¿De dónde viene la energía cinética extra del cohete?

Has notado que a altas velocidades, un pequeño cambio en la velocidad puede causar un gran cambio en la energía cinética. Y eso significa que el empuje debido a la quema de combustible parece ser capaz de contribuir con una cantidad arbitrariamente alta de energía, posiblemente superando la energía química del propio combustible.

¡La resolución es que toda esta lógica se aplica también al combustible! Cuando el combustible se agota, pierde gran parte de su velocidad, por lo que la energía cinética del combustible disminuye mucho. La energía cinética adicional del cohete proviene de esta contribución adicional, que puede ser arbitrariamente grande.

Por supuesto, la energía cinética del combustible no surgió de la nada. Si no usa pozos de gravedad, esa energía provino del combustible que quemó anteriormente, que se usó para acelerar tanto el cohete como todo el combustible que contiene. Entonces todo sale bien, no obtienes nada gratis.

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Para aquellos que quieran más detalles, esto se llama efecto Oberth , y podemos hacer un cálculo rápido para confirmarlo. Suponga que el combustible es expulsado del cohete con una velocidad relativa$u$, una masa$m$de combustible es expulsado, y el resto del cohete tiene masa$M$. Por conservación de la cantidad de movimiento, la velocidad del cohete aumentará en$(m/M) u$.

Ahora suponga que el cohete inicialmente tiene una velocidad$v$. El cambio en la energía cinética del combustible es

$$\Delta K_{\text{fuel}} = \frac12 m (v-u)^2 - \frac12 mv^2 = \frac12 mu^2 - muv.$$ El cambio en la energía cinética del cohete es $$\Delta K_{\text{rocket}} = \frac12 M \left(v + \frac{m}{M} u \right)^2 - \frac12 M v^2 = \frac12 \frac{m^2}{M} u^2 + muv.$$ La suma de estos dos debe ser la energía química total liberada, que no debe depender de$v$. Y de hecho, el extra$muv$término en$\Delta K_{\text{rocket}}$es cancelado exactamente por el$-muv$término en$\Delta K_{\text{fuel}}$.

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A veces, este problema se plantea con un automóvil en lugar de un cohete. Para entender este caso, tenga en cuenta que los automóviles solo avanzan debido a las fuerzas de fricción con el suelo; todo lo que hace el motor de un automóvil es girar las ruedas para producir esta fuerza de fricción. En otras palabras, mientras que los cohetes avanzan empujando el combustible del cohete hacia atrás, los automóviles avanzan empujando la Tierra hacia atrás.

En un marco donde la Tierra está inicialmente estacionaria, la energía asociada con darle a la Tierra una velocidad pequeña es insignificante, porque la Tierra es pesada y la energía tiene una velocidad cuadrática. Una vez que cambias a un marco donde la Tierra se está moviendo, ralentizar la Tierra en la misma cantidad cosecha una gran cantidad de energía, nuevamente porque la energía es cuadrática en velocidad. De ahí viene la energía extra del coche. Más precisamente, se realiza el mismo cálculo que el anterior, pero debemos reemplazar la palabra "combustible" con "Tierra".

La conclusión es que la energía cinética difiere entre marcos, los cambios en la energía cinética difieren entre marcos e incluso la dirección de la transferencia de energía difiere entre marcos. Todo sigue funcionando, pero debes tener cuidado de incluir todas las contribuciones a la energía.

Otra forma mucho más clara de ver el efecto del efecto Oberth es cuando agregas la energía potencial a la ecuación.

Cuando realiza una quema de cohetes dentro del pozo de gravedad de un cuerpo masivo, el propulsor termina en una órbita más baja que si realiza la quema de cohetes fuera del pozo gravitacional.

La diferencia en la energía potencial del propulsor será igual a la diferencia en la energía cinética de su sonda espacial.

