¿Se puede definir el producto del vector ket como |A⟩|B⟩|A⟩|B⟩|A\rangle |B\rangle?

El autor se refiere al producto tensorial de los vectores ket. De hecho, esta es una forma de "multiplicar" vectores juntos, aunque es sutil porque el vector producto resultante en realidad se encuentra en un espacio vectorial diferente al de los originales. Sin embargo, su notación no es estándar, porque los físicos casi siempre denotan el producto tensorial de vectores con el símbolo$\otimes$, no$\prod$. La notación más estándar sería

$$|M\rangle = \bigotimes_{i=1}^N |n_i\rangle.$$

Primero explico cómo funciona un vector para espacios de dimensión finita y luego lo generalizo a los espacios de Hilbert en mecánica cuántica, comenzando de forma intuitiva y haciéndolo un poco más riguroso.

La "multiplicación de vectores" ocurre cuando tienes un producto directo (tensor) de espacios vectoriales. Para vectores ordinarios, digamos vectores 2D en$\mathbb{R}^2$, el producto directo de dos de ellos daría un tensor de segundo rango o diádico (representado por matrices de 2x2) como si insertara todo el vector en el componente de otro vector:

$$\tag{(1)}\mathbf{v} \;\mathbf{u} = \begin{bmatrix} v_1 \mathbf{u} \\ v_2 \mathbf{u} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_1 u_1 & v_1 u_2 \\ v_2 u_1 & v_2 u_2 \end{bmatrix}$$ donde puedes imaginar n número de productos directos de un vector que construye una matriz de un tamaño $2 \times 2 \times \ldots \times 2$, como un "cubo" de n dimensiones.

Por supuesto, si se trata de un espacio de Hilbert de "dimensión infinita", sería más abstracto que eso, pero la representación por componentes tendría la misma estructura (n matrices de rango). Entonces, los vectores de estado del espacio del producto directo serían una matriz n de números infinitos, como si colocaras los valores dentro de un cubo n dimensional pero los lados del cubo se extienden hasta el infinito.

Para una sola partícula, un estado genérico sería$|\psi\rangle$un vector de dimensión infinita. Si los estados base están representados por un número natural,$n$, entonces tienes infinitos vectores base:

$$\Big\{ |0\rangle, |1\rangle, |2\rangle, |3\rangle, \ldots \Big\}$$ cada uno de ellos son vectores, similares a los habituales $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$en el espacio tridimensional pero infinito, no 3. Pueden ser denotados por $|n\rangle$donde n puede ser cualquier número natural.

Aquí n no es una variable, es una etiqueta, como en lugar de escribir$\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$, puedes escribir$\hat{e}_i$donde i va de 1 a 3 y es un vector tridimensional no 1D. Entonces, la notación bra-ket no es como escribir los componentes entre paréntesis, es para etiquetar el vector mismo .

Por lo tanto, el estado genérico sería

$$|\psi\rangle = a_0 |0\rangle + a_1 |1\rangle+ \ldots = \sum_n a_n |n\rangle,$$ Ahora, cuando tomas el producto tensorial de dos vectores de estado, obtendrías $$\begin{align} |\Psi\rangle &= |\psi_1 \rangle | \psi_2\rangle \\ &= a_{00} |0\rangle|0\rangle + a_{01} |0\rangle |1\rangle + a_{02}|0\rangle |2\rangle + \ldots + a_{mn} |m\rangle |n\rangle + \ldots \end{align}$$ en términos de la base producto-espacio. Como puede ver, cada base "nueva" es un producto directo de dos bases "antiguas". Los componentes de este vector de estado son $a_{mn}$, al igual que la ecuación (1) para el producto directo de vectores 2D pero está representado por una matriz de dimensiones infinitas. Si toma el producto directo de tres espacios vectoriales, entonces cada componente sería $a_{mn\ell}$como un cubo infinitamente ancho, y así sucesivamente.

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Ahora, déjame ser más riguroso.

Dejar$\mathcal{H}_i$denote el i-ésimo espacio de Hilbert de una sola partícula. Entonces el espacio de Hilbert de todas las partículas en el sistema sería el producto directo de todos los espacios de Hilbert,

$$\begin{align} \mathcal{H} &= \bigotimes_{i \in I}\mathcal{H}_i \\ & = \mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2 \otimes \ldots \otimes \mathcal{H}_n \end{align}$$

tal que para cada vector,$| \Psi \rangle \in \mathcal{H}$, tienes

$$\begin{align} |\Psi\rangle &= \prod_{i \in I} |\psi_i\rangle =|\psi_1\rangle |\psi_2\rangle \ldots |\psi_n\rangle \end{align}$$ dónde $I$es un subconjunto finito de números naturales y $| \psi_i \rangle \in \mathcal{H}_i$.

