¿Cuáles son los estados propios ortogonales del operador de campo?

Question

¿Cuáles son los estados propios ortogonales del operador de campo?

jazmerú

En la sección 9.2 de Peskin y Schroeder, derivan la función de dos puntos en el formalismo de la integral de trayectoria:

⟨ Ω | T {\hat{ϕ} (X_{1}) \hat{ϕ} (X_{2})} | Ω ⟩

$\langle \Omega | \mathcal{T} \left\{ \hat{\phi}(x_1)\hat{\phi}(x_2)\right\} | \Omega \rangle$

\begin{matrix} (9.18) & = \frac{\int D ϕ ϕ (X_{1}) ϕ (X_{2}) {mi}^{i \int d^{4} X L}}{\int D ϕ {mi}^{i \int d^{4} X L}} . \end{matrix}

$= \frac{\int \mathcal{D}\phi \ \phi(x_1) \phi(x_2) e^{ i\int d^4 x\ \mathcal{L} }}{\int \mathcal{D}\phi \ e^{ i\int d^4 x\ \mathcal{L} }}. \tag{9.18}$

El truco para derivar esto es insertar la identidad

1 = \int D ϕ | ϕ ⟩ ⟨ ϕ |

$1 = \int \mathcal{D}\phi\ |\phi\rangle \langle \phi|$

entre los operadores $\hat{\phi}(x_i)$ . Entonces podemos cambiar el operador para funciones regulares usando:

\hat{ϕ} (X_{i}) | ϕ_{i} ⟩ = ϕ (X_{i}) | ϕ_{i} ⟩ .

$\hat{\phi}(x_i) |\phi_i\rangle = \phi(x_i) |\phi_i\rangle.$

Mi primera pregunta es: ¿cuáles son los estados que forman la base ortogonal completa $|\phi\rangle$ ? Los autores nunca parecen especificarlo. No puede ser cualquier base ortogonal completa ya que estos estados parecen ser estados propios del operador de campo

\begin{matrix} (2.25+47) & \hat{ϕ} (X) = \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 {mi}_{pag}}} ({\hat{a}}_{pag} {mi}^{i pag \cdot X} + {\hat{a}}_{pag}^{†} {mi}^{- i pag \cdot X}) . \end{matrix}

$\hat{\phi}(x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_p}}(\hat{a}_p e^{i p\cdot x} + \hat{a}_p^\dagger e^{-i p\cdot x}).\tag{2.25+47}$

Por lo que entiendo, los estados $|\phi\rangle$ representar todas las configuraciones de campo clásicas posibles (clásicas como bien definidas en todos los puntos del espacio en un momento dado, sin incertidumbre) sobre las que integramos entre dos estados límite. Pero no veo cómo estos estados clásicos son los estados propios de $\hat{\phi}(x)$ . ¿Hay una expresión simple para $|\phi\rangle$ en términos de, por ejemplo, operadores de creación/aniquilación?

En realidad, lo que me molesta es que se supone que los estados propios del operador de campo son estados coherentes, que forman un conjunto demasiado completo . Lo que significa que si el $|\phi\rangle$ son estados coherentes, no podemos escribir la identidad como la combinación anterior ya que los estados no son ortogonales (consulte la sección 8.1.3 de este documento ). Mi segunda pregunta es: ¿es posible que los estados coherentes sean los estados propios de otro tipo de "operador de campo", no el anterior? Si es así, ¿cuál es este otro operador? ( Resuelto: vea la edición a continuación ) Tenga en cuenta que en el enlace dado no parecen definir el operador para el cual el estado coherente es un estado propio.

(Relacionado: 148200 y 109343. La respuesta en el primer enlace realmente no responde a la pregunta "¿qué es $|\phi\rangle$ ?" y el segundo enlace menciona solo estados coherentes, que como mencioné no son ortogonales y, por lo tanto, no pueden ser los estados utilizados en la derivación de Peskin & Schroeder)

EDITAR: como sugirió @Mane.andrea en los comentarios, revisé la sección 4.1 de Teoría del campo de materia condensada de Altland & Simons. Parece que definen el estado coherente como el estado propio de los operadores de aniquilación $\hat{a}_i$ específicamente, es decir, la parte de frecuencia positiva del campo anterior. Entonces, la respuesta a mi segunda pregunta parece ser Sí, los estados coherentes son los estados propios de un "operador de campo" diferente.