Suponga que el cohete sin combustible tiene peso$M$, el combustible tiene peso$m$, y el motor cohete funciona enviando el combustible instantáneamente hacia atrás con una velocidad$v_e$con respecto a la velocidad inicial del cohete. Por lo tanto, por conservación de la cantidad de movimiento, la ganancia de velocidad del cohete es

$$\Delta v_\text{rocket} = \frac{m}{M} v_e.$$

La ganancia de energía cinética en el sistema en el marco de referencia COM es

$$\Delta T = \frac{1}{2} M (\Delta v_\text{rocket})^2 + \frac{1}{2} m v_e^2.$$ Esta es la energía química. $E_\text{chemical}$liberado al quemar el combustible (asumiendo una eficiencia perfecta).

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Ahora, ¿qué sucede cuando quemamos prograde , es decir, aceleramos hacia la dirección de nuestra velocidad?

Supongamos que inicialmente el combustible está en el cohete y están en una órbita con energía orbital.$E_0$, que es la suma de la energía cinética y la energía potencial,

$$E_0 = T_0 + V_0 = \frac{1}{2} (M+m) v_0^2 - \frac{\gamma(M+m)}{r_0},$$ dónde $v_0$es la velocidad del cohete antes de la quema, $r_0$es la distancia del cohete al centro del cuerpo central antes de la quema, y $\gamma$es el parámetro gravitatorio del cuerpo central. Ahora $r_0$es el parámetro que podemos elegir eligiendo cuándo quemar, $E_0$es una constante determinada por nuestra órbita inicial, y $v_0$es entonces una función de $E_0$y nuestra elección de $r_0$.

Después del encendido, la velocidad del cohete es$v_0 + \Delta v_\text{rocket}$y la energía orbital del cohete es

$$E_\text{rocket} = T_\text{rocket} + V_\text{rocket} = \frac{1}{2} M (v_0+\Delta v_\text{rocket})^2 - \frac{\gamma M}{r_0} = \frac{1}{2} M \left( v_0+\frac{m}{M} v_e \right)^2 - \frac{\gamma M}{r_0},$$ y la velocidad del combustible es $v_0 - v_e$y la energía orbital del combustible es $$E_\text{fuel} = T_\text{fuel} + V_\text{fuel} = \frac{1}{2} m (v_0- v_e)^2 - \frac{\gamma m}{r_0}.$$

Como has visto, el efecto Oberth es que el cohete termina con más energía cinética si la quema se realiza a mayor$v_0$y más pequeño$r_0$(al mantener el$E_0$constante).

La energía potencial total sigue siendo la misma, pero la energía cinética total cambia, lo que resulta en un cambio en la energía total del cohete y el combustible,

$$(E_\text{rocket} + E_\text{fuel}) - E_0 = (T_\text{rocket} + T_\text{fuel}) - T_0 = \frac{1}{2} \frac{m^2}{M} v_e^2 + \frac{1}{2} m v_e^2 = \frac{1}{2} M (\Delta v_\text{rocket})^2 + \frac{1}{2} m v_e^2.$$ ¡Esto es lo mismo sin importar dónde se realice la quemadura! También es lo mismo que en el marco de referencia inicial del sistema cohete+combustible, por lo que es la energía química $E_\text{chemical}$utilizado en la quemadura.

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Ahora la pregunta es, ¿cómo depende la ganancia de energía del cohete de la elección de cuándo quemar (es decir,$r_0$, asumiendo$E_0$es constante)?

La velocidad inicial del sistema cohete+combustible,$v_0$se obtiene en términos de$r_0$como

$$v_0 = \sqrt{2 \frac{E_0}{M+m} + \frac{2\gamma}{r_0}}.$$

La ganancia de energía cinética del cohete (sin contar el combustible) al pasar de$v_0$a$v + \Delta v_\text{rocket}$es