Los físicos, la mayor parte del tiempo, hacemos mal uso de las notaciones de los objetos matemáticos. Los matemáticos prefieren escribir$\bigotimes$en lugar de$\prod$ya que no es una multiplicación definida dentro de una estructura (es decir, un álgebra$^{(*)}$) sino más bien una composición externa. Sin embargo, como sabemos que no existe tal multiplicación entre vectores de estado, es decir, los estados no forman un álgebra, en mecánica cuántica esta notación no es ambigua.

Para cada$|\psi_i\rangle$puede tener tantos como valores desde$\psi_i$es un número y puede ser real o complejo, o simplemente un número natural. Por ejemplo, podrían ser los estados propios del impulso de la i-ésima partícula, es decir,$|p_i \rangle$, y todo el estado representa varios momentos de n partículas.

En su libro de texto, el estado$|n_i\rangle$significa que está representado por el número natural, n, pero este número sería diferente para cada estado en el producto directo. Entonces, lo etiquetaron con i, por ejemplo, podría ser

$$| M \rangle = |1\rangle |3\rangle |15\rangle |4\rangle \ldots$$ A veces simplemente escribimos $|1,3,15, 4, \ldots\rangle$para abreviar.

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$^{(*)}$Un álgebra es un espacio vectorial equipado con una multiplicación de vectores junto con la suma de vectores que los espacios vectoriales tienen por defecto. Por ejemplo, los operadores lineales en la mecánica cuántica forman un álgebra en el espacio complejo de Hilbert,$L^2(\mathbb{C})$. Pero los vectores de estado no forman un álgebra, es decir, no puedes multiplicar dos vectores de estado para obtener otro vector de estado en el mismo espacio de Hilbert.

Las respuestas anteriores han explicado cómo una multiplicación de vectores puede definirse matemáticamente como un producto tensorial. Daré un poco más de información física aquí que es importante y no me fue explicada claramente cuando aprendí sobre estas cosas.

En la mecánica cuántica, los estados de un sistema viven en un espacio de Hilbert. ¿Cómo describimos los estados de un sistema? Bueno, cada sistema tiene un número de grados de libertad. En mecánica clásica, por ejemplo, un péndulo doble tendría dos grados de libertad:$\phi_1$y$\phi_2$, los ángulos que representan las posiciones de las diferentes péndulas. Alternativamente, puede considerar la posición de una pelota en un plano 2D descrito por sus variables de posición$x$y$y$.

Bueno, mecánicamente cuánticamente es lo mismo. Un sistema tiene grados de libertad . La diferencia es que estos grados de libertad no se cuantifican mediante meras variables de número c (número complejo), sino mediante operadores cuánticos. Así por ejemplo,$x$es reemplazado por$\hat{x}$. y$y$es reemplazado por$\hat{y}$.$\hat{x}$y$\hat{y}$son, por supuesto, operadores cuánticos. Como son operadores, significa que actúan sobre espacios de Hilbert. En particular, el operador correspondiente a cada grado de libertad puede actuar sobre su propio espacio de Hilbert. Es decir, hay un espacio de hilbert$\mathcal{H}_x$en la que$\hat{x}$actos y un espacio de Hilbert$\mathcal{H}_y$en la que$\hat{y}$hechos.

Si solo estuviera presente uno de los grados de libertad, podríamos describir el estado total del sistema dando$\lvert \psi \rangle_x \in \mathcal{H}_x$, el vector en el espacio de Hilbert que representa el estado del sistema. Sin embargo, cuando hay múltiples grados de libertad, debe dar algo que describa el estado de cada grado de libertad en el sistema.

He explicado cómo hay un espacio de Hilbert para cada grado de libertad. El producto tensorial, como se explicó muy bien en respuestas anteriores, es la herramienta utilizada para combinar los espacios sub-Hilbert para cada grado de libertad en un espacio de Hilbert total para el sistema. Entonces, el estado del sistema viene dado enteramente por la especificación de un vector dentro del espacio total de Hilbert.

Aquí está el punto clave: en general, si un espacio de Hilbert$\mathcal{H}_{tot}$es un producto tensorial de espacios de Hilbert más pequeños$\mathcal{H}_1$y$\mathcal{H}_2$entonces cualquier vector en$\mathcal{H}_{tot}$se puede escribir como una combinación lineal de productos tensoriales de vectores de$\mathcal{H}_1$y$\mathcal{H}_2$. El estado descrito en su libro es un ejemplo de uno de esos estados.

En resumen: si un sistema cuántico tiene más de un grado de libertad, los estados se describirán como combinaciones lineales de productos tensoriales de vectores de los espacios de Hilbert correspondientes a cada grado de libertad.