MannyC

¿Es necesaria la ortogonalidad para la prueba? O solo completitud? Porque si es así, creo que tener una base demasiado completa no es un problema. Además, consulte la Sección 4.1 de Altland Simons: Teoría del campo de materia condensada. Discuten estados coherentes.

jazmerú

La ortogonalidad es necesaria para obtener la formulación integral de trayectoria estándar anterior. Insertar la identidad en términos de estados coherentes conduce a factores adicionales y a lo que se denomina "integral de trayectoria de estado coherente", que es importante para los campos fermiónicos. Vea mi primer enlace como referencia.

Cosmas Zachos

Relacionado y más .

jazmerú

La respuesta a mi primera pregunta parece ser el resultado que da el OP en el primer enlace de @CosmasZachos, gracias. ¿Quieres escribir una respuesta para que pueda aceptarla?

látigo cuántico

@MannyC, ¿por qué una base demasiado completa no sería un problema? Toda la interpretación de las amplitudes de probabilidad depende de ese hecho.

Respuestas (1)

¿Cuáles son los estados propios ortogonales del operador de campo?

¿Es necesaria la ortogonalidad para la prueba? O solo completitud? Porque si es así, creo que tener una base demasiado completa no es un problema. Además, consulte la Sección 4.1 de Altland Simons: Teoría del campo de materia condensada. Discuten estados coherentes.
La ortogonalidad es necesaria para obtener la formulación integral de trayectoria estándar anterior. Insertar la identidad en términos de estados coherentes conduce a factores adicionales y a lo que se denomina "integral de trayectoria de estado coherente", que es importante para los campos fermiónicos. Vea mi primer enlace como referencia.
La respuesta a mi primera pregunta parece ser el resultado que da el OP en el primer enlace de @CosmasZachos, gracias. ¿Quieres escribir una respuesta para que pueda aceptarla?
@MannyC, ¿por qué una base demasiado completa no sería un problema? Toda la interpretación de las amplitudes de probabilidad depende de ese hecho.

jazmerú · Answer 1

Creo que encontré una solución con la ayuda de los enlaces de @CosmasZachos. El estado dado por OP aquí no parecía coincidir exactamente con mi definición del operador de campo. Supongo que se debe a que proviene del formalismo funcional de ondas de Schrödinger. No estoy totalmente seguro de mi respuesta y no he encontrado nada parecido en la web, así que si alguien pudiera verificar esto, se lo agradecería.

Definamos nuestros operadores cuidadosamente:

\hat{ϕ} (X) = {\hat{ϕ}}_{+} (X) + {\hat{ϕ}}_{-} (X),

$\hat{\phi}(x) = \hat{\phi}_+(x) + \hat{\phi}_-(x),$

dónde

{\hat{ϕ}}_{+} (X) = \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 {mi}_{pag}}} {\hat{a}}_{pag} {mi}^{- i pag \cdot X}; {\hat{ϕ}}_{-} (X) = {({\hat{ϕ}}_{+} (X))}^{†} .

$\hat{\phi}_+(x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_p}}\hat{a}_p e^{-i p\cdot x};\quad \hat{\phi}_-(x) = \left(\hat{\phi}_+(x)\right)^\dagger.$

Es útil introducir el impulso:

\hat{π} (X) = \frac{\partial \hat{ϕ} (X)}{\partial t} = {\hat{π}}_{+} (X) + {\hat{π}}_{-} (X),

$\hat{\pi}(x) = \frac{\partial\hat{\phi}(x)}{\partial t } = \hat{\pi}_+(x)+\hat{\pi}_-(x),$

dónde

{\hat{π}}_{+} (X) = - i \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} \sqrt{\frac{{mi}_{pag}}{2}} {\hat{a}}_{pag} {mi}^{- i pag \cdot X}; {\hat{π}}_{-} (X) = {({\hat{π}}_{+} (X))}^{†} .