$$\begin{align*} \Delta T_\text{rocket} &= \frac{1}{2} M ( v_0 + \Delta v_\text{rocket})^2 - \frac{1}{2} M v_0^2 = M v_0 \Delta v_\text{rocket} + \frac{1}{2} M (\Delta v_\text{rocket})^2 \\ &= M \Delta v_\text{rocket} \sqrt{2 \frac{E_0}{M+m} + \frac{2\gamma}{r_0}} + \frac{1}{2} M (\Delta v_\text{rocket})^2. \end{align*}$$ Esta fórmula es un poco complicada pero, como has visto, la ganancia es mayor cuando $r_0$es menor, es decir, cuando la energía potencial gravitacional es menor. Debido a que el aumento en la suma de las energías cinéticas del cohete y el combustible no depende de $r_0$, la explicación matemática es que la ganancia de energía proviene del hecho de que la energía cinética del combustible disminuye más : $$\Delta T_\text{fuel} = E_\text{chemical} - \Delta T_\text{rocket} = \frac{1}{2} m v_e^2 - M \Delta v_\text{rocket} \sqrt{2 \frac{E_0}{M+m} + \frac{2\gamma}{r_0}}.$$

El punto clave de esta pregunta es que intuitivamente parece que la conservación de la energía no está funcionando bien. Un cohete es impulsado por una reacción química que libera energía química a una velocidad constante. Entonces, ¿cómo puede una tasa constante de liberación de energía conducir a un mayor aumento en KE cuando se va rápido?

Para entender esto, es útil considerar un cohete “modelo de juguete” que opera con los mismos principios, pero es más fácil de analizar. Específicamente, consideremos una bola de 10 kg (cohete) y una bola de 1 kg (escape) que está unida a un resorte sin masa (combustible).

Suponga que este resorte tiene suficiente energía almacenada para que, cuando el cohete esté inicialmente en reposo, pueda impulsarlo a 1 m/s y, por conservación de la cantidad de movimiento, el escape se propulse a -10 m/s. Por el contrario, si el cohete comienza a 5 m/s, luego de “quemar” el combustible, el cohete se impulsa a 6 m/s y el escape se mueve a -5 m/s.

Así que ahora vamos a comprobar la energía. En el primer caso, la KE del cohete aumentó de 0 J a 5 J, mientras que en el segundo caso aumentó de 125 J a 180 J. El resorte almacena la misma cantidad de energía en ambos casos, entonces, ¿por qué la KE aumenta en 5 J a baja velocidad y 55 J a alta velocidad?

Note que nos olvidamos de calcular la energía que entró en el escape. Este es el error central de la mayoría de estos análisis. En el primer caso la KE del escape aumentó de 0 J a 50 J, mientras que en el segundo caso la KE fue de 12,5 J antes y después. Entonces, en ambos casos, el cambio total en KE (tanto el cohete como el escape) fue de 55 J.

A velocidades bajas, la mayor parte de la energía del combustible se “desperdicia” en la KE del escape. A velocidades más altas, más entra en el cohete y menos en el escape. Para un cohete real, lo mismo sucede de manera continua. Tanto la energía como el impulso se conservan y, de hecho, se entrega más potencia al vehículo a medida que aumenta la velocidad con un empuje constante.

He visto aparecer este escenario en discusiones más de una vez (como aquí , aquí y aquí ), así que decidí poner esto como una publicación. Si esto es demasiado para leer, vaya a la sección Algunas conclusiones al final.

La pregunta se refiere a la compatibilidad de la energía cinética y la relatividad galileana. ¿Cómo es posible que el mismo impulso$u\rightarrow u+\Delta v$corresponde a diferentes aumentos de energía cinética para el mismo impulso$\Delta v$en diferentes velocidades iniciales$u$?

Hay una serie de escenarios similares al publicado por OP. Por ejemplo, supongamos que una persona está en una nave espacial (en movimiento uniforme) y lanza una pelota en la dirección de avance de la nave espacial. Si estuviéramos considerando el marco donde la nave espacial está inicialmente estacionaria, entonces la pelota se habría estado moviendo en, digamos$10\text{ m/s}$. Pero en el marco donde la nave espacial se mueve hacia adelante en$u = 100\text{ m/s}$, entonces la pelota se mueve a$110\text{ m/s}$. los$\Delta v = 10\text{ m/s}$corresponde a diferentes aumentos de energía cinética en los dos escenarios.

