de masa del cohete - masa de combustible. Antes del punto de inflexión, agregar más combustible nos permitió izar una carga útil más grande a la velocidad deseada.

Sin embargo, en algún lugar alrededor$4 \cdot 10^6$kg de masa de combustible (para nuestros valores de parámetros seleccionados) ¡descubrimos que agregar más combustible comienza a disminuir la carga útil que se puede izar! Lo que está sucediendo aquí es que el costo del combustible adicional que tiene que luchar contra la gravedad comienza a ganar contra el beneficio de tener una alta relación de masa de combustible a carga útil.

Esto muestra que existe un límite superior teórico para la carga útil que se puede izar en la Tierra utilizando la tecnología de propulsores que tenemos disponible. No es posible simplemente seguir aumentando la carga útil y las masas de combustible en la misma proporción para levantar cargas arbitrariamente grandes, como se sugeriría al usar la ecuación de Tsiolkovsky sin términos adicionales para la gravedad.

Considere el problema a partir de una relación, ¿cuál es la relación entre la masa utilizada para levantar el cohete (combustible) y la masa finalmente puesta en órbita (cabina de mando)? Esa proporción será muy similar con respecto a los objetos más pequeños que deben ponerse en órbita. Si usa la misma relación o proporción para calcular la masa de combustible necesaria para una embarcación pequeña, descubrirá que ni siquiera puede llevar el dispositivo que contiene el combustible. Esta es también la razón por la cual los cohetes usan etapas.

El tipo de combustible utilizado también tiene un impacto, pero esos son detalles que necesitan una nueva pregunta.

Porque la mayoría de las cargas útiles son bastante pesadas. No estoy seguro de qué tipo de cargas útiles tenía en mente, no soy un experto en esto, pero creo que la mayoría de los lanzamientos contienen satélites, que pueden ser más pesados ​​de lo que piensa, por ejemplo, el satélite en este documental de la BBC pesa 6000 kg. Y según Wikipedia, los satélites miniaturizados pesan menos de 500 kg (lo normal es que pesen más). Y algunos de esos satélites miniaturizados están utilizando el exceso de capacidad en vehículos de lanzamiento más grandes.

Y creo que los cohetes más pequeños experimentarán la turbulencia de nuestra atmósfera con mucha violencia. Piense también en los costos relativamente más altos en términos de personal (como el control de la misión). Y también esperaría que ciertos aspectos no escalaran linealmente en tamaño, pero por ser esto sería solo una especulación. xxxxxx

Principalmente porque necesitas mucha velocidad para ir al espacio, y para cada velocidad, necesitas acelerar. Si necesita una velocidad alta, deberá acelerar durante mucho tiempo, por lo que necesitará una gran cantidad de combustible. También debe compensar la gravedad en todo el levantamiento.

Hay formas de reducir ese requerimiento de combustible, como un despegue horizontal, alcanzas una gran altitud y luego despegas, así que mantienes el motor, pero aún necesitas mucha energía para luchar contra la gravedad, y las alas no pueden levantarte mucho. alto, por lo que no sería una buena economía de combustible, y el avión aún requeriría ser bastante grande.

$E = mc^2$

Cuanto mayor sea la masa, más energía se puede producir. Y todavía no hemos encontrado ningún combustible que en pequeñas cantidades proporcione la cantidad de energía necesaria. Sé que estarás pensando en la energía nuclear; no podemos instalar un reactor nuclear dentro de un cohete con la tecnología actual, e incluso si podemos instalarlo, no creo que nuestro conocimiento actual de la ciencia nuclear sea suficiente para garantizar reactores libres de accidentes a tales velocidades.