¿Por qué los cohetes tienen múltiples etapas?

Editado un poco ahora que entiendo mejor tu pregunta.

Corto
En una etapa múltiple, el peso de las piezas que se caen a lo largo del viaje compensa el hecho de que los motores adicionales lo hacen más pesado al principio. En parte porque el motor de un cohete no es tan pesado en comparación con el tanque de combustible. El motor en su mayoría solo enciende y controla la combustión, mientras que el tanque de combustible debe ser enorme.

Long
voy a analizar el caso muy óptimo, en el que la energía gastada es la energía mínima necesaria para poner su cohete en órbita. Los casos reales van mucho más allá de esto y ni siquiera es práctico hacer un balance de energía. Thornton & Marion hace un gran análisis (a nivel de pregrado) usando impulso lineal.

Para lanzar un cohete de una sola etapa, hay un tamaño específico que minimiza la energía necesaria. El peso de su cohete (solo el casco, no el combustible) aumenta con el tamaño$P_R=g\rho V$. Y la cantidad mínima de energía necesaria para poner su cohete en órbita obviamente aumenta con su peso:

Entonces, si el cohete es demasiado pequeño, la poca cantidad de combustible que puede colocar en él no contiene suficiente energía para levantar el casco. Si el cohete es demasiado grande, entonces solo estás desperdiciando energía porque es innecesariamente pesado. Eso significa que tiene un tamaño óptimo que minimiza la energía de un cohete de una sola etapa. Una vez que lo encuentre, la cantidad de combustible asociada a ese tamaño es el mínimo que necesitará para poner su cohete en órbita.

Ahora considere un cohete del mismo tamaño, pero con 2 etapas. Supongamos que tiene un motor extra de peso$p_e$. Supongamos también que, cuando su cohete alcanza una altura$h/2$más que$1/3$de su tanque estará vacío (lo cual es cierto). Dado que esa parte de mi tanque está vacía, también podría dejarlo atrás (junto con el motor) y soltar el peso muerto (lo llamaré$p_t$). Si lo dejo caer en$h/2$la energía que necesitaré para alcanzar la órbita es

El peso de lanzamiento sería menor si tuviera una carga de combustible fija y solo un motor y un tanque de combustible. Sin embargo, el impulso específico aplicado a la carga útil sería menor. El problema es que incluso cuando el combustible se agota en un 90%, el cohete todavía está tratando de acelerar el tanque de combustible y el motor, ahora extremadamente grandes. Entonces, el truco es tratar de reducir el peso muerto (masa estructural) a medida que se consume el combustible. Otro sistema de compromiso es tener tanques de combustible externos desechables, como el transbordador, que se desechan una vez que se consume su combustible.

Como escribió Omega Centauri, se trata principalmente de eliminar la masa del tanque no utilizada; para números, consulte el artículo de Wikipedia sobre la ecuación de Ciołkowski , especialmente el ejemplo allí.

La forma más fácil de pensarlo es esta, imagina toda la masa que queda cuando un cohete ha quemado el 85% de su combustible. La masa de la mayor parte del tanque y la estructura ahora es excesiva y desperdiciada. Sería bueno poder deshacerse de esa masa adicional para que el combustible restante pueda acelerar solo la carga útil.

Eso es lo que hace un cohete de etapas múltiples. Se deshace de la masa de las etapas iniciales para que el combustible y el empuje restantes puedan acelerar una masa mucho más pequeña a una velocidad mucho más alta de lo que habría sido posible si solo hubiera una etapa. Recuerde que la aceleración es proporcional a la masa, por lo que si puede deshacerse de, digamos, el 80 % de la masa, entonces puede acelerar la carga útil 5 veces más por el mismo combustible restante.

Otro beneficio es que puede usar motores de cohetes que están ajustados para diferentes velocidades. En la etapa inicial, necesita el máximo empuje y el cohete no se mueve tan rápido. En las etapas posteriores, desea motores de alta eficiencia, no necesariamente de alto empuje.

Para obtener velocidades muy altas, se requiere menos combustible y masa en general con múltiples etapas. Esto tiene el costo de una mayor complejidad y costo.

Otro aspecto a considerar son las características de combustión de los motores cohete. Esto es especialmente importante en los motores de cohetes sólidos porque una vez encendidos, se autooxidan y no son fáciles de apagar.

A bajas altitudes, el cohete no debe acelerar demasiado rápido porque el aire es muy denso y la potencia requerida es proporcional a la velocidad al cubo. Así que solo quieres que la cosa funcione hasta que alcances una altitud donde el aire sea menos denso y sea más económico ir rápido. Por lo tanto, es posible que tenga una primera etapa que se queme con relativa lentitud.

Una vez que se quema y alcanza una altitud más alta donde puede ir más rápido, suelta su motor de "combustión lenta" y enciende su potente motor. Ahora la densidad del aire es mucho menor, por lo que puede acelerar tan rápido como desee y alcanzar la velocidad que necesite.

Se podría usar una tercera etapa para ajustar la velocidad y colocar la nave en cualquier órbita o trayectoria que se necesite.

Además, debido a que la presión del aire disminuye con la altitud, la forma ideal de la boquilla no es la misma a baja altitud que a gran altura. Una tobera sobreexpandida al nivel del mar puede ser una tobera subexpandida en altitud, lo que da como resultado un rango muy estrecho en el que opera con la máxima eficiencia.

Podría diseñar boquillas adaptables, pero son muy pesadas y costosas, y en realidad no pueden fabricarse para dar servicio a toda la gama. O bien, podría tener etapas con boquillas fijas diseñadas para ser lo más eficientes posible en el rango de altitudes a las que se presta servicio.

Por lo tanto, además de las respuestas anteriores sobre la reducción de peso a medida que avanza, lo que resulta en un menor uso de combustible, cada etapa también puede diseñarse para tener en cuenta el régimen operativo y las necesidades seleccionando cuidadosamente el combustible para las tasas de empuje/combustión adecuadas y diseñando el boquilla para las condiciones nominales de operación para las altitudes a las que da servicio el motor. Ambos conducen a un motor mucho más eficiente y, por lo tanto, a menos combustible.