Del mismo modo, podemos considerar una nave espacial que emite gases de escape en partes discretas (para simplificar el problema), lo que resulta en impulsos discretos. el impulso$0\text{ m/s}\rightarrow 100\text{ m/s}$corresponde a un aumento diferente en KE que el impulso$1000\text{ m/s}\rightarrow 1100\text{ m/s}$, aunque es exactamente el mismo proceso.

Ambos escenarios involucran alguna energía potencial inicial (energía química en la persona o energía química en el combustible de la nave espacial) que se convierte en energía cinética que resulta en un cambio en la velocidad de un objeto. En el primer escenario, una persona gasta algo de energía para lanzar la pelota. En el segundo escenario, hay una explosión que empuja el cohete hacia adelante y expulsa los gases de escape.

Consideraré ambos casos analizando el caso de un "lanzador de resorte" que lanza una caja en alguna dirección. El problema es idéntico a los dos escenarios anteriores para todos los efectos aquí.

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Análisis erróneo

Podemos considerar el caso en el que tenemos un "lanzador de resorte" con energía potencial$U$que lanza una caja de masa$m$. A continuación mostramos el escenario en el marco donde la caja está inicialmente en reposo. Primero, daré el cálculo equivocado e ingenuo que muchas personas tienden a hacer en este experimento mental.

Suponiendo que la masa del resorte es insignificante, un cálculo ingenuo que utiliza la conservación de la energía implica$KE = U$y nos lleva a decir que la caja se lanza con velocidad$v = \sqrt{2U/m}$.

Ahora considere el mismo escenario donde el lanzador de resorte y la caja se mueven inicialmente a velocidad$u$. Una vez más, haré un cálculo equivocado e ingenuo para resaltar la confusión que la gente pueda tener.

Tenemos un aumento en la energía cinética.$\Delta KE = U$, asi que$KE_{\text{final}} = KE_{\text{initial}} + U$, y entonces

$$v' = \sqrt{ \frac{2U}{m} + u^{2} }.$$ Claramente, no tenemos$v' = v + u$, que parece mostrar ingenuamente que el resorte no es invariante de Galileo. Un poco diferente, podemos insistir en que la caja está impulsada desde$u$a$u+\Delta v$por lo mismo$\Delta v$en todos los marcos, pero entonces la ganancia de energía sería inconsistente. De cualquier manera, parece que tenemos un problema.

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Análisis correcto

El problema en el análisis anterior es que no tenemos en cuenta la tercera ley de Newton. La pared a la que está unido el resorte tiene una masa distinta de cero y finita, y por la tercera ley de Newton será empujada hacia atrás. Un análisis correcto tendría que tener en cuenta tanto el objeto lanzado como el retroceso al lanzador.

Supongamos que hay un lanzador de resorte con energía potencial inicial$U$que está unido a una masa$m_{1}$que lanza una masa$m_{2}$. Considere un marco donde todo el sistema está inicialmente en reposo.

Teniendo en cuenta tanto la conservación de la cantidad de movimiento como la conservación de la energía, tenemos

$$\begin{align} m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2} &= 0, \\ \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2} &= U. \end{align}$$ Resolviendo para ambos, y teniendo en cuenta que la masa$m_{1}$es empujado en el$-x$-dirección y masa$m_{2}$es empujado en el$+x$-dirección, obtenemos $$\begin{align} v_{1} = -\left[ \frac{2U}{m_{1}\left(1 + \frac{m_{1}}{m_{2}}\right)} \right]^{1/2} \qquad\text{ and }\qquad v_{2} = \left[ \frac{2U}{m_{2}\left(1 + \frac{m_{2}}{m_{1}}\right)} \right]^{1/2}. \end{align}$$

Ahora considere el caso más general en el que todo el sistema se mueve inicialmente a una velocidad$u$.

Teniendo en cuenta tanto la conservación de la cantidad de movimiento como la conservación de la energía, tenemos

$$\begin{align} m_{1}v_{1}' + m_{2}v_{2}' &= (m_{1} + m_{2})u, \\ \frac{1}{2}m_{1}v_{1}'^{2} + \frac{1}{2}m_{2}v_{2}'^{2} &= U + \frac{1}{2}(m_{1}+m_{2})u^{2}. \end{align}$$ Usando la primera ecuación para escribir$v_{2}'$en términos de$v_{1}'$y reemplazando esto en las segundas ecuaciones, obtenemos la ecuación cuadrática $$v_{1}'^{2} \left[ m_{1} + \frac{m_{1}^{2}}{m_{2}} \right] - v_{1}' \left[ 2m_{1}\left(1 + \frac{m_{1}}{m_{2}}\right) \right] + m_{2}\left(1 + \frac{m_{1}}{m_{2}}\right)^{2}u^{2} - (m_{1} + m_{2})u^{2} - 2U = 0.$$ Aplicando la fórmula cuadrática y simplificando mucho, obtenemos $$v_{1}' = u - \left[ \frac{2U}{m_{1}\left(1 + \frac{m_{1}}{m_{2}}\right)} \right]^{1/2}$$ donde elegimos la raíz cuadrada negativa porque la masa$1$se lanza en el$-x$-dirección. Una derivación similar produce $$v_{2}' = u + \left[ \frac{2U}{m_{2}\left(1 + \frac{m_{2}}{m_{1}}\right)} \right]^{1/2}$$ donde elegimos la raíz cuadrada positiva porque la masa$2$se lanza en el$+x$-dirección.

Vemos que una vez que tomamos en cuenta la tercera ley de Newton y la conservación del momento, el sistema exhibe invariancia galileana, la energía se conserva y los aumentos de velocidad son los mismos sin importar cuál fue la velocidad inicial del sistema.

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Algunas conclusiones

Vale la pena reflexionar sobre cómo se redistribuye la energía entre ambas cajas para diferentes velocidades iniciales.$u$.

En el caso de que la velocidad inicial sea$u=0$, la liberación del resorte hace que la energía potencial$U$para convertirse en energía cinética, y la energía luego se comparte entre ambas cajas.

Lo mismo se puede decir si todo el sistema caja 1 + caja 2 tiene una pequeña velocidad inicial$0 < u < \epsilon$(Solo consideraré los casos con positivo$u$; los casos con negativo$u$son similares). Ambas cajas comienzan con una pequeña energía cinética y, después de soltar el resorte, ambas cajas obtienen energía cinética de la energía potencial almacenada en el resorte.

Sin embargo, cuando la velocidad inicial excede

$$u_{0} = \frac{1}{2}\left[\frac{2U}{m_{1}\left(1 + \frac{m_{1}}{m_{2}}\right)}\right]^{1/2},$$ se puede decir algo interesante. Si$u > u_{0}$, entonces la liberación del resorte hace que la caja 1 pierda energía cinética (porque ahora pierde velocidad general al ser empujada hacia atrás). Por supuesto, la energía cinética perdida se transfiere a la caja 2 junto con la energía potencial liberada del resorte.

Esto muestra exactamente por qué está presente la relación no lineal entre la energía cinética y la velocidad. La relación cuadrática significa que un cohete espacial en el caso de un impulso$v\rightarrow v + \Delta v$gana más energía cinética que en el caso de un impulso$0\rightarrow \Delta v$por lo mismo$\Delta v$, y esto es de esperar, porque en el primer caso el escape cede su energía cinética al cohete (más energía al cohete) mientras que en el segundo caso el escape gana energía cinética al ser emitido (menos energía al cohete).

Esta relación aparentemente poco intuitiva ahora es inevitable cuando tomamos en cuenta la tercera ley de Newton. Se necesita la energía potencial liberada por el resorte (o combustible del cohete) para separar las dos cajas (o en el caso del cohete se necesita el combustible para separar el escape del cohete), pero ¿cómo se distribuye la energía cinética resultante? depende de la velocidad inicial del sistema.