$\hat{\pi}_+(x) = -i \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \sqrt{\frac{E_p}{2}}\hat{a}_p e^{-i p\cdot x};\quad \hat{\pi}_-(x) = \left(\hat{\pi}_+(x)\right)^\dagger.$

Las relaciones de conmutación canónicas de igual tiempo son:

[\hat{ϕ} (\vec{X}), \hat{π} (\vec{y})] = i d^{(3)} (\vec{X} - \vec{y}) [{\hat{a}}_{\vec{pag}}, {\hat{a}}_{\vec{q}}^{†}] = (2 π)^{3} d^{(3)} (\vec{pag} - \vec{q}) .

$[\hat{\phi}(\vec{x}),\hat{\pi}(\vec{y})] = i \delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{y})\qquad [\hat{a}_\vec{p},\hat{a}_\vec{q}^\dagger] = (2\pi)^3 \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{q}).$

De estos podemos encontrar:

[\hat{ϕ} (X)_{+}, {\hat{π}}_{-} (y)] = \frac{i}{2} d^{(3)} (\vec{X} - \vec{y}); [{\hat{ϕ}}_{+} (\vec{X}), {\hat{ϕ}}_{-} (\vec{y})] = \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 {mi}_{pag}} {mi}^{i \vec{pag} \cdot (\vec{X} - \vec{y})} .

$[\hat{\phi}(x)_+,\hat{\pi}_-(y)] = \frac{i}{2}\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{y}); \qquad [\hat{\phi}_+(\vec{x}),\hat{\phi}_-(\vec{y})] = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_p}e^{i\vec{p}\cdot(\vec{x}-\vec{y})}.$

Tenga en cuenta que la última relación no es una función delta de Dirac (de hecho, es el propagador del campo), razón por la cual el estado dado por OP en el enlace anterior no es un estado propio del operador de campo definido aquí.

De hecho, a través de pruebas y errores, creo que he encontrado un estado $|\phi\rangle$ que satisface $\hat{\phi}(x)|\phi\rangle = \phi(x)|\phi\rangle$ (nuevamente, siéntase libre de verificar dos veces):

| ϕ ⟩ \equiv norte Exp {i \int d^{3} y ({\hat{ϕ}}_{-} (y) - 2 ϕ (y)) {\hat{π}}_{-} (y)} | 0 ⟩,

$|\phi\rangle \equiv \mathcal{N} \exp\left\{i\int d^3y\ \left(\hat{\phi}_-(y) - 2 \phi(y)\right)\hat{\pi}_-(y)\right\}|0\rangle,$

dónde $\mathcal{N}$ es un factor de normalización (que no he calculado). Ni siquiera estoy seguro de si esos estados son ortogonales, pero al menos sé cómo sería un estado propio del operador de campo.

También para responder a mi segunda pregunta, creo que los estados coherentes se definen como estados propios del operador de campo de frecuencia positiva $\hat{\phi}_+(x)$ solamente (la parte que contiene los operadores de aniquilación). Se debe tener cuidado de no confundir los dos operadores. Además, a través de mis investigaciones, noté que algunas referencias solo tratan con estados coherentes o estado propio de campo en una teoría no relativista o el formalismo funcional de ondas de Schrödinger, donde las definiciones pueden ser diferentes de la convención de Peskin y Schroeder.

Sí, básicamente estás en el camino correcto. Si no está utilizando estados coherentes (exponente lineal en campos) sino estados propios de buena fe de los campos completos , necesita exponentes cuadráticos en los campos. No puedo responder por sus normalizaciones (y lo poco convencional $\pm$ -Inversión de piezas de campo, pero estás "tibio", en sentido amplio. La sección 14.2.3 del libro estándar de M Schwarz lo resuelve todo, especialmente la ecuación (14.19-14.22), y la nota al pie: su último párrafo. Pensé que estabas haciendo su problema 14.4, por eso te envié a estos árbitros, pero evidentemente lo estás reconstruyendo.
He comprobado que sus estados son estados propios. También encontré los estados propios del momento $|\Pi\rangle$ que debería ser lo mismo con un signo menos adicional en el exponente y $\phi \leftrightarrow \pi$ . Ahora estoy tratando de obtener la relación. $\langle\Phi | \Pi \rangle = \exp(-i\int d^3x \Phi \Pi)$ , pero no lo estoy logrando. ¿Se supone que estos estados satisfacen esta relación? ¿O he cometido un error en mi cálculo?
¿Llegó más lejos con la pregunta de si estos estados son ortogonales